2024 年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷（一）
机密启用前 试卷类型：A
2024 年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试
数学
本试卷共 4 页，共 22 小题，满分 150 分。考试用时 90 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题
卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，
先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
、选择题：本大题共 12 小题，每小题 6 分，共 72 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．已知集合 A x Z | 1 x 2 ，则集合 A 的非空真子集有（）个
A．5 B．6 C．7 D．8
1 1
2．已知 x2 4y2 4 ，则 的最小值为（）
x2 y2
5 9
A．9 B． C． D．1
2 4
3．已知向量 a，b 满足 a 1，2，b 2，1 ，则 a b （）
A． 10 B． 5 C．3 D．4
2xsinx
4．函数 f x (e 为自然对数的底数 ) 在2，2 的大致图象是（）
ex ex
A． B．
1 / 10
C． D．
5．函数 f x cosx，x ， 的最小值为（）
3 6
3 3 1 1
A． B． C． D．
2 2 2 2
6．下列与120 角的终边相同的角的表达式中，正确的是（）
2
A． 2k k Z B． k k Z
3 3
2
C． k k Z D． 2k k Z
3 3
7．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
1
8．已知 a lg ，b 30.1 ， c sin3 ，则（）
3
A． a b c B． b c a C． b a c D． c b a
x3，x 0
． f x f x 8
9 已知函数 x ，若 ，则 x（）
2 ，x 0
A．3 B．2 C．3 D．3 或2
10．某市 6 月前 10 天的空气质量指数为 35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第 70
百分位数是（）
A．86 B．85.5 C．85 D．84.5
11．已知 a b 0 ，则“ m 0 ”是“ am bm ”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个电话打给甲的概率是（）
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 3
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分。
2 / 10
1 2i
13．若复数 z ，则 z .
1 3i
14．已知角 的终边经过点(3，4)，则 cos= .
15．若一个圆锥的轴截面是面积为 3 的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 .
16．某地区有高中生 3000 人，初中生 6000 人，小学生 6000 人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视
率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量
为 150，那么在高中生中抽取了 人．
x 1
17．已知函数 f x 4 log4 x ，则 f ．
2
3
18．已知 a 1，b 2，a b ，则 a b a 2b ．
2
三、解答题：本大题共 4 个大题，第 1921 题各 10 分，第 22 题 12 分，共 42 分。解答须写出文字说明、证明过
程和演算步骤。
1
19．在A ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知 tanB 3，cosC ，且 b 3 6 .
3
（1）求 cosA 的值；
（2）求A ABC 的面积；
20．某果园试种了 A，B 两个品种的桃树各 10 棵，并在桃树成熟挂果后统计了这 20 棵桃树的产量如下表，
2 2
记 A，B 两个品种各 10 棵产量的平均数分别为 x 和 y ，方差分别为 s1 和 s2 ．
A （单位： kg ） 60 50 45 60 70 80 80 80 85 90
B （单位： kg ） 40 60 60 80 80 55 80 80 70 95
2 2
（1）求 x ， y ， s1 ， s2 ；
（2）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适?并说明理由．
3 / 10
21．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车
距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为 40 km/h 的弯道上，现场勘查测得一辆
事故汽车的刹车距离略超过 10 米．已知这种型号的汽车的刹车距离 s （单位：m）与车速 x （单位：km/h）
之间满足关系式 s ax2 bx ，其中 a，b 为常数．试验测得如下数据：
车速 x km/h 20 100
刹车距离 s m 3 55
（1）求 a，b 的值；
（2）请你判断这辆事故汽车是否超速，并说明理由．
22．四棱锥 S ABCD 的底面为正方形， E 为 SD 的中点．
（1）证明： SB A平面 ACE ；
（2）若 SA 平面 ABCD ，证明： SC BD ．
4 / 10
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：由 A x Z | 1 x 2 ，可得 A 0，1，2 ，所以集合 A 的非空真子集个数为
23 2 6 .
故答案为：B.
【分析】根据已知条件，得到集合 A 0，1，2 ，再根据非空真子集个数的计算公式求解即可.
