高三数学
2024.1
本试卷共4页，22小题.满分 150分.考试用时 120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要
求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.
一选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
A B
1. 已知集合 A {x x 2}, B {x x 1}，则 R R （ ）
A. B. {x1 x 2} C. x1 x 2 D. R
1 3i
2. 复数 （ ）
3 i3
3 3
A. i B. i C. i D. i
2 2
y2 x2
3. 已知双曲线 E 的实轴长为 8，且与椭圆 1有公共焦点，则双曲线 E 的渐近线方程为（ ）
49 24
A. 3x 4y 0 B. 4x 3y 0
C. 4x 5y 0 D. 5x 4y 0
4. 已知 f x x 1 x a x b 为奇函数，则 y f x 在 x 0 处的切线方程为（ ）
A. x y 0 B. x y 0
C. 3x y 0 D. 3x y 0
5. 设抛物线C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l, M 是 C 上一点， N 是l 与 x 轴的交点，若
第1页/共5页
MN 4 2, MF 4 ，则 p （ ）
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
6. 若古典概型的样本空间 1,2,3,4，事件 A 1,2，甲：事件 B ，乙：事件 A, B 相互独立，
则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 对于任意非零向量 a,b,c ，若 a,b 在 c 上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（ ）
A. a b / /c B. a b / /c
C. a b c D. a b c
8. 2023 年中央金融工作会议于 10 月 30 日至 31 日在北京举行，会议强调坚持把金融服务实体经济作为根
本宗旨.现有某高新企业向金融机构申请到一笔 800 万元专项扶持贷款资金，该贷款资金分 12 期发放完
毕，考虑到企业盈利状况将逐步改善，前 11 期放款金额逐期等额递减发放，每期递减 10 万元，第 12 期
资金不超过 10 万元一次性发放.假设每期放款金额均为以万元为单位的正整数，则第 1 期和第 12 期放款金
额之和为（ ）
A. 128 B. 130 C. 132 D. 134
二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
9. 已知角 的终边过点 P3,4 ，则（ ）
7 24
A cos2 B. tan2
. 25 7
2 5 1
C. cos D. tan
2 5 2 2
10. 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 EF 分别是 BD 和 B1C 的中点，则（ ）
A. EF BD
B. EF 与 AD1 所成角为 60
C. EF 平面 B1CD1
D. EF 与平面 ABCD 所成角为 45
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11. 有一组样本数据 0,1,2,3,4 ，添加一个数 X 形成一组新的数据，且
Ck
P X k 5 k 0,1,2,3,4,5 ，则新的样本数据（ ）
32
31
A. 极差不变的概率是
32
3
B. 第 25 百分位数不变的概率是
16
1
C. 平均值变大的概率是
2
7
D. 方差变大的概率是
32
a
12. 已知 f x lnx ax 有两个不同的 极值点 x1, x2 ，则（ ）
x
x1 x2
A. x1 x2 2 B. f 0
2
f x1 f x2
C. f x1 f x2 0 D. 1 2a
x1 x2
三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 在 (1 ax)n （其中 n N*,a 0 ）的展开式中， x 的系数为 10 ，各项系数之和为 1，则 n
__________.
14. 在正三棱台 ABC - A B C 中， AB 2 3, A B 3 ，其外接球半径为 5 ，则该棱台的高可以为
1 1 1 1 1
__________.
15. 若 A, B 分别是曲线 y ex 与圆 (x 1)2 y2 1上的点，则 AB 的最小值为__________.
16. 已知 ABC 中， AB 2BC 2 ， AB 边上的高与 AC 边上的中线相等，则 tanB __________.
四解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17. 如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 2, AB 3, AC 4, ACB 30 .过点 A, B1,C1 的平面和平
面 ABC 的交线记作l .
（1）证明：l BC ；
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（2）求顶点C1 到直线l 的距离.
18. 高中进行体育与健康学业水平测试，有利于提升学生身体素质和健康水平，培养学生创新精神和实践
能力.某学校对高三年级学生报名参加体育与健康学业水平测试项目的情况进行了普查，全年级 1070 名学
生中有 280 名报名参加羽毛球项目，其中 530 名女生中有 64 名报名参加羽毛球项目.
（1）从该校高三年级中任选一名学生，设事件 A 表示“选到的学生是女生”，事件 B 表示“选到的学生报名
参加羽毛球项目”，比较 PB A 和 PB A 的大小，并说明其意义；
（2）某同学在该校的运动场上随机调查了 50 名高三学生的报名情况，整理得到如下列联表：
羽毛球
性别 合计
报名 没报名
女 12 8 20
男 13 17 30
合计 25 25 50
根据小概率值 0.05的独立性检验，能否认为该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况有关联？得
到的结论与第（1）问结论一致吗？如果不一致，你认为原因可能是什么？
附：
2
2 n(ad bc)
a bc d a cb d
0.050 0.010 0.001
x 3.841 6.635 10.828
19. 记 Sn 为数列an 的前 n 项和，且满足 2Sn1 3Sn 2an .
（1）试问数列Sn an是否为等比数列，并说明理由；
（2）若 a1 2 ，求an 的通项公式.
x2 y2 3
20. 已知椭圆 : 1a b 0 的离心率为 ，直线 l : y k x 1 与 交于 A, B 两点，与 x
a2 b2 2
轴交于点 C ， O 为坐标原点.
