数学 2024.1.15
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 设集合 A x 5 x 2 ， B x x 3 3 ，则 A B （ ）
A. 5,0 B. 6,2 C. 6,0 D. 5,2
2. (2 3i)(2 3i)
A.5 B. 1 C. 1 D.7
3. 已知向量 a 1,2,b 3,1 ，则 a 在 a b 上的投影向量为（ ）
2 5 4 5 8 5 6 5 2 4 8 6
A. , B. , C. , D. ,
5 5 5 5 5 5 5 5
1, x 0
4. 已知函数 sgn x 0, x 0 ，则“ sgn ln xsgn x 1 1”是“ x 1”的（ ）
1, x 0
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6
5. 已知 x2 x a2x 1 展开式中各项系数之和为 3 ，则展开式中 x 的系数为（ ）
A. 10 B. 11 C. 13 D. 15
6. 刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面 ABCD 为矩形，顶棱 PQ 和底面平行，
书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即
1
V 2AB PQ BC h （ 其 中 h 是 刍 薨 的 高 ， 即 顶 棱 PQ 到 底 面
6
ABCD 的距离），已知 AB 2BC 4,PAD 和 QBC 均为等边三角
形，若二面角 P AD B 和 Q BC A 的大小均为150 ，则该刍薨的
体积为（ ）
5 3 7 3
A. B. 3 3 C. D. 4 3
2 2
PF
7．已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F， A(1,0) ，点 P 是抛物线上的动点，则当 的值最小时， PF =
PA
（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4
8. 已知函数 f x sin x ( 0) 在区间 , 内不存在最值，且在区间 , 上，满足
3 2 4 3
3
f x 恒成立，则 的取值范围是（ ）
2
1 2 5 1 2 1 1 5 1 1
A. 0, , B. 0, ,1 C. 0, , D. 0, ,1
3 3 6 3 3 6 3 6 6 3
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
1
9. 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ）
A. 数据 1，2，3，4，5，6，8，9，11的 第 75 百分位数是 7
B. 若事件 M，N 的概率满足 PM 0,1 ， P N 0,1 且 M，N 相互独立，则
P N M P N 1
C. 由两个分类变量 X ，Y 的成对样本数据计算得到 2 8.612 ，依据 0.001的独立性检验
x0.001 10.828 ，可判断 X ，Y 独立
D. 若一组样本数据 xi , yi i 1,2,,n 的对应样本点都在直线 y 4x 7 上，则这组样本数据的相关
系数为 1
10. 已知圆 O ： x2 y2 4 ，过直线l ： x y 6 0 上一点 P 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A，B，
则（ ）
A. 若点 P 的坐标为 (1,5) ，则 PA 22 B. APAO 面积的最小值为 2 3
2 2 4 7
C. 直线 AB 过定点 , D. AB ,4
3 3 3
x
11. 已知 f x log2 x x, g x 2 x ，若 f a g b 2 ，则（ ）
A. a 2b B. a b 2
3
C. a b 1 D. ab 2 2 2
4
12. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 在侧面 AA1D1D 内运动（包括边界）， Q 为棱
DC 中点，则下列说法正确的有（ ）
A. 存在点 P 满足平面 PBD / / 平面 B1D1C
B. 当 P 为线段 DA1 中点时，三棱锥 P A1B1D1 的外接球体积为 2
3
3
C. 若 DP DA 0 1 ，则 PQ PB 最小值为
1 2
2
D. 若 QPD BPA ，则点 P 的轨迹长为
9
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
1
13. 已知 sin cos ， 0, ，则 tan __________.
5
2 2 *
14.数 列 an 满 足 a1 1， 且 an 3anan1 2an1 0n 2,n N ， 则 该 数 列 前 5 项 和 可 能 是
___________(填一个值即可）
15. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数： f x __________.