2．【答案】C
1 1 1 1 4y2 x2 4y2 x2
【解析】【解答】解：由题意可得： 2 2
4 2 2 x 4y 2 2 2 2 5 2 2 2 5 9
x y x y x y x y
，
4y2 x2 4
当且仅当 ，即 x2 2y2 时，等号成立，
x2 y2 3
1 1 9 1 1 9
所以 ，即 的最小值为 .
x2 y2 4 x2 y2 4
故答案为：C.
【分析】根据题意将两式相乘，结合基本不等式运算求解.
3．【答案】A
2
【解析】【解答】解：由题意得 a b 1，2 2，1 1，3 ， a b 1 32 10 .
故答案为：A.
【分析】先求出 a b 1，3 ，再根据向量模长公式求 a b .
4．【答案】B
2xsin x 2xsin x
【解析】【解答】解：由题，f(x)的定义域为 R， f x f x ，
ex ex ex ex
所以 f(x)是偶函数，故排除 AC，
4sin 2
又 f 2 0 ，故排除 D.
e2 e2
故答案为：B.
5 / 10
【分析】利用函数的奇偶性结合特殊点的函数值判断即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：因为 f x cosx 在 ，0 上单调递增，在 0， 上单调递减，
3 6
1 3 1
且 f ，f ，所以 函数 f x cosx，x ， 的最小值为 .
3 2 6 2 3 6 2
故答案为：D.
【分析】根据余弦函数单调性分析求解.
6．【答案】A
2 2
【解析】【解答】解：因为120 ，所以与120 角的终边相同的角的表达式为 2k k Z .
3 3
故答案为：A.
【分析】利用角度制与弧度制的互化公式，结合终边相同的角的特征可得答案.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：黑球的个数有三种可能：0，1，2；
对于 A：“恰好一个黑球”和“恰好有两个黑球”不会同时发生，即为互斥事件；
但还有可能没有黑球，故不对立，故 A 正确；
对于 B：“至少一个黑球”即为 1 个或 2 个黑球，它的对立事件为“没有黑球”，即“都是红球”，
所以“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故 B 错误；
对于 C：“至少有一个红球”即为 0 个或 1 个黑球，与“至少一个黑球”都包含 1 个黑球，
故两者不互斥，故 C 错误；
对于 D：“至少有一个黑球”包含“都是黑球”，故故两者不互斥，故 D 错误；
故答案为：A.
【分析】根据题意结合互斥事件、对立事件的概念分析判断.
8．【答案】B
1
【解析】【解答】a=lg lg31=0，b=30.130=1，sin30，sin31，0c1，所以 bca.
3
故答案为：B．
【分析】根据对数函数性质、指数函数性质、正弦函数有界性可求解 a、b、c 的范围，即可求解.
9．【答案】C
6 / 10
【解析】【解答】x 0 时 f(x)=x3<0，不可能有 f x 8 ；
x>0 时 f(x)=2x=8，解得 x=2；
故选：C.
【分析】根据分段函数分两段讨论 f x 8 的可能性和取值.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排序为： 35，53，54，58，72，80，85，86，111，125，又
85 86
1070% 7 ，这组数据的第 70 百分位数是 85.5 .
2
故答案为：B.
【分析】先将这组数据从小到大排列，再根据百分位数定义求解.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 a b 0 ，
由“ m 0 ”可得“ am bm ”，即充分性成立；
由“ am bm ”可得“ m 0 ”，即必要性成立；
所以“ m 0 ”是“ am bm ”的 充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质结合充分、必要条件分析判断.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：因为打电话的顺序是任意的，所以甲、乙、丙三人打电话，第一个打电话为甲的概率为
1
.
3
故答案为：B.
1
【分析】根据已知条件可知，甲、乙、丙三人打电话的顺序任意，打电话给甲乙丙的概率都是 .
3
2
13．【答案】
2
1 2i 1 2i1 3i 5 5i 1 1 1 2 1 2 2
【解析】【解答】解： z i ，|| = + = .
1 3i 1 3i1 3i 10 2 2 ( 2) (2) 2
7 / 10
2
故答案为： .
2
【分析】根据复数的四则运算与复数模的运算公式求解即可.
3
14．【答案】
5
3 3
【解析】【解答】解：由题意得 cos .
32 42 5
3
故答案为： .
