数学试题
第I 卷（选择题，共 60分）
一单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个符合题目要求.
A {x Z 3 x 3}, B xy x 1
1. 已知集合 ，则 A B （ ）
A. 1,0,1,2 B. 1,3 C. 0,1,2 D. 1,
2. 已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 1,2 ，则下列结论正确的是（ ）
A. z i 2 i B. 复数 z 的共轭复数是1 2i
C. z2 的实部为 5 D. z 5
x2
3. 已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的准线过双曲线 y2 1的一个焦点，则 p （ ）
8
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 设 mn 是两条不同的直线， 是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（ ）
A. 若 ,m ,n ，则 m n
B. 若 , ，则
C. 若 m , ，则 m
m n,n m
D. 若 ，则
2
5. 数列an 的通项公式为 an n kn ，则“ k 3 ”是“an 为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
cos
6. 若 tan ，则 sin 2 （ ）
3 sin 2
2 1 8 7
A. B. C. D.
3 3 9 9
7. 设 a 40.2 ， b 20.3 ， c 2ln1.3 ，则（ ）
A. c b a B. b 第1页/共5页 x2 y2 3 8. 已知 O 为坐标原点，椭圆 E : 1(a b 0) 的左右焦点分别是 F1, F2 ，离心率为 . MP 是 a2 b2 2 2 2 椭圆 E 上的点， MF1 的中点为 N, ON NF1 2 ，过 P 作圆 Q : x (y 4) 1的一条切线，切点为 B ，则 PB 的最大值为（ ） A. 2 2 B. 4 C. 2 5 D. 2 6 二多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，至 少有一个符合题目要求，每道题全对得 5 分，部分选对得 2 分. 9. 已知 a t,2,b 4,t ，则（ ） A. 若 a//b ，则 t 2 2 B. 若 a b ，则 t 0 C. a b 的最小值为 2 D. 若向量 a 与向量 b 的夹角为钝角，则 t 的取值范围为 0, 2 a, a b 10. 已知函数 f x x 1, g x .记 maxa,b ，则下列关于函数 x b, a b F x max f x, g x x 0 的说法正确的是（ ） 2 A. 当 x 0,1 时， F x x B. 函数 F x 的最小值为-1 C. 函数 F x 在 2,0 上单调递减 D. 若关于 x 的方程 F x m 恰有两个不相等的实数根，则 1 m 0 或 m>2 x2 y2 11. 过双曲线 1(a 0,b 0) 的右焦点 F 作渐近线的垂线，垂足为 P ，且该直线与 y 轴的交点为 a2 b2 Q ，若 FP OQ （ O 为坐标原点），该双曲线的离心率的可能取值是（ ） 9 A. 2 B. C. 3 D. 2 5 12. 如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2, P 为底面正方形 ABCD 内（含边界）的一动点，则 下列结论正确的是（ ） 第2页/共5页 A. 存在点 P ，使得 C1P 平面 B1CD1 B. 三棱锥 B1 A1D1P 的体积为定值 C. 当点 P 在棱 CD 上时， PA PB1 的最小值为 2 2 2 3 5 D. 若点 P 到直线 BB1 与到直线 AD 的距离相等， CD 的中点为 E ，则点 P 到直线 AE 的最短距离是 10 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 三填空题：本题共 4 小题，每空 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置 13. 直线l 与直线 x 2y 3 0 垂直，且被圆 (x 2)2 (y 3)2 6 截得的弦长为 2，则直线l 的一个方程 为__________（写出一个方程即可） 14. 如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 AB, M , N 分别是 BB1 和 B1C1 的中点，则直线 AM 与 CN 所成的角余弦值为__________. a a a a 1 已知数列 a 满足： 2 3 n1 n ，设数列 的前 n 项和为T ，若对 15. n a1 n n 2 3 n 1 n n 2an * 2 于任意的 n N ，不等式Tn 恒成立，则实数 的取值范围为__________. 16. 设函数 f x axex ax a ex (a 0) ，若不等式 f x 0 有且只有三个整数解，则实数 a 的取值 范围是__________. 