理科数学
注意事项:
1.答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上.
2.做选择题时，必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再填涂其它答案标号.
3.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
设 M {xx 4k 3,k Z}, N {xx 2k 1,k Z}，则（ ）
1.
A. M N B. N M
C. M = N D. M N
i
2. 复数 z 的虚部为（ ）
1 i5
1 1 1 1
A. B. i C. D. i
2 2 2 2
3. 某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图 1 和图 2 所示，为了解该小区户主对户型
结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取 25% 的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽
取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）
A. 400，32 B. 400，36 C. 480，32 D. 480，36
4. 如图，在 ABC 中， AB 6, AC 3,BAC , BD 2DC ，则 AB AD （ ）
2
A. 9 B. 18 C. 6 D. 12
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y 7 3 4
5. m x y 的展开式中 x y 的系数为 105 ，则实数 m （ ）
x
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
2 2 2 2
6. 已知圆 C1 : x y 1 1和圆 C2 : x a y 1 16 ，其中 a 0 ，则使得两圆相交的一个充
分不必要条件可以是（ ）
A. 2 a 5 B. 3 a 4 C. 3 a 5 D. 3 a 6
x2 y2 a
7. 已知椭圆 M： 1a b 0 ，点 C b, 在其上，直线 l 交椭圆于 A，B 两点， ABC 的重
a2 b2 2
心是坐标原点，则直线 l 的斜率为（ ）
2 2
A. 2 B. C. 2 2 D.
2 4
8. 已知函数 f x Asin x A 0, 0,| | 的部分图象如图所示，将 f x 的图象向右平移
aa 0 个单位长度，得到函数 g x ，若 g x 满足 g 2 x g x ，则 a 的最小值为（ ）
5
A. B. C. D.
12 6 4 12
|xm| m
9. 定义在 R 上的偶函数 f (x) 2 1，记 a f (log0.1 0.2) ， b f (log5 0.1) ， c f (2 ) ，则
（ ）
A. a b c B. a c b C. b a c D. c b a
10. 第 33 届夏季奥运会预计在 2024 年 7 月 26 日至 8 月 11 日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增电子竞
技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等 5 个表演项目．现有三个场地 A ， B ， C 分别承担竞赛项目与表演项目
比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能 A ， B 两地承办，且各自承办其中一项.5 个表演项目分别由 A ，
B ， C 三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A. 150 种 B. 300 种 C. 720 种 D. 1008 种
3
11. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数，且满足 f ( x) f (x) ， f (1) 3 ，数列{a }满足 a 1，且
2 n 1
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S 2a
n n 1， (S 为{a }的前 n 项和， n N*) ，则 f a f a （ ）
n n n n 5 6
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
x2 y2
12. 已知双曲线 C : 1a 0,b 0 的右顶点、右焦点分别为 A， F ，过点 A 的直线l 与 C 的一
a2 b2
条渐近线交于点 Q ，直线 QF 与 C 的一个交点为 B，若 AQ AB AQ FB ，且 BQ 3FQ ，则 C 的离心
率为( )
