数学
命题人：安道波 张伟 宋永任 王治淳 校对人：安道波
注意事项：
1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效 2.本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两
部分，共 150 分，考试时间 120 分钟.
第 I 卷
一单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求
x 1 *
1.已知集合 A 1,2,3,4,5, B x N ，则 A B （ ）
2
A.5 B.2,4 C.3,5 D.1,3,5
1 i
2.设复数 z 4i ，则 z （ ）
1 i
A.0 B.1 C.2 D.3
1
3.在 ABC 中，若 AD mDB,CD CA CB ，则 （ ）
3
2 1 1 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
4.在财务审计中，我们可以用“本福特定律”来检验数据是否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的自
然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是1 9 这九个事件不是等可能的.具体来说，随机变量
k 1
是一组没有人为编造的首位非零数字，则 P k lg ,k 1,2, ,9 .则根据本福特定律，首位非零
k
数字是 1 与首位非零数字是 8 的概率之比约为（ ）（保留至整数，参考数据：
lg2 0.301,lg3 0.477 ）.
A.4 B.6 C.7 D.8
2 2
5.已知曲线“ C : loga 2024 x logb 2024 y 1表示焦点在 y 轴上的椭圆”的一个充分非必要条件是
（ ）
A. 0 a b B.1 a b
3
C. a b D.1 b a
2
log x , x 0,2
2
6.已知函数 f x ，若存在实数 x1, x2 , x3 , x4 满足
sin x, x 2,10
4
x3 x4
f x1 f x2 f x3 f x4 ，且 x1 x2 x3 x4 ，则 的值是（ ）
4x1 x2
A.3 B.6 C.8 D.12
1 1 1 5 5
7.设 a ,b 2ln sin cos ,c ln ，则（ ）
4 8 8 4 4
A. a b c B. b a c
C. c b a D. a c b
8.已知函数 f x asinx bcosx(a 1,b 1, 0) 满足下列条件：对任意
1 3 4
x R, f x f 恒成立； f x 在区间 , 上是单调函数；经过点 b, 2a 的任意一条直线
4 7 7
与函数 y f x 图像都有交点，则 的取值范围是（ ）
28 28
A. 0,1 3, B. 0,1 3,
9 9
3
C. 0,13,5 D. 0,1 ,5
2
二多项选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
2 2 2
9.在ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ，若 acosB bsinA c ， a 2 10,a b c absinC ，
则（ ）
A. tanC 2 B. A
3
C. b 6 2 D.ABC 的面积为12 2
10.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， MNP 分别是 C1D1C1CA1 A 的中点，则（ ）
A.平面 A1MN 截正方体所得截面为等腰梯形
1
B.三棱锥 D MNB 的体积为
1 12
10
C.异面直线 MN 与 D1P 所成角的余弦值为
10
D. A1D BM
11.已知 A, B,C 三个盒子，其中 A 盒子内装有 2 个红球，1 个黄球和 1 个白球； B 盒子内装有 2 个红球，1
个白球； C 盒子内装有 3 个红球，2 个黄球.若第一次先从 A 盒子内随机抽取 1 个球，若取出的球是红球放入
A 盒子中；若取出的球是黄球放入 B 盒子中；若取出的球是白球放入 C 盒子中，第二次从第一次放入盒子中
任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
1
A.在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽到红球的概率为
2
1
B.第二次抽到红球球的概率为
3
C.如果第二次抽到的是红球，则它来自 B 号盒子的概率最大
D.如果将 5 个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放 1 个，则不同的放法有 150 种
x2 y2
12.已知椭圆 E : 1左焦点 F ，左顶点 C ，经过 F 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点（点 A 在第一象
4 3
限），则下列说法正确的是（ ）
6
A.若 AF 2FB ，则 l 的斜率 k
2
27
B. AF 4 BF 的最小值为
4
C.以 AF 为直径的圆与圆 x2 y2 4 相切
9
D.若直线 AC, BC 的斜率为 k ,k ，则 k k
1 2 1 2 4
第 II 卷
三填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应位置上）
13.如图所示是一个样本容量为 100 的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其 60% 分位数为
__________.
14.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，
1 2
具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段 , ，记为第一
3 3
1 2
次操作：再将剩下的两个区间 0, , ,1 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操
3 3
作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的
区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和
1821
小于 ，则操作的次数 n 的最大值为__________.
