文科数学
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
A 1,0,1,2,3 B x | x a A B 1,2,3
1. 已集合 ，集合 ， ，则实数a 的取值范围为（ ）
A. ,1 B. 0,1 C. 0,1 D. 0,1
复数 z 满足 i2023 2 z 2 i ，则 （ ）
2. z
A. 1 2i B. 1 2i C. 1 2i D. 1 2i
x2 y2
3. 关于椭圆 1，以下说法正确的是（ ）
4 2
A. 长轴长为 2 B. 焦距为 2 2
1
C. 离心率为 D. 左顶点的坐标为 2,0
2
4. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体初始温度为1 ，空气的温度为0 ，那么 t 小时后物体的温度 可由
kt
公式 0 1 0 e 求得，其中 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数.现有 A 、 B 两
个物体放在空气中冷却，已知两物体的初始温度相同，冷却 小时后， 、 两个物体的温度分别为
2 A B
40 、 70 ，假设 A 、 B 两个物体的冷却系数分别为 kA 、 kB ，则（ ）
1 1
A. k k ln2 B. k k ln2
A B 2 B A 2
k 1 k 1
C. A ln2 D. B ln2
kB 2 kA 2
5. 若抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点也是双曲线 x2 y2 p 的一个焦点，则此抛物线的方程为（ ）
A. y2 32x B. y2 16x
2 2
C. y 8x D. y 4x
6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
第1页/共5页
3
A. B. C. 2 D. 4
2 2
7. 已知函数 f (x) 的部分图象如图，则函数 f (x) 的解析式可能为（ ）.
A. f (x) 2x 2x sin x B. f (x) 2x 2 x sin x
C. f (x) 2x 2x cos x D. f (x) 2x 2x cos x
1
8. 已知不等式 sin x cos x cos2 x m 0m R 对 x , 恒成立，则 m 的最小值为
2 4 3
（ ）
2 3 1 2 2
A. B. C. D.
4 2 2 2
9. 如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB BC AC AA1 ，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值等
于（ ）
第2页/共5页
3 1 1 1
A. B. C. D.
2 2 3 4
10. 抛物线 C ： y2 2 px （ p 0 ）的顶点为 O ，斜率为 1 的直线 l 过点 2 p,0 ，且与抛物线 C 交于 A ，
B 两点，若OAB 的面积为8 5 ，则该抛物线的准线方程为（ ）
2
A. x= 1 B. x
2
C. x 2 D. x 2
1 1
11. 在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 b 1， B ， 2 ，则 ABC 的
6 tanA tanC
面积为（ ）
1 1 3
A. B. C. D. 1
4 2 2
x2 y2
12. 已知 P 为双曲线 1a 0,b 0 左支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为 A 、 B ，直线 BP
a2 b2
交双曲线的一条渐近线于点 Q ，直线 AP 、 AQ 的斜率为 k1 、 k2 ，若以 AB 为直径的圆经过点 Q ，且
2k1 k2 0 ，则双曲线的离心率为（ ）
3 6
A. B. 2 C. 2 D.
2 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知向量 a 1,2 ， b 4,3 ，则 a 2a b ________
1
14. 已知 0, ， tan ，则 cos _____________.
2 4 2
x y 0
15. 若实数 x, y 满足约束条件 2x y 0 ，则 z 3x 2y 的最大值为__________．
x 2
第3页/共5页
16. 三棱锥 D ABC 的外接球的表面积为 20 ，AD 是该球的直径， ABC 是边长为 2 3 的正三角形，
则三棱锥 D ABC 的体积为______．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17. 求符合下列条件的曲线方程：
（1）求过 A(1,2) ， B(2,3) ， C(3,2) 三点的圆的标准方程；
x2
（2）求与双曲线 C : y2 1有共同渐近线且过点 (2, 5) 的双曲线方程；
4
（3）顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点 P(2,3) 的抛物线的标准方程.
18. 设等差数列an 满足 a2 a5 19 ， a6 a3 9 .
（1）求an 的通项公式；
（2）记 Sn 为an 的前 n 项和，若 S11 Sk Sk 2 ，求 k 的值.
如图，在三棱柱 ABC - A B C 中， 是边长为 的等边三角形， AC BC ，平面 AAC C 平
19. 1 1 1 ABC 2 1 1 1
面 ABC, E, F 分别为棱 A1C1, BC 的中点.
（1）证明： EF / / 平面 ABB1 A1 ；
（2）若三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积为 2 3 ，求点 C 到平面 ABB1 A1 的距离.
x2
20 已知函数 f x blnx .
. 2
（1）当b 0 时，求函数的单调区间和极值
2
（2）若 f x 在区间 1,e 内恰好有两个零点，求 b 的取值范围.
第4页/共5页
x2 y2
21. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C : 1(a b 0) 的左，右顶点分别为 A 、 B ，点 F 是椭圆
a2 b2
的右焦点， AF 3FB ， AF FB 3.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）经过椭圆右焦点 F 且斜率不为零的 动直线l 与椭圆交于 M 、 N 两点，试问 x 轴上是否存在异于点 F
的定点T ，使| MF | | NT || NF | | MT |恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存在，说明理由.
（二）选考题（共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第
一题记分）
【选修 4-4：坐标系与参数方程】
x tcos
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为 (t 为参数 ), 为l 的倾斜角，且
y 1 tsin
0, ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
2
2 ．
1 cos2
（1）求曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线 C 交于 A, B 两点，点 P0,1 恰为线段 AB 的三等分点，求 sin.