5
【分析】根据三角函数定义求解.
15．【答案】 2
【解析】【解答】解：由题意可知：设圆锥的底面半径 r ，则母线长为 2r ，
1 3
则 2r 2r 3 ，解得 r 1，
2 2
所以 该圆锥的侧面积为 1 2 2 .
故答案为： 2 .
【分析】根据题意设圆锥的底面半径 r ，则母线长为 2r ，结合面积关系可得 r 1，再利用圆锥的侧面积公式
分析求解.
16．【答案】30
【解析】【解答】解： 本地区中小学生总人数 3000 6000 6000 15000 ，设高中生中抽取了 x 人，根据分
150 x
层抽样原理得 ，求得 x 30 .
15000 3000
故答案为：30.
【分析】根据分层抽样原理计算求解.
3
17．【答案】
2
x
【解析】【解答】解：因为 f x 4 log4 x
1 1 3
则 f 2
2 2 2
8 / 10
3
故答案为： .
2
【分析】利用指数与对数运算法则求解
11
18．【答案】
2
3 11
【解析】【解答】解：由题意可得： a b a 2b a 2 a b 2b 2 1 2 22 .
2 2
11
故答案为： .
2
【分析】根据题意结合数量积的运算律运算求解.
19．【答案】（1）解：tanB 3，0 B ，B .
3
1 2 2
cosC ，0 B ，sinC 1 cos2C .
3 3
1 1 3 2 2 2 6 1
cosA cosB C cos C .
3 2 3 2 3 6
2 2
3 6
b c bsinC
（2）解：由正弦定理 可得 c 3 8.
sinB sinC sinB 3
2
3 1 1 2 2 3 2 2
sinA sin B C sin C ，
3 2 3 2 3 6
1 1 3 2 2
所以A ABC 的面积 S bcsinA 83 6 6 2 8 3 .
A ABC 2 2 6
【解析】【分析】(1)利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式以及两角和的余弦公式求解；
(2)先求出 sinA ，再利用三角形的面积公式求解.
1
20．【答案】（1）解： x (45 50 60 60 70 80 80 80 85 90) 70 ，
10
2 1 2 2 2 2 2 2 2
s1 25 20 210 0 310 15 20 215，
10
1
y (40 55 60 60 70 80 80 80 80 95) 70 ，
10
2 1 2 2 2 2 2 2
s2 30 15 210 0 410 25 235 ．
10
（2）解：由 x y 70 可得 A，B 两个品种平均产量相等，
2 2
又 s1 s2 ，则 A 品种产量较稳定，故选择 A 品种.
9 / 10
【解析】【分析】（1）利用平均数和方差定义代入数据计算；
(2)比较 A，B 两个品种的平均产量和产量的稳定程度。
1
=
400 + 20 = 3 200
21．【答案】（1）由题意得{10000 + 100 = 55，解得 1 .
{ =
20
1 1
（2）由题意知， x2 x 10 ，解得 x 40 或 x 50 （舍去）
200 20
所以该车超速．
【解析】【分析】(1)根据题意把实际问题转化为数学问题，由已知的函数关系整理即可得出函数的解析式，再
由由特殊值代入法计算出结果即可。
(2)由已知条件即可得出不等式，结合一元二次不等式的解法求解出 x 的取值范围即可。
22．【答案】（1）证明：设 BD 与 AC 交于点 F ，连接 EF ，因为底面 ABCD 是正方形，所以 F 为 BD 的中
点，又因为 E 为 SD 的中点，所以 EF ASB ，因为 SB 平面 ACE，EF 平面 ACE ，所以 SB A平面 ACE
（2）解：因为底面 ABCD 是正方形，所以 AC BD ，
又因为 SA 平面 ABCD，BD 平面 ABCD ，所以 SA BD ，
又 AC SA A，AC，SA 平面 SAC ，所以 BD 平面 SAC ，
因为 SC 平面 SAC ，所以 SC BD
【解析】【分析】 (1)设 BD 与 AC 交于点 F ，连接 EF ，利用中位线证明 EF ASB ，进而证明 SB A平面 ACE
；
(2) 通过证明 AC BD ， SA BD ，得到 BD 平面 SAC ，所以 SC BD .
10 / 10