2024
4 5 6 7
2 2 2 2
（参考数据： 0.1975, 0.1317, 0.0878, 0.0585 ）
3 3 3 3
15.已知 A3,0 ，若点 P 是抛物线 y2 8x 上的任意一点，点 Q 是圆 (x 2)2 y2 1上任意一点，则
| PA |2
最小值是__________.
PQ
16.如图所示，在圆锥内放入两个球 O1,O2 ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点圆分别为
C1,C2 .这两个球都与平面 相切，切点分别为 F1, F2 ，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面
与圆锥侧面的交线为椭圆， F1, F2 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为 G.Dandelin 双球.若圆锥的母线与
它的轴的夹角为 30 ， C1,C2 的半径分别为 2，5，点 M 为 C2 上的一个定点，点 P 为椭圆上的一个动
点，则从点 P 沿圆锥表面到达 M 的路线长与线段 PF1 的长之和的最小值是__________.
四解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 10 分）
已知函数 f x sin 2x cos2x ，其中 ，__________.
2
请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：
是 f x 的一个零点； f 0 f .
12 3
（1）求 的值；
（2）当 x , 时，若曲线 y f x 与直线 y m 恰有一个公共点，求 m 的取值范围.
6 3
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题满分 12 分）
如图，多面体 ABCDNM ，四边形 DBMN 是矩形，梯形 ABCD, AD BC, DN 平面
ABCD, CBD ， E 为 AB 中点， AD BD DN 2, BC 1 .
2
（1）证明： AN 平面 MDE ；
（2）求平面 MNC 和平面 MNA 所成角余弦值.
19.（本小题满分 12 分）
an 1,n为奇数 *
已知数列an 满足： a1 1,an1 n N .设 b a .
为偶数 n 2n1
2an ,n
（1）证明：数列bn 2 为等比数列，并求出bn 的通项公式；
（2）求数列an 的前 2n 项和.
20.（本小题满分 12 分）
某农场 2021 年在 3000 亩大山里投放一大批鸡苗，鸡苗成年后又自行繁育，今年为了估计山里成年鸡的数量
N ，从山里随机捕获 400 只成年鸡，并给这些鸡做上标识，然后再放养到大山里，过一段时间后，从大山里
捕获 1000 只成年鸡， X 表示捕获的有标识的成年鸡的数目.
（1）若 N 10000 ，求 X 的数学期望；
（2）已知捕获的 1000 只成年鸡中有 20 只有标识，试求 N 的估计值（以使得 P X 20 最大的 N 的值作
为 N 的估计值）.
21.（本小题满分 12 分）
已知抛物线 G : x2 2 py( p 0) 经过点 2,1 ，经过点 0,2 的直线 l 与抛物线 G 交 A, B 两点，过 A, B 两点
作抛物线 G 的切线相交于点 P,Q 为线段 AB （ A, B 两点除外）上一动点，直线 PQ 与抛物线 G 交 C, D 两
点.
（1）若PAB 的的面积为12 3 ，求直线 l 方程；
PC PD
（2）求证： .
CQ DQ
22.（本小题满分 12 分）
alnx 1
已知函数 f x ex a （ e 为自然对数的底数）.
x
（1）若 f x 0 ，求实数 a 的值；
21 sinx
（2）证明： xex 2 lnx ；
x
x 2
（3）对 x , , xe ax 2x xcosx 恒成立，求 a 取值范围.