2 f x
f x f x x ；函数 y 在 0, 上单调递增.
x
2
2 y
16．已知双曲线 C ： x 1的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，右顶点为 E ，过 F2 的直线交双曲线 C 的
3
右支于 A ， B 两点（其中点 A 在第一象限内），设 M ， N 分别为AF1F2 ，BF1F2 的内心，则当
2
F1 A AB 时， AF1 =____________；A ABF1 内切圆的半径为____________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知数列an 前 n 项和为 Sn ，且满足__________.
* 2 * 2
n N ，均有 an 0 且 an 1 4Sn ，首项 a1 1， m,n N 均有 Smn Sn 2mn m ；
从条件和中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：
（1）求数列an 的通项公式；
an
（2）求数列an 2 前 n 项和Tn 的表达式.
18. 如图，在四棱锥 P ABCD 中， ABCD, AB BC,2AB 2BC CD PD PC ，设 E, F, M
分列为棱 AB, PC,CD 的中点．
（1）证明： EF / / 平面 PAM ；
（2）若 PA PM ，求 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值．
2
19. 如图，在 AABC 中， BAC ，点 P 在边 BC 上，且 AP AB, AP 2 ．
3
（1）若 PC 13 ，求 PB
（2）求 AABC 面积的最小值．
x2 y2 2
20．已知椭圆 C : 1(a b 0) 的离心率为 ，斜率为 2 的直线 l 与 x 轴交于点 M，l 与 C 交
a2 b2 2
16
于 A，B 两点，D 是 A 关于 y 轴的对称点．当 M 与原点 O 重合时，ABD 面积为 ．
9
（1）求 C 的方程；
（2）当 M 异于 O 点时，记直线 BD 与 y 轴交于点 N，求AOMN 周长的最小值．
21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河
和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神。甲
同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒 19 元，盲盒外观完全相同，
内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物
3
是等可能的。方式二：直接购买吉祥物，每个 30 元。
（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开。当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用
X 表示甲购买的次数，求 X 的分布列；
（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过 3 个，若未集齐再直接购买吉祥
物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？
2 3 n
x x n x
22.定义函数 * ．
fn x 1 x 1 n N
2 3 n
（1）求曲线 y fn x 在 x 2 处的切线斜率；
x
（2）若 f2 x 2 ke 对任意 x R 恒成立，求 k 的取值范围；
（3）讨论函数 fn x 的零点个数，并判断 fn x 是否有最小值．若 fn x 有最小值 m证明：
m 1 ln 2 ；若 fn x 没有最小值，说明理由．
（注： e 2.71828 …是自然对数的底数）
4
江苏省扬州中学 2024 届高三年级阶段性检测
数学 2024.1.14
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 设集合 A x 5 x 2 ， B x x 3 3 ，则 A B （ ）
A. 5,0 B. 6,2 C. 6,0 D. 5,2
【答案】B
2. (2 3i)(2 3i)
A.5 B. 1 C. 1 D.7
【答案】D
3. 已知向量 a 1,2,b 3,1 ，则 a 在 a b 上的投影向量为（ ）
2 5 4 5 8 5 6 5
A , B. ,
. 5 5 5 5
2 4 8 6
C. , D. ,
5 5 5 5
【答案】D
1, x 0
4. 已知函数 sgn x 0, x 0 ，则“ sgn ln xsgn x 1 1”是“ x 1”的（ ）
1, x 0
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
6
5. 已知 x2 x a2x 1 展开式中各项系数之和为 3 ，则展开式中 x 的系数为（ ）
A. 10 B. 11 C. 13 D. 15
【答案】B
6. 刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面 ABCD 为矩形，顶棱 PQ 和底面平行，
书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即
1
V 2AB PQ BC h （ 其 中 h 是 刍 薨 的 高 ， 即 顶 棱 PQ 到 底 面 ABCD 的 距 离 ）， 已 知
6
AB 2BC 4,PAD 和 QBC 均为等边三角形，若二面角 P AD B 和 Q BC A 的大小均为
150 ，则该刍薨的体积为（ ）
5
5 3 7 3
A. B. 3 3 C. D. 4 3
2 2
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出线段 PQ 长及点 P 到平面 ABCD 的距离 h ，再代入公式计算即得.
