2024 年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试A. BA B. CA C. CB D. AC
x
数学冲刺卷（一） 6. 方程 f x 2 3x 4 的零点所在的区间为（ ）
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 90 分钟。 1 1 4
A. 1,0 B. 0, C. ,1 D. 1,
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、考场号和座位号 2 2 3
写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右
7. 已知扇形的半径为 1，圆心角为 ，则这个扇形的弧长为（ ）
上角“条形码粘贴处”。 60
2
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需 A. B. C. D. 60
6 3 3
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
8. 把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 不可能事件 D. 必然事件
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。 9. 要得到函数 y si（n 4x ）的图象，只需要将函数 y sin4x 的图象
3
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位
12 12
C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 6 分，共 72 分.在每小题给出的四个选项中，只有 3 3
一项是符合题目要求的） 10. 已知两条直线l ， m 与两个平面 ， ，下列命题正确的是（ ）
A 2,0,1, 2 B x 2 x 1 A B
1. 设集合 ， ，则 （ ） A. 若 l// ， l m ，则 m B. 若 / / ， m / / ，则 m / /
A. 2 B. 1 C. {-2,0,1} D. 0,1,2 若 ， ，则 若 ， l // ，则
C. l// m / / l // m D. l
2. 已知角 的终边过点 P 1,2 ，则 tan 等于（ ）
x
2 , x 0,
已知函数 则 f f 2 （ ）
1 1 11. f x log x, x 0,
A. 2 B. 2 C. D. 1
2 2 2
3. 下列函数中是减函数且值域为 R 的是（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
1
1 1 3
A. f (x) B. f (x) x C. f (x) ln x D. f (x) x 7 3
12. 已知 a log ， 1 ， c log 1 5 ，则 a 、 、 c 的大小关系为（ ）
x x 3 b b
2 4 3
2
4. 不等式 2x x 15 0 的解集为（ ） A. a b c B. a c b
5 5 C. b a c D. c b a
A. x x 3 B. x x 或 x 3
2 2
二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）
5 5 6 6 36
C. x 3 x D. x x 3或 x
4i
2 2 13. 已知 i 是虚数单位，则复数 的虚部为__________.
1 i
5. 化简： （ ） x5
AB OC OB 14. 函数 y a 1且（ (a 0 且 a 1）的图象必经过定点______________．
21. 某市出租车的票价按以下规则制定：起步公里为 2.6 公里，收费 10 元；若超过 2.6 公里的，每公里
15. 如果函数 f x sin x 0 的最小正周期为 ，则 的值为___________.
6 2 按 2.4 元收费.
16. 已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为 48 ，则圆柱的侧面积为_____． （1）设 A 地到 B 地的路程为 4.1 公里，若搭乘出租车从 A 地到 B 地，需要付费多少？
17. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件，为检验产品的 （2）若某乘客搭乘出租车共付费 16 元，则该出租车共行驶了多少公里？
质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___
件.
x
18. 已知 f x 是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f x 2 2 ，则不等式 f x 2 的解集是_______；
三、解答题（本大题共 4 小题，第 19~21 题各 10 分，第 22 题 12 分，共 42 分.解答需写出
文字说明，证明过程和演算步骤.）
4
19. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a,b,c ，已知 a 6,b 5,cos A
5 22. 如图，在三棱锥 V-ABC 中，平面 VAB 平面 ABC,VAB 为等边三角形， AC BC ,且
（1）求角 B 的大小；
AC=BC= 2 ,O,M 分别为 AB,VA 的中点.
（2）求三角形 ABC 的面积.
20. 某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样
的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20,30 ，30,40 ， ，80,90 ，
并整理得到如下频率分布直方图： (1)求证：VB//平面 MOC；
(2)求三棱锥 V-ABC的体积.
（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的 70%分位数；
（2）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等.试估计总体
中女生的人数.
2024 年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试
数学冲刺卷（一）答案解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 6 分，共 72 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
A 2,0,1, 2 B x 2 x 1
1. 设集合 ， ，则 A B （ ）
A. 2 B. 1 C. {-2,0,1} D. 0,1,2
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合交集运算求解即可.