2
2024 年大连市高三双基测试
参考答案与评分标准数学
说明：
一本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要
考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半：
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四只给整数分数，选择题和填空题不给中间分第 I 卷
一单项选择题
1.C 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8.A.
2
1 1 1 1 1
7.解： b ln sin cos ln 1 sin ,c 1 ln 1 ，构造函数由 sinx x,ln x 1 x
8 8 4 4 4
1 1 1 1 1
得， sin ,ln 1 sin sin ,a b; 构造函数
4 4 4 4 4
x 1 1 x
f x ln x 1 , f x
x 1 x 1 (x 1)2 (x 1)2
f x 在0,1上单调递增，即 c a ，故 c a b
1 1 1
另法： x 1 xlnx,c 1 ln 1
4 4 4
2 2
8.方法一：由函数 f x asinx bcosx( 0) 可知函数周期是 ，
1 1
因为对任意 x R, f x f 恒成，所以函数的一条对称轴是 x ，
4 4
1 1 3
m
3 4 4 7
又因为 f x 在区间 , 是单调函数，所以 ，
7 7 1 1 4
m 1
4 7
所以 1 m 2,m Z ，所以 m 为 0 或 1.
28 28 56
当 m 0 时， 0 ；当 m 1时，
9 5 9
由已知得 2 2 ，因为经过点 b, 2a 的任意一条直线与函数 y f x 图像都有交点，所以
f (x)max a b
a2 b2 2a ，所以 b a .
1 1
因为对任意 x R, f x f 恒成，所以 f acos bsin 0 .
4 4 4 4
a
所以 tan ,1 tan 1，
4 b 4
28 28 56 3 7 28
由 0 或 ，得 0 或 ，所以 0 1或 3
9 5 9 4 4 4 4 9 9
2 2 b
方法二： f x a b sin x , tan , 0, ,
a 2
1
由可知： m ，即 m,m Z （*）
4 2 4 2
3 4
由可知： x , ，
7 7
3 4 3 4
因为函数在 , 上是单调函数，所以 , k, k ,k Z
7 7 7 7 2 2
3 28 28
k (k m)
7 2 5 5
4 28
k 将（*）带入化简可得： (k m) ,(k m) Z
7 2 9
1 1 0 7
T
2 7
28 28 56
所以 0, , ，下同方法一.
9 5 9
二多项选择题
9.AC 10.ACD 11.AD 12.BCD
10.解：对于 A ，在正方体中，连接 CD1, A1B ，因为 M , N 分别为 C1D1,C1C 中点，所以 MN D1C ，在正
5
方体中， A1B D1C ，所以 MN A1B ，又因为 MA NB ，所以平面 A1MN 截正方体所得截面
1 2
为等腰梯形，A 正确；
1 1 1 1 1 1
对于 B，V V BC S 1 , B 错误；
D1 MNB BD1MN 3 D1MN 3 2 2 2 24
对于 C，因为 MN D1C ，所以异面直线 MN 与 D1P 所成角即为直线 D1C 与 D1P 所成角，设所成角为 ，
2 2
5 2 3
2 2 ( 2)
D P D C | CP |2 2 2 10
则 cos 1 1 ，C 正确；
2 D P D C 5 10
1 1 2 2
2
对于 D ，在正方体中易知 A1D 平面 ABC1D1, BM 平面 ABC1D1 ，所以 A1D BM ,D 正确.