【详解】令点 P,Q 在平面 ABCD 的投影分别为 P ,Q ，取 AD, BC 的中点 M , N ，连接 PM ,QN ，
由 PP 平面 ABCD ， AD 平面 ABCD ，得 PP AD ，
由正APAD ，得 AD PM ， PP PM P, PP, PM 平面 PMP ，
则 AD 平面 PMP ，同理 BC 平面 QNQ ，由四边形 ABCD 为矩形，得 AD / /BC ，
于是 AD 平面 QNQ ，而 MP 面 PMP ， NQ 平面 QNQ ，则 AD MP, AD NQ ，
显然 MN // AB ，有 MN AD ，且 P, M , N,Q 都在平面 ABCD ，因此点 P, M , N,Q 共线，
显然 PP / /QQ ，而 PQ / / 平面 ABCD ，平面 PQQP 平面 ABCD PQ ， PQ 平面 PQQP ，
则 PQ / /PQ ，
四边形 PQQP 为平行四边形， PQ PQ,h QQ PP ，
由 AD PM ， AD MN ，得 PMN 是二面角 P AD B 的平面角，即 PMN 150 ，
3 3
则 PMP 30 ，又 PM PAsin 60 3 ，因此 h PM sin 30 , PM PM cos30 ，
2 2
3
同理 NQ ，而 MN AB 4 ，则 PQ MN 2PM 7 ，
2
1 1 3 5 3
所以该刍薨的体积为V 2AB PQ BC h (2 4 7) 2 .
6 6 2 2
故选：A
PF
7．已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F， A(1,0) ，点 P 是抛物线上的动点，则当 的值最小时， PF =
PA
6
（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4
【答案】B
【解析】由题知，抛物线的准线方程为 x= 1， A(1,0) ，过 P 作 PQ 垂直于准线于 Q ，连接 PA ，由抛
物线定义知 PQ PF .
PF PQ
sin PAQ
PA PA
PF
由正弦函数知，要使 最小值，即 PAQ 最小，即 PAF 最大，即直线 PA 斜率最大，即直线 PA
PA
与抛物线相切.
设 PA 所在的直线方程为： y k(x 1) ，联立抛物线方程：
y2 4x
，整理得： k 2 x2 (2k 24)x k 20
y k(x 1)
2
则 2k 24 4k 40 ，解得 k 1.
即 x2 2x 10 ，解得 x 1，代入 y2 4x 得 y 2.
P(1, 2) 或 P(1, 2) ，再利用焦半径公式得 PF 2
故选：B.
8. 已知函数 f x sin x ( 0) 在区间 , 内不存在最值，且在区间 , 上，满足
3 2 4 3
3
f x 恒成立，则 的取值范围是（ ）
2
1 2 5 1 2
A. 0, , B. 0, ,1
3 3 6 3 3
7
1 1 5 1 1
C. 0, , D. 0, ,1
6 3 6 6 3
【答案】D
1 7 1 1 7
【分析】由正弦型函数的区间最值情况得 2k k ， k Z ，进而有 0 或 ，
3 6 6 3 6
讨论 结合已知恒成立确定最终 的取值范围.
【详解】由 x , ，则x ( , ) 内不存在最值，
2 3 2 3 3
k
2 3 2 1 7 1 1 7
即 ，则 2k k ， k Z ，则 0 或 ，
3 3 6 6 3 6
k
3 2
3
由 x , ，则x [ , ] 中 sin x 恒成立，
4 3 3 4 3 3 3 3 2
2
只需 且 0 1，
4 3 3 3 3 3
1 1
0 或 1；
6 3
1 1
所以 的取值范围是 0, ,1 .