2 5
A. 2 B. 5 1 C. D. 2 5
3
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
x y 4,
13. 若实数 x, y 满足约束条件 x y 2, 则 z 2x y 的最大值为________．
y 4,
2
14. 已知角, 均在 第一象限， 终边上有一点 Asin,4cos ，且 cos ，则 coscos
3
________.
15. 下列四个命题中为真命题的是_________.（写出所有真命题的序号）
1 3
若随机变量 服从二项分布 B 4, ，则其方差 D ；
4 4
若随机变量 X 服从正态分布 N 3, 2 ，且 P X 4 0.64 ，则 P2 X 3 0.07 ；
已知一组数据 x1, x2 , x3 ,, x10 的方差是 3，则 x1 2, x2 2, x3 2,, x10 2 的方差也是 3；
对具有线性相关关系的变量 x, y ，其线性回归方程为 y 0.3x m ，若样本点的中心为 m,2.8 ，则实数
m 的值是 4；
16. 已知曲线 C，直线 l : x= 1,点 F 1,0 ， P2,0 ，以曲线 C 上任意一点 M 为圆心、MF 为半径的圆
与直线 l 相切，过点 Q2,0 的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，则 tan APB 的最大值为______．
三．解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17—21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
*
17. 已知数列an 的前 n 项和为 Sn ， a1 1，且 2nSn1 2n 1 Sn nn 1n N ．
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S
（1）求证：数列 n 为等差数列；
n
1
c
（2）已知等差数列bn 满足 b3 5 ，其前 9 项和为 63．令 n ，设数列cn 的前 n 项和为Tn ，求
anbn
1 3
证： T ．
3 n 4
18. 杭州第 19 届亚运会后，多所高校掀起了体育运动的热潮．为了深入了解学生在“艺术体操”活动中的参
与情况，随机选取了 10 所高校进行研究，得到数据绘制成如下的折线图：
（1）若“艺术体操”参与人数超过 35 人的学校可以作为“基地校”，现在从这 10 所学校中随机选出 3 所，记
可作为“基地校”的学校个数为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）现有一个“艺术体操”集训班，对“支撑、手倒立、手翻”这 3 个动作技巧进行集训，且在集训中进行了
多轮测试．规定：在一轮测试中，这 3 个动作中至少有 2 个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在
2
集训测试中，某同学 3 个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为 ，每个动作及每轮测试互不影响．如果
5
该同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到 8 次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
19. 在锐角 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， O 为其外接圆的圆心， AOAB 8 ，
1 1 8
3 ．
tan A tan B b
（1）求 A 的大小；
（2）若 C , ，求边长 b 的最值．
4 3
20. 已知函数 f (x) ln x mx 1， g(x) xex 1 .
（1）若 f (x) 的最大值是 0，求 m 的值；
（2）若对于定义域内任意 x ， f (x) g(x) 恒成立，求 m 的取值范围.
2
21. 已知抛物线 C : y 2 px p 0 ，其焦点为 F ，定点 A1,1 ，过 A 的直线l 与抛物线 C 相交于 M ， N
两点，当l 的斜率为 1 时，MNF 的面积为 2.
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（1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线在 M ， N 点处的切线分别为 l1 ， l2 ，且 l1 ， l2 相交于点 P ，求 PA 距离的最小值.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
x t cos
22. 在直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标是 0,1 ，曲线C1 的参数坐标方程 （ t 为参数，
y 1 t sin
0 ）．以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为
2 2
2
，C 与 C 交于 A ， B 两点．
1 sin 1 2
（1）将曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？
1 1
（2）过点 P 作垂直于C1 的直线l 交 C 于 C ， D 两点，求 的值．
2 PA PB PC PD
23. 已知函数 f x x a x 4a
（1）若 a 1，求不等式 f x 7 的解集；
1 mn
（2）对于任意的正实数 m,n ，且 3m 2n ，若 f x 恒成立，求实数 a 的取值范围.
2 m2 n
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绵阳南山中学实验学校高 2024 届一月月考试题
理科数学
注意事项:
1.答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上.
2.做选择题时，必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再填涂其它答案标号.
3.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 设 M {x x 4k 3,k Z}, N {x x 2k 1,k Z}，则（ ）
A. M N B. N M
C. M = N D. M N
【答案】A
【解析】
【分析】 M 的元素用 2k 1 来表示，再利用集合间的基本关系选择正确答案.
【详解】因为 M {xx 4k 3,k Z} {xx 2(2k 1) 1,k Z}, N {xx 2k 1,k Z}，所以
M N ．
故选：A.
i
2. 复数 z 的虚部为（ ）
1 i5
1 1 1 1
A. B. i C. D. i
2 2 2 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据 i 的性质、复数的除法运算可得答案.
i i i1 i 1 i 1 i
【详解】 z ，
1 i5 1 i 1 i1 i 2 2 2
1
所以 z 的虚部为 .
2
故选：C.
3. 某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图 1 和图 2 所示，为了解该小区户主对户型
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结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取 25% 的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽
取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）
A. 400，32 B. 400，36 C. 480，32 D. 480，36
【答案】A
【解析】
【分析】根据图（1）及分层抽样可得样本容量及抽取的四居室户主人数，再结合图（2）可得抽取的户主
对四居室满意的人数.
【详解】由图（1）得该小区户主总人数为 480 800 320 1600 人，
所以样本容量为1600 25% 400 人，其中四居室户主有 320 25% 80 人，
由图（2）得抽取的户主中对四居室满意的有80 40% 32 人，
故选：A.
4. 如图，在 ABC 中， AB 6, AC 3,BAC , BD 2DC ，则 AB AD （ ）
2
A. 9 B. 18 C. 6 D. 12
【答案】D
【解析】
1 2 1 2 1 2 2
【分析】由 BD 2DC 可得 AD AB AC ，则 AB AD AB AB AC AB AB AC ，代
3 3 3 3 3 3
入化简即可得出答案.
