文科数学试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
2i
z ai a R
1. 已知复数 1 i 是实数，则 a （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
2. 设全集U 1,2,3,4,5 ，集合 A，B 满足 A B 1,3,5 ， A B U ，则（ ）
A. 2 A B. 4 B C. 1U A D. 2U B
3. 如图，已知一个三棱锥的主视图、左视图和俯视图均为斜边长为 4 的等腰直角三角形，则该三棱锥的体
积为（ ）
32 8 2
A. 3 2 B. 2 2 C. D.
3 3
2
4. 已知非零向量 a ， b 满足 a 2 ，且 a,b ，则 a 2b 的最小值为（ ）
3
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
5. 已知 f x 是定义域为 R 的偶函数，且其图像关于点 1,0 对称，当 x 0,2 时，
2023
f x cos x ，则f （ ）
3 6 2
1 1 3 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
x y 2
6. 已知平面直角坐标系内的动点 P x, y 满足 x 2y 0 ，则 P 满足 x y 0 的概率为（ ）
y 1
4 5 9 9
A. B. C. D.
9 12 16 25
2 2
7. 已知抛物线C1 ： y 4x ， C2 ： y 2 px p 0 ，若直线 l： y x 1与C1 交于点 A，B，且与 C2
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交于点 P，Q，且 AB PQ ，则 p （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
8. 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a 2 ， b 1且 cos B 2cos A ，则 ABC 的面
积 S （ ）
3 2 1
A. 1 B. C. D.
2 2 2
9. 已知函数 f x ex1 x2 ax 在 0, 的最小值为1，则 a （ ）
A. 2e B. 3 C. e D. 1
10. 如图，已知圆柱的 斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴 AC 为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的
底面直径.将圆柱侧面沿母线 AB 展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线
1
是函数 y 2sinx 0 图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为 ，则 的值为（ ）
2
3 3
A. B. C. 3 D. 2
6 3
2
11. 已知 A，B 是圆 C： x 3 y 3 3 的两点，且ABO 是正三角形，则直线 AB 的方程为
（ ）
A. 3x y 4 3 0 B. 3x y 5 3 0
C. 3x y 3 3 0 D. 3x y 3 3 0
12. 已知函数 f x ea x ln x a a R ，过坐标原点 O 作曲线 y f x 的切线 l，切点为 A，过 A
且与 垂直的直线 l 交 轴于点 ，则 面积的取值范围是（ ）
l 1 x B OAB
2
e 1, 2e, e2 , e 1 ,
A. B. C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知数据 15，14，14，a，16 的平均数为 15，则其方差为______.
14. 已知某圆台的上底面圆心为O1 ，半径为 r，下底面圆心为O2 ，半径为 2r，高为 h.若该圆台的外接球球
h
心为 O，且 O O 2OO ，则 ______.
1 2 r
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x2 y2
15. 若双曲线 C： 1a 0,b 0 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，点 P 是其右支上的动点， PF1
a2 b2
与其左支交于点 Q.若存在 P，使得 PF2 QF1 PQ ，则 C 的离心率的取值范围为______.
2 2
16. 已知 O 为坐标原点，点 A10,0 ，P 为圆 x y 12 4 上一点，则 PO PA 的最大值为______.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17. 某酒店为了调查入住宾客对该酒店服务的满意率，对一个月来曾入住过的顾客进行电话回访，回访结
果显示，顾客的满意率为 80%.在不满意的顾客中，对住宿环境不满意的占 60%，对服务员的服务态度不
满意的占 40%.
（1）若在电话回访的所有顾客中，对住宿环境不满意的顾客共有 240 人，求此次电话回访的顾客总数；
（2）若在一同住宿的甲、乙等五名顾客中，随机选择两名进行回访，求甲、乙两人中至少一人被选中的
概率.
18. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是等腰梯形， AB / /CD ，PCD 是正三角形，已知
AB 4 ， AD BC CD 2 ， PB 10 .
（1）证明：平面 PCD 平面 ABCD ；
（2）求点 B 到平面 PAD 的距离.
19. 已知等比数列an 的公比 q 0 ，且 q 1，首项 a1 1，前 n 项和为 Sn .
Sn
（1）若 q 2 ，且 为定值，求 q的值；
an 2
*
（2）若 Sn1 an1 2an n N 对任意 n 2 恒成立，求 q 的取值范围.
x2 y2
20. 已知椭圆 C： 1a b 0 的右焦点为 F 1,0 ，左顶点为 A.过点 F 且不与 x 轴重合的直线
a2 b2
2
l 与 C 交于 P，Q 两点（P 在 x 轴上方），直线 AP 交直线 l ： x 4 于点 M.当 P 的横坐标为 时，
1 7
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15
PF .
7
（1）求 C 的标准方程；
PM
（2）若 PQ FM 12 PF QF ，求 的值.
PF
1
21. 已知 f x x a 1ex x2 ax 2aa R .
2
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x 有两个极值点 x1 ， x2 ，设 g a f x1 f x2 ，且不等式 g a t t 0 的解集为
a1,a2 ，证明： a1 a2 0 .
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22. 在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 2sin .
3
（1）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，求圆 C的直角坐标方程；
（2）求圆 C 上的点到直线 sin 4 距离的最小值.
6
[选修 4-5：不等式选讲]
2 1 1
23. 已知正数 a,b,c 满足 2 .
a b c
（1）若 a 2 ，求 b c 的最小值；
1 1 1 3
（2）证明： .
a 2b a 2c b c 4
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文科数学试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
【1 题答案】
【答案】B
【2 题答案】
【答案】C
【3 题答案】
【答案】D
【4 题答案】
【答案】B
【5 题答案】
【答案】A
【6 题答案】
【答案】D
【7 题答案】
【答案】C
【8 题答案】
【答案】A
【9 题答案】
【答案】B
【10 题答案】
【答案】A
【11 题答案】
【答案】C
【12 题答案】
【答案】D
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
【13 题答案】
4
【答案】 ## 0.8
5
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【14 题答案】
【答案】3
【15 题答案】
【答案】 1,2
【16 题答案】
【答案】200
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
【17 题答案】
【答案】（1） 2000 人
7
（2）
10
【18 题答案】
【答案】（1）证明见解析
4 15
（2）
5
【19 题答案】
1
【答案】（1）
2
（2） 0,1
【20 题答案】
x2 y2
【答案】（1） 1
4 3
PM
（2） 2 3
PF
【21 题答案】
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
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[选修 4-4：坐标系与参数方程]
【22 题答案】
2 2
3 1
【答案】（）
1 x y 1
2 2
3
（2） 3
2
[选修 4-5：不等式选讲]
【23 题答案】
【答案】（1）4 （2）证明见解析
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