6 3
故选：D
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ）
A. 数据 1，2，3，4，5，6，8，9，11的 第 75 百分位数是 7
B. 若事件 M，N 的概率满足 PM 0,1 ， P N 0,1 且 M，N 相互独立，则
P N M P N 1
C. 由两个分类变量 X ，Y 的成对样本数据计算得到 2 8.612 ，依据 0.001的独立性检验
x0.001 10.828 ，可判断 X ，Y 独立
D. 若一组样本数据 xi , yi i 1,2,,n 的对应样本点都在直线 y 4x 7 上，则这组样本数据的相关
系数为 1
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据百分位数的定义求出第 75 百分位数，从而判定 A；由独立性得到 P N M P N ，进
8
2
而利用对立事件的概率关系判定 B；根据 8.612 x0.001 10.828 ，可判定 C；根据直线方程斜率为
负值，可知相关系数为负值，根据所有点都在直线上，可知相关系数绝对值为 1，进而可知相关系数，从
而判定 D.
【详解】对于选项 A，9 个数据从小到大排列，由于 9 0.75 6.75，所以第 75 百分位数应该是第 7 个
数 8，故 A 错误；
PMN
对 于 选 项 B， 由 M， N 相 互 独 立 得 ： P(MN) P(M )P(N) ， 所 以 P N M P N ，
PM
P N M P N P N P N 1，故 B 正确：
2
对于选项 C，由 8.612 x0.001 10.828 ，可以认为 X 和Y 独立，故 C 正确：
对于选项 D，样本点都在直线 y 4x 7 ，说明是负相关且为线性函数关系，所以相关系数为 1，故 D
正确，
故选：BCD.
10. 已知圆 O ： x2 y2 4 ，过直线l ： x y 6 0 上一点 P 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A，B，
则（ ）
A. 若点 P 的坐标为 (1,5) ，则 PA 22 B. APAO 面积的最小值为 2 3
2 2 4 7
C. 直线 AB 过定点 , D. AB ,4
3 3 3
【答案】ACD
【解析】
【分析】A 选项，利用圆的切线长公式求解判断；B 选项，利用 OP l 时， PA 取最小值求解判断；C
选项，设 P(a,6 a) ，求得以 OP 为直径的圆，与 x2 y2 4 联立，求得直线 AB 的方程判断；D 选
项，利用圆的弦长公式求解判断.
【详解】A 选项，如图，
由圆的切线性质及勾股定理可得： PA PO 2 OA 2 26 4 22 ，所以 A 选项正确：
0 0 6
B 选项， O 到直线 l : x y 6 0 的距离为 3 2 ，
2
9
2 2 2 2
而 PA OP OA 3 2 4 14 ，所以 PA 的最小值为 14 ，
1
所以三角形 PAO 面积的最小值为 14 2 14 ，所以 B 选项错误：
2
OP a2 (6 a)2 2a2 12a 36
C 选项，设 P(a,6 a) ， ，
2 2 2
a 6 a
线段 OP 的中点坐标为 , ，
2 2
2 2
a 6 a 2a2 12a 36
所以以 OP 为直径的圆的方程为 x y ，
2 2 4
即 x2 y2 ax (6 a)y 0 ，由 x2 y2 4 ，
两式相减得直线 AB 的方程为： ax (6 a)y 4 ，即 a(x y) 6y 4 0 ，
x y 0, 2 2 2
由 解得 x y ，所以直线 AB 过定点 , ，C 选项正确；
6y 4 0, 3 3 3
4 2 2
D 选项，由 C 选项知，圆心 O 到直线 AB 的距离 d 0, ，
2
2a 12a 36 3
2 2 2 4 7
所以 AB 2 r d 2 4 d ,4 ，D 选项正确，
3
故选：ACD.
x
11. 已知 f x log2 x x, g x 2 x ，若 f a g b 2 ，则（ ）
A. a 2b B. a b 2
3
C. a b 1 D. ab 2 2 2
4
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用同构法判断 A；利用 A 中结论判断 B；利用零点存在定理判断 a 的范围，从而利用一次函
数与二次函数的性质判断 CD.
b b b b
【详解】因为 log2a a 2 b log2 2 2 ，所以 f a f 2 ，
h
又 y log2 x, y x 在 其定义域内单调递增，所以 f x 其定义域内单调递增，故 a 2 ，故 A 正确；
由 A 可知 a 2b ，所以 2b b a b 2 ，故 B 正确；
因为 f (x) 单调递增，
10