【详解】解：因为 A 2,0,1, 2 ， B x 2 x 1 ，
所以 A B {-2,0,1}
故选：C
2. 已知角 的终边过点 P 1,2 ，则 tan 等于（ ）
1 1
A. 2 B. 2 C. D.
2 2
【答案】B
【解析】
【分析】由正切函数的定义计算．
2
【详解】由题意 tan 2 ．
1
故选：B．
3. 下列函数中是减函数且值域为 R 的是（ ）
1 1
A. f (x) B. f (x) x C. f (x) ln x D. f (x) x3
x x
【答案】D
【解析】
【分析】由幂函数及对数函数的图象与性质即可求解.
【详解】解：对 A：函数 f (x) 的值域为 ,0 0, ，故选项 A 错误；
对 B：函数 f (x) 为 ,0 和 0, 上的增函数，故选项 B 错误；
ln x, x 0
对 C：函数 f (x) ln x ，所以 f (x) 在 0, 上单调递增，在 ,0 上单调递减，故选
ln x, x 0
项 C 错误；
对 D：由幂函数的性质知 f (x) 为减函数且值域为 R，故选项 D 正确；
故选：D.
4. 不等式 2x2 x 15 0 的解集为（ ）
5 5
A x x 3 B. x x 或 x 3
. 2 2
5 5
C. x 3 x D. x x 3或 x
2 2
【答案】B
【解析】
【分析】将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；
5
【详解】解：依题意可得 2x2 x 15 0 ，故 2x 5x 3 0 ，解得 x 或 x 3，
2
5
所以不等式的解集为 x x 或 x 3
2
故选：B．
5. 化简： AB OC OB （ ）
A. BA B. CA C. CB D. AC
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得 AB OC OB AB (OC OB) AB BC AC .
故选：D.
x
6. 方程 f x 2 3x 4 的零点所在的区间为（ ）
1 1 4
A. 1,0 B. 0, C. ,1 D. 1,
2 2 3
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数 f x 的单调性，利用零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数 y 2x 、 y 3x 4 均为 R 上的增函数，故函数 f x 在 R 上也为增函数，
1 5
因为 f 1 0 ， f 0 0 ， f 2 0 ， f 1 1 0 ，
2 2
1
由零点存在定理可知，函数 f x 的零点所在的区间为 ,1 .
2
故选：C.
7. 已知扇形的半径为 1，圆心角为 60 ，则这个扇形的弧长为（ ）
2
A. B. C. D. 60
6 3 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.
【详解】易知 60 ，由扇形弧长公式可得 l 1 .
3 3 3
故选：B
8. 把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 不可能事件 D. 必然事件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但除了这 2 个事件外，还有事件“丙分得
红牌”，由对立事件与互斥事件的概念，可得答案．
【详解】根据题意，把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，
但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，则两者不是对立事件，
则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件；
故选： B ．
【点睛】本题考查对立事件与互斥事件的概念，要注意对立一定互斥，但互斥不一定对立，属于基础题.
9. 要得到函数 y si（n 4x ）的图象，只需要将函数 y sin4x 的图象
3
A. 向左平移 个单位
12
B. 向右平移 个单位
12
C. 向左平移 个单位
3
D 向右平移 个单位
. 3
【答案】B
【解析】
【详解】因为函数 y sin 4x sin[4(x )] ，要得到函数 y sin 4x 的图象，只需要将函
3 12 3
数 y sin4x 的图象向右平移 个单位．
12
本题选择 B 选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数，进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的倍，
要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
10. 已知两条直线l ， m 与两个平面 ， ，下列命题正确的是（ ）
A. 若 l// ， l m ，则 m
B. 若 / / ， m / / ，则 m / /
C. 若 l// ， m / / ，则 l // m
D. 若 l ， l // ，则
【答案】D
【解析】
【分析】A.利用线面的位置关系判断；B.利用线面的位置关系判断； C.利用直线与直线的位置关系判断； D.
由 l // ，过 l 作平面 ，有 m ，利用线面平行的性质定理得到得到 l // m ，再利用面面垂直的判定
定理判断.