四解答题：本大题共 6 小题，其中 17 题满分 10 分，其余各题满分 12 分，共 70 分，把答 案填在答题卡的相应位置. 第3页/共5页 17. 已知函数 f x Asin x （其中 A 0, 0, ）的部分图像如图所示，将函数 f x 的图 2 象向右平移 个单位长度，得到函数 g x 的图象. 4 （1）求 f x 与 g x 的解析式； （2）令 F x f x g x ，求函数 F x 的单调递增区间. 18. 如图所示，在三棱锥 S ABC 中， ABC 为等腰直角三角形，点 S 在以 AB 为直径的半圆上， CA CB SC 2 ． （1）证明：平面 SAB 平面 ABC ； 3 （2）若 sin SAB ，求直线 SA与平面 SBC 所成角的正弦值． 3 c B 19. 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 sinC cos ,b 3. 3 2 （1）求 B ； （2）求 ABC 的 AC 边中线 BD 的最大值. 20. 已知 Sn 为数列an 的前 n 项和， a2 3 且 2Sn nan 1 n N ． （1）求数列an 的通项公式； n n 1 （2）若 b S sin S sin ，数列bn 的前 n 项和为Tn ，求T50 ． n n 2 n1 2 21. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 E： y2 2 px p 0 的焦点为 F，E 的准线交 x 轴于点 K，过 K 的 y 直线 l 与拋物线 E 相切于点 A，且交 轴正半轴于点 P.已知AKF 的面积为 2. （1）求抛物线 E 的方程； 第4页/共5页 （2）过点 P 的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 y 轴的直线与线段 OA 交于点 T，点 H 满足 MT TH .证明：直线 HN 过定点. 22. 已知函数 f (x) x ln x aex a ，其中 a R . （1）若 f x 是定义域内的 单调递减函数，求 a 的取值范围； （2）当 a 1时，求证：对任意 x (0,) ，恒有 f x cos x 1成立. 第5页/共5页 大庆实验中学实验三部 2021 级高三阶段考试（二） 数学试题 第I 卷（选择题，共 60分） 一单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个符合题目要求. A {x Z 3 x 3}, B xy x 1 1. 已知集合 ，则 A B （ ） A. 1,0,1,2 B. 1,3 C. 0,1,2 D. 1, 【答案】A 【解析】 【分析】利用整数集的定义与具体函数定义域的求法化简集合 A, B ，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为 A {x Z 3 x 3} 2,1,0,1,2， B xy x 1 x x 1 ， 所以 A B 1,0,1,2. 故选：A. 2. 已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 1,2 ，则下列结论正确的是（ ） A. z i 2 i B. 复数 z 的共轭复数是1 2i C. z2 的实部为 5 D. z 5 【答案】B 【解析】 【分析】由复平面内对应的点，得复数 z ，通过复数的乘法，复数模的计算，共轭复数和复数实部的定义， 验证各选项的结论. 【详解】复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 1,2 ，则 z 1 2i ， z i 1 2ii 2 i ，A 选项错误； z 1 2i ，B 选项正确； 2 z2 1 2i 1 4i 4 3 4i ， z2 的实部为-3，C 选项错误； z 12 22 5 ，D 选项错误. 第1页/共 23页 故选：B x2 3. 已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的准线过双曲线 y2 1的一个焦点，则 p （ ） 8 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标，然后利用抛物线的定义，求解 p 即可 x2 【详解】双曲线 y2 1的焦点坐标 3,0 ， 8 x2 抛物线 y2 2 px( p 0) 的准线过双曲线 y2 1的一个焦点， 8 p 所以 = 3，可得 p = 6 ． 2 故选：C． 4. 设 mn 是两条不同的直线， 是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（ ） A. 若 ,m ,n ，则 m n B. 若 , ，则 C. 若 m , ，则 m D. 若 m n,n ，则 m 【答案】A 【解析】 【分析】分析每个选项中的直线与平面的位置关系，判断正误. 【详解】对于 A 项，若 // ， m ， n ，则 m//n ，A 项正确； 对于 B 项，若 ， ，可能 和 相交，B 项错误； 对于 C 项，若 m / / ， // ，直线 m 可能在平面 内，C 项错误； 对于 D 项，若 m//n ， n// ，直线 m 可能在平面 内，D 项错误. 