1 1
11.解：记第一次抽到第红黄白球的事件分别为 A1, A2 , A3 ，则有 P A , P A P A ，对于
1 2 2 3 4
A ，在第一次抽到黄球的条件下，则黄球放入 B 盒子内，
2 1
因此第二次抽到红球的概率为 P ,A 正确；
4 2
于 B，记第二次在第 A, B,C 盒内抽到白球的事件分别为 Bi i 1,2,3 ，而 A1, A2 , A3 两两互斥，和为 ，记
第二次在第 A, B,C 号盒内抽到红球的事件分别为 Ci i 1,2,3 ，而 A1, A2 , A3 两两互斥，和为 ，
1 1 1
PC1 A1 , PC2 A2 , PC3 A3 , B 错；记第二次抽到红球的事件为 C ，
2 2 2
3 3 1 1 1 1 1 1 1
P(C) P AiCi P Ai PCi Ai
i1 i1 2 2 4 2 4 2 2
若取出的球是红球放入 A 盒子中；若取出的球是黄球放入 B 盒子中；若取出的球是白球放入 C 盒子中，第二
次从第一次放入盒子中任取一个球，
1 1 1 1
P A1 PC1 A1 2 2 1 P A2 PC2 A2 4 2 1
P A1 C , P A2 C ，
PC 1 2 PC 1 4
2 2
1 1
P A3 PC3 A3 4 2 1
P A3 C ，
PC 1 4
2
即第二次抽到的是红球，则它来自 A 盒子的概率最大， C 不正确；
2 2
3 C5C3
把 5 个不同的小球分成 3 组的不同分组方法数是 C5 2 种，
A2
3
将每一种分组方法分成的小球放在 3 个盒子中有 A3 种不同放法，
2 2
3 C5 C3 3
由分步乘法计数原理得不同的放法种数是 C5 2 A3 150 种，D 正确.
A2
易知： F1 1,0, F2 1,0 ，对于 A ，若 AF1 2F1B ，显然直线 l1 的斜率存在且大于 0，设直线
y k x 1
2 2
l1 y k x 1(k 0), A x1, y1 , B x2 , y2 ，联立椭圆方程 x y ，化简整理得
1
4 3
2 2
2 2 2 2 8k 4k 12
4k 3 x 8k x 4k 12 0 ，显然 0, x x , x x ，又
1 2 4k 2 3 1 2 4k 2 3
AF1 1 x1,y1 , F1B x2 1, y2 ，故 1 x1 2 x2 1 ，整理得 x1 2x2 3 ，由
8k 2
x1 x2 2
4k 3
2 5 5
x1 2x2 3 解得 k ，又 k 0 ，故 k , A错误；
4 2
4k 2 12
x x
1 2 4k 2 3
对于 B ，易知直线 l1 的斜率不为 0，设直线 l1 : x my 1, A x1, y1 , B x2 , y2 ，联立椭圆方程
x my 1
6m 9
2 2 ，化简整理得 2 2 ，显然 ，
x y 3m 4 y 6my 9 0 0, y1 y2 2 , y1 y2 2
1 3m 4 3m 4
4 3
由点 A 在 x 轴的上方，显然 y1 0, y2 0 ，又
2 2 2 2 2 2 ，
AF1 x1 1 y1 1 m y1, BF1 x2 1 y2 1 m y2
2
2 121 m
y y 4y y
1 1 1 1 y y 2 1 1 2 2 4
2 1 3m 4
AF BF 2 2 2 2 9 1 m2 3
1 1 1 m y1 1 m y2 1 m y1 y2 1 m y1 y2
3m2 4
，故
3 1 1 3 4 BF1 AF1 3 4 BF1 AF1 27
AF1 4 BF1 AF1 4 BF1 5 5 2
4 AF BF 4 AF BF 4 AF BF 4
1 1 1 1 1 1
4 BF1 AF1
，当且仅当 ，即 AF1 2 BF1 时取等， B 正确；
AF1 BF1
2 2
x1 1 y1
x1 1 y1 AF2
对于 C ，设 A x1, y1 , AF1 的中点为 P ，则 P , ，又 OP ，由椭圆定义
2 2 4 4 2
AF2 AF1 AF1 2 2
知： 2 ，即 OP 2 ，又 x y 4 的圆心为 O0,0 ，半径为 2，故以 AF1 为直径
2 2 2
的圆与圆 x2 y2 4 内切， C 正确；