【详解】A.若 l// ， l m ，则 m / /,m 或 m, 相交，故错误；
B.若 / / ， m / / ，则 m / / 或 m ，故错误；
C.若 l// ， m / / ，则 l // m ，l，m 相交或异面，故错误；
D.若 l // ，过 l 作平面 ，有 m ，则 l // m ，
因为 l ，所以 m ，又 m ，则 ，故正确.
故选：D
x
2 , x 0,
11. 已知函数 f x log x, x 0, 则 f f 2 （ ）
1
2
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先根据分段函数求出 f 2，再根据分段函数，即可求出结果.
1
【详解】因为 f 2 22 ，
4
1 1
所以 f f 2 f log 1 2 .
4 2 4
故选：D.
1
7 3
12. 已知 a log ， 1 ， c log1 5 ，则 a 、 、 c 的大小关系为（ ）
3 b b
2 4 3
A. a b c B. a c b C. b a c D. c b a
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性结合中间值法可得出 a 、 b 、 c 的大小关系.
1
0
7 3
【详解】因为 ， 1 1 ， c log 1 5 log 1 1 0 ，
a log3 log3 3 1 0 b 1
2 4 4 3 3
因此， a b c .
故选：A.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分.
4i
13. 已知 i 是虚数单位，则复数 的虚部为__________.
1 i
【答案】 2
【解析】
【分析】先把复数化简为 2 2i ，再根据虚部定义得出即可.
4i 4i 1 i 4i 1 i 4i2 4i
【详解】 = 2 2i ,
1 i 1 i1 i 1 i2 2
则复数的虚部为 2 .
故答案为: 2 .
14. 函数 y a x5 1且（ (a 0 且 a 1）的图象必经过定点______________．
【答案】 (5,2)
【解析】
【分析】由指数函数的性质分析定点
【详解】令 x 5 0 ，得 x 5 ，此时 y 2
故过定点 (5,2)
15. 如果函数 f x sin x 0 的最小正周期为 ，则 的值为______________.
6 2
【答案】4
【解析】
2
【分析】根据正弦型函数的周期计算公式T 即可求解.
2 2
2 4
【详解】T ， T .
2
故答案为：4.
16. 已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为 48 ，则圆柱的侧面积为_____．
【答案】 48 .
【解析】
【分析】先由球的表面积为 48 求出球的半径，然后由圆柱的侧面积公式算出即可
【详解】因为球的表面积 S 4R2 48
所以 R=2 3
所以圆柱的底面直径与高都为 4 3
所以圆柱的侧面积： 2 2 3 4 3=48
故答案为： 48
【点睛】本题考查的是空间几何体表面积的算法，较简单.
17. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件，为检验产品的质量，
现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.
【答案】18
【解析】
300
【详解】应从丙种型号的产品中抽取 60 18 件，故答案为 18．
1000
点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体
数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即 niNinN．
x
18. 已知 f x 是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时， f x 2 2 ，则不等式 f x 2 的解集是_______；
【答案】2,2
【解析】
【分析】判断函数当 x 0 时的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．
x
【详解】当 x0 时， f x 2 2 ，
偶函数 f x 在[0,)上单调递增，且 f 2=2 ，
所以 f x 2 ，即 f x f 2 ，
x 2 ，解得 2 x 2 .
故答案为：2,2 .
三、解答题：本大题共 4 小题，第 19~21 题各 10 分，第 22 题 12 分，共 42 分.解答需写出文
字说明，证明过程和演算步骤.
4
19. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a,b,c ，已知 a 6,b 5,cos A
5
（1）求角 B 的大小；
（2）求三角形 ABC 的面积.
0 9 3 12
【答案】（1）B=30 （2） S
ABC 2
【解析】
3
【详解】分析：（1）由同角三角函数关系先求 sin A ，由正弦定理可求 sin B 的值，从而可求 B 的值；
5
（2）先求得 sin C sin A B sin A 30 的值，代入三角函数面积公式即可得结果.
详解：(1)由正弦定理
3
又 B 为锐角 sinA= , 由正弦定理 B=300
5
(2) sin C sin A B sin A 30
,
1 9 3 12
S absinC
ABC 2 2
点睛：以三角形和为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进
行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正
余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记
于心.
20. 某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方
法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20,30 ，30,40 ， ，80,90 ，
并整理得到如下频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的 70%分位数；
（2）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等.试估计总体中女
生的人数.