故选：A. 2 5. 数列an 的通项公式为 an n kn ，则“ k 3 ”是“an 为递增数列”的（ ） 第2页/共 23页 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 * 【分析】an 为递增数列，则 an1 an 0 对于任意 n N 恒成立，由不等式求 k 的取值范围即可. 2 【详解】数列an 的通项公式为 an n kn ，an 为递增数列， 2 则 2 对于任意 * 恒成立， an1 an n 1 k n 1 n kn 2n 1 k 0 n N 即 对于任意 * 恒成立，故 k 2n 1 3， k 2n 1 n N max 则“ k 3 ”是“an 为递增数列”的充要条件. 故选：D cos 6. 若 tan ，则 sin 2 （ ） 3 sin 2 2 1 8 7 A. B. C. D. 3 3 9 9 【答案】D 【解析】 1 【分析】切化弦，结合 sin2 cos2 1得出 sin ，然后根据诱导公式及二倍角公式求解. 3 cos sin cos 【详解】因为 tan ，所以 ，即 3sin sin2 cos2 ， 3 sin cos 3 sin 1 所以 3sin sin2 cos2 1，即 sin ， 3 2 7 所以 sin 2 cos2 1 2sin ， 2 9 故选：D． 7. 设 a 40.2 ， b 20.3 ， c 2ln1.3 ，则（ ） A. c b a B. b 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数 f x x 1 ln x ，应用导数得其单调性，可判断 0.3 ln1.3 ，再结合指数函数 y 2x 的单调性即可判断. 第3页/共 23页 x 1 【详解】根据题意，构造函数 f x x 1 ln x ，则 f x ， x 当 x 1时， f x 0 ，所以 f x 在区间1, 上单调递增， 因此可得 f 1.3 f 1 0 ，即 f 1.3 1.31 ln1.3 0.3 ln1.3 0 ， 所以 0.3 ln1.3 ， 又指数函数 y 2x 为单调递增，可得 20.3 2ln1.3 ，即b c . 因为 a 40.2 20.4 20.3 b ，所以 c b a ， 故选：A. x2 y2 3 8. 已知 O 为坐标原点，椭圆 E : 1(a b 0) 的左右焦点分别是 F1, F2 ，离心率为 . MP 是 a2 b2 2 2 2 椭圆 E 上的点， MF1 的中点为 N, ON NF1 2 ，过 P 作圆 Q : x (y 4) 1的一条切线，切点为 B ，则 PB 的最大值为（ ） A. 2 2 B. 4 C. 2 5 D. 2 6 【答案】B 【解析】 2 x 2 【分析】根据题意，由椭圆的定义和几何性质，求得椭圆 E 的方程为 y 1，设 P(x0 , y0 ) ，再由圆 4 的切线长的性质，求得 2 2 2 ，结合二次函数的性质，即可求解. PB PQ r 3y0 8y0 19 1 【详解】如图所示，连接 MF ，因为 MF 的中点为 N ，所以 ON MF ， 2 1 2 2 1 1 所以 ON NF ( MF MF ) 2a a 2 ， 1 2 1 2 2 c 3 x2 又因为 e ，所以 c 3 ，所以椭圆 E 的方程为 y2 1， a 2 4 2 x0 2 2 2 设 P(x0 , y0 ) ，则 y 1，所以 x 4 4y ，其中 1 y0 1， 4 0 0 0 连接 QB, PQ ，因为圆 Q : x2 (y 4)2 1，可得圆心 Q(0,4) ，半径为 r 1， 又因为 PB 为圆 Q 的切线，切点为 B ，所以 QB PB ，且 QB 1， 第4页/共 23页 可得 2 2 2 2 2 2 PB PQ r x0 (y0 4) 1 4 4y0 (y0 4) 1 4 73 3y2 8y 19 3(y )2 ， 0 0 0 3 3 因为 1 y 1，所以当 y 1 时， PB 取得最大值，最大值为 PB 2 6 . 0 0 max 故选：B. 二多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，至 少有一个符合题目要求，每道题全对得 5 分，部分选对得 2 分. 9. 已知 a t,2,b 4,t ，则（ ） A. 若 a//b ，则 t 2 2 B. 若 a b ，则 t 0 C. a b 的最小值为 2 D. 若向量 a 与向量 b 的夹角为钝角，则 t 的取值范围为 0, 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量平行垂直的坐标表示，向量模和夹角的坐标表示，通过计算验证各选项中的结论. 【详解】已知 a t,2,b 4,t ， 2 若 a//b ，则 t 24 8，解得 t 2 2 ，A 选项正确； 若 a b ，则 a b 4t 2t 0 ，解得 t 0 ，B 选项正确； 2 2 2 a b t 4,2 t ， a b t 4 2 t 2t 3 2 ， 当 t 3 时， a b 有最小值 2 ，C 选项错误； 第5页/共 23页