【选修 45：不等式选讲】
23. 已知不等式 2x a a 的解集为0,4 ．
（1）求实数 a 的值；
1 1
（2）若 m 0,n 0 ，且 m n a ，求 的最小值．
m 2n 2m n
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银川一中 2024 届高三年级第五次月考
文科数学
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
A 1,0,1,2,3 B x | x a A B 1,2,3
1. 已集合 ，集合 ， ，则实数a 的取值范围为（ ）
A. ,1 B. 0,1 C. 0,1 D. 0,1
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的结果列式可得结果.
【详解】因为集合 A 1,0,1,2,3 ，集合 B x | x a， A B 1,2,3 ，
所以 0 a 1.
故选：B.
2023
2. 复数 z 满足 i 2 z 2 i ，则 z （ ）
A. 1 2i B. 1 2i C. 1 2i D. 1 2i
【答案】C
【解析】
【分析】由虚数单位的乘方的性质结合除法运算可得 z 1 2i ，进而可得共轭复数.
505
【详解】因为 i2023 i4 i3 i ，
2 i
所以 i2023 2 z 2 i 可化 为 z 2
i
2 i
所以 z 2 ii= 1 2i ，
i
所以 z 1 2i .
故选：C.
x2 y2
3. 关于椭圆 1，以下说法正确的是（ ）
4 2
A. 长轴长为 2 B. 焦距为 2 2
1
C. 离心率为 D. 左顶点的坐标为 2,0
2
【答案】B
第1页/共 20页
【解析】
【分析】根据椭圆的性质判断.
x2 y2
【 详解】椭圆 1中， a 2,b 2,c 2 ，
4 2
c 2
故长轴长为 2a 4 ，焦距 2c 2 2 ，离心率为 ，左顶点的坐标为 2,0 ，故只有 B 正确.
a 2
故选：B
4. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体初始温度为1 ，空气的温度为0 ，那么 t 小时后物体的温度 可由
kt
公式 0 1 0 e 求得，其中 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数.现有 A 、 B 两
个物体放在空气中冷却，已知两物体的初始温度相同，冷却 2 小时后， A 、 B 两个物体的温度分别为
40 、 70 ，假设 A 、 B 两个物体的冷却系数分别为 kA 、 kB ，则（ ）
1 1
A. k k ln2 B. k k ln2
A B 2 B A 2
k 1 k 1
C. A ln2 D. B ln2
kB 2 kA 2
【答案】A
【解析】
e2kA 4 e2kA 3
【分析】由已知可得出 0 1 0 0 ，变形可得 1 0 0 ，两式相除变形后可得
2kB 2kB
0 1 0 e 70 1 0 e 60
合适的选项.
e2kA 4 e2kA 3
【详解】由题意可得 0 1 0 0 ，则 1 0 0 ，
2kB 2kB
0 1 0 e 70 1 0 e 60
1
2kB kA
两式相除可得 e 2 ，所以， 2kA kB ln 2 ，即 kA kB ln2 .
2
故选：A.
5. 若抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点也是双曲线 x2 y2 p 的一个焦点，则此抛物线的方程为（ ）
A. y2 32x B. y2 16x
C. y2 8x D. y2 4x
【答案】B
【解析】
第2页/共 20页
【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标，再将双曲线方程化为标准式，即可得到其焦点坐标，从而得到方
程，解得即可.
2 p
【详解】抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点为 ,0 ，
2
x2 y2
双曲线 x2 y2 p 可化简为 1，其焦点坐标为 2 p,0 ，
p p
p
由题意可得 2 p ，即 p 2 2 ，解得 p 8 ，
2
则此抛物线的方程为 y2 16x .
故选：B.
6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
3
A. B. C. 2 D. 4
2 2
【答案】B
【解析】
【分析】由三视图还原几何体可知，该几何体为一个大圆柱减去半个小圆柱，根据数据可计算出几何体体
积.
【详解】由三视图还原几何体可知，该几何体为一个大圆柱减去半个小圆柱，
如图：
第3页/共 20页
1 3
故该几何体体积为V 12 2 12 1 .
2 2
故选：B.
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，考查了圆柱的体积公式，考查了学生的直观想象能力.属于
基础题.
7. 已知函数 f (x) 的部分图象如图，则函数 f (x) 的解析式可能为（ ）.
A. f (x) 2x 2x sin x B. f (x) 2x 2 x sin x
C. f (x) 2x 2x cos x D. f (x) 2x 2x cos x
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性可排除 BC，由特殊点可排除 D，即可求解
【详解】由于图像关于原点对称，所以 f (x) 为奇函数，
对于 B：由 f (x) 2x 2 x sin x ，
得： f (x) 2x 2x sin(x) 2x 2x sin x f (x) ， f (x) 为偶函数，故可排除 B；
对于 C：由 f (x) 2x 2x cos x ，
得： f (x) 2x 2x cos(x) 2x 2x cos x f (x) ，为偶函数，故可排除 C；
由图知图象不经过点 ( ,0) ，
2
第4页/共 20页
而对于 D： f 2 2 2 2 cos 0，故可排除 D；
2 2
故选：A
1
8. 已知不等式 sin x cos x cos2 x m 0m R 对 x , 恒成立，则 m 的最小值为
2 4 3
（ ）
2 3 1 2 2
A. B. C. D.
4 2 2 2
【答案】D
【解析】
2
【分析】将问题转化为不等式 m sin 2x 对 x , 恒成立，令
2 4 4 3
2
f x sin 2x 求解.
2 4
1
【详解】解：因为不等式 sin x cos x cos2 x m 0m R 对 x , 恒成立，
2 4 3
2
所以不等式 m sin 2x 对 x , 恒成立，
2 4 4 3
2
令 f x sin 2x ，
2 4
3 5
因为 x , ，所以 2x , ，
4 3 4 4 12
则 sin 2x 1，
4 min
2
所以 f x ，
min 2
2 2
所以 m ，解得 m ，
2 2
2
所以 m 的最小值为 ，
2
故选：D
第5页/共 20页