1
【详解】由 BD 2DC 可得： DC BC ，
3
1 1 1 2
所以 AC AD BC AC AB ，所以 AD AB AC ，
3 3 3 3
1 2 1 2 2
AB AD AB AB AC AB AB AC ，
3 3 3 3
第2页/共 23页
因为 AB 6, AC 3,BAC ，
2
1 2 2 1
所以 AB AD AB AB AC 36 12.
3 3 3
故选：D.
y 7 3 4
5. m x y 的展开式中 x y 的系数为 105 ，则实数 m （ ）
x
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项式的展开式公式展开，再与前面的项相乘求解即可.
7 r r 7r r
【详解】 x y 的展开式的通项公式为Tr1 1 C7 x y ，
y r
所以 T 1 Cr x6r yr1 ．
x r1 7
6 r 3
令 ，解得 r 3，
r 1 4
r r 7r r 7 r 3
mTr1 m1 C7 x y ．令 ，解得 r 4 ．
r 4
3 3 4 4 3 4 3
由题意，可知 1 C7 m1 C7 C7 mC7 m 1C7 105 ，
所以 m 2 ．
故选：D．
2 2 2 2
6. 已知圆 C1 : x y 1 1和圆 C2 : x a y 1 16 ，其中 a 0 ，则使得两圆相交的一个充
分不必要条件可以是（ ）
A. 2 a 5 B. 3 a 4 C. 3 a 5 D. 3 a 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得两圆相交的充要条件，求得 a 的取值范围，再由选项即可得到结果.
2 2
【详解】因为圆 C1 : x y 1 1的圆心 0,1 ，半径为1，
2 2
圆 C2 : x a y 1 16 的圆心 a,1 ，半径为 4 ，且 a 0 ，
使得两圆相交的充要条件为 4 1 a 02 112 4 1，且 a 0 ，
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解得 3 a 5，由选项可得 3,4 3,5 ，
所以其一个充分不必要条件可以是 3 a 4 .
故选：B
x2 y2 a
7. 已知椭圆 M： 1a b 0 ，点 C b, 在其上，直线 l 交椭圆于 A，B 两点， ABC 的重
a2 b2 2
心是坐标原点，则直线 l 的斜率为（ ）
2 2
A. 2 B. C. 2 2 D.
2 4
【答案】B
【解析】
a a
【 分 析 】 将 C b, 代 入 椭 圆 方 程 求 出 2 ， 设 A x1, y1 , B x2 , y2 ， 利 用 点 差 法 得 到
2 b
y y y y b2 a
1 2 1 2 ，结合 的重心是坐标原点，得到 x x b, y y ，求出直线 l 的斜
2 ABC 1 2 1 2
x1 x2 x1 x2 a 2
率.
a b2 a2
【详解】将 C b, 代入椭圆方程得， 1，
2 a2 4b2
a2 1 t a2 a
令 t ，则 1，解得 t 2 ，即 2 ， 2
b2 t 4 b2 b
a
x1 x2 b y1 y2
设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，则 0 ， 2 ，
3 0
3
a
故 x x b, y y ，
1 2 1 2 2
2 2
x1 y1
2 2 1 2 2 2 2
a b x x y y
又 ，两式相减得， 1 2 1 2 ，
x2 y2 a2 b2
2 2 1
a2 b2
2 a
y1 y2 y1 y2 b
变形得到 2 ，即 2 1 ，
x x x x a k
1 2 1 2 l b 2
a 2
故 kl 1， 2k 1，解得 k .
b l l 2
故选：B
第4页/共 23页
8. 已知函数 f x Asin x A 0, 0,| | 的部分图象如图所示，将 f x 的图象向右平移
aa 0 个单位长度，得到函数 g x ，若 g x 满足 g 2 x g x ，则 a 的最小值为（ ）
5
A. B. C. D.
12 6 4 12
【答案】D
【解析】
【分析】先根据图象求解出 f x 的解析式，然后根据图象的平移变换求解出 g x 的解析式，由已知条件
分析出 g x 的图象关于直线 x 对称，即可根据 g 1求解出 a 的值.
T
【详解】法一：由图可知， A 1 ，图象过点 ,1 ， ,0 T ，
12 3 4 3 12
2
T , 0 ， 2 .
| |
f x 的图象过点 ,1 ，sin 2 1
12 12
2 2k k Z 2k k Z ，
12 2 3
| | ， ，
3
f x sin 2x ， g x sin 2 x a sin 2x 2a ，
3 3 3
由 g 2 x g x ，得 g x 的图象关于直线 x 对称，
所以 g sin 2 2a sin 2a 1，
3 3
2a k k Z ，
3 2
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