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k 2
（1）证明： b2 ；
1 4k 2
（2）若 AC 2CB ，求 AOB 面积取得最大值时椭圆 的方程.
3 1
21. 记T 为函数 f x sin x 的最小正周期，其中 0,0 ，且 f 0 ，直线 x T
2 12
为曲线 y f x 的对称轴.
（1）求 ；
3
（2）若 f x 在区间,2 上的值域为 1, ，求 f x 的解析式.
2
22. 已知 f x e2x ax 1, g x axex 1 ，其中 a R .
（1）求 f x 的单调区间；
（2）若 a 2 ，证明：当 x 3a 6 时， f x g x .
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2023~2024 学年佛山市普通高中教学质量检测（一）
高三数学
2024.1
本试卷共4页，22小题.满分 150分.考试用时 120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要
求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.
一选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
A B
1. 已知集合 A {x x 2}, B {x x 1}，则 R R （ ）
A. B. {x1 x 2} C. x1 x 2 D. R
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合 A, B 的补集，根据集合的交集运算，即可得答案.
【详解】由于 A {xx 2}, B {xx 1}，
故 R A {x | x 2},R B {x | x 1},
所以 R A R B x1 x 2 ，
故选：C
1 3i
2. 复数 （ ）
3 i3
3 3
A. i B. i C. i D. i
2 2
【答案】B
【解析】
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【分析】根据复数运算法则直接计算.
1 3i 1 3i 1 3i 3 i 4i
【详解】由题意得， i .
3 i3 3 i 3 i 3 i 4
故选：B
y2 x2
3. 已知双曲线 E 的实轴长为 8，且与椭圆 1有公共焦点，则双曲线 E 的渐近线方程为（ ）
49 24
A. 3x 4y 0 B. 4x 3y 0
C. 4x 5y 0 D. 5x 4y 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件分别求双曲线的 a,b,c ，再代入渐近线方程.
y2 x2
【详解】椭圆 1的焦点在 y 轴上，其中 a2 49 ， b2 24 ， c2 25 ，
49 24
所以焦点坐标为 0,5 和 0,5 ，
双曲线的焦点为 0,5 和 0,5 ，即 c 5 ，实轴长 2a 8 ，则 a 4 ，
那么 b c2 a2 3
a 4
所以双曲线 E 的渐近线方程为 y x x ，即 4x 3y 0 .
b 3
故选：B
4. 已知 f x x 1 x a x b 为奇函数，则 y f x 在 x 0 处的切线方程为（ ）
A. x y 0 B. x y 0
C. 3x y 0 D. 3x y 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可.
2
【详解】因为 f x x 1 x a x b x 1 x a b x ab
x3 a b 1 x2 a b ab x ab ，
第2页/共 24页
所以 f x x3 a b 1 x2 a b ab x ab ，
因为 f x 为奇函数，所以 f x f x 2a b 1 x2 2ab 0 对 x R 恒成立，
a b 1 0 3
所以 ，代入函数表达式得 f x x x ，
ab 0
所以 f x 3x2 1，则 f 0 0, f 0 1，
所以 y f x 在 x 0 处的切线方程为 y x ，即 x y 0 .
故选：A
5. 设抛物线C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l, M 是 C 上一点， N 是l 与 x 轴的交点，若
MN 4 2, MF 4 ，则 p （ ）
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线定义和图形中的几何关系直接计算求解即可.
【详解】如图所示，作 MH l ，
由抛物线定义可知， MH MF 4 ，
2 2
在 RtMHN 中， HN MN MH 4 ，
p
则 M 4 ,4 在抛物线C : y2 2 px( p 0) 上，
2
p 2
所以 2 p 4 16 ，即 p 8p 16 0 ，则 p 4 .
2
故选：D
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6. 若古典概型的样本空间 1,2,3,4，事件 A 1,2，甲：事件 B ，乙：事件 A, B 相互独立，
则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合独立事件的定义，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
2 1
【详解】若 B ， A B 1,2 ，则 P A B ，
4 2
2 1
而 P A ， PB 1，
4 2
所以 P A PB P A B ，所以事件 A, B 相互独立，
反过来，当 B 1,3 ， A B 1 ，
1 1
此时 P A B ， P A PB ，满足 P A PB P A B ，
4 2
事件 A, B 相互独立，所以不一定 B ，
所以甲是乙的充分不必要条件.
故选：A
7. 对于任意非零向量 a,b,c ，若 a,b 在 c 上的投影向量互为相反向量，下列结论一定成立的是（ ）
A. a b / /c B. a b / /c
C. a b c D. a b c
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量和投影的关系以及投影的计算方法直接求解即可.
a c a c
【详解】由题意得， a 在 c 上的投影为 a cos a,c a ，
a c c
bc
同理， b 在 c 上的投影为 ，
c
因为任意非零向量 a,b 在 c 上的投影向量互为相反向量，
所以 a,b 在 c 上的投影互为相反数，
第4页/共 24页
a c bc r r r
所以 0 ，则 a b c 0 ，即a b c .
c c
故选：D
8. 2023 年中央金融工作会议于 10 月 30 日至 31 日在北京举行，会议强调坚持把金融服务实体经济作为根
本宗旨.现有某高新企业向金融机构申请到一笔 800 万元专项扶持贷款资金，该贷款资金分 12 期发放完
毕，考虑到企业盈利状况将逐步改善，前 11 期放款金额逐期等额递减发放，每期递减 10 万元，第 12 期
资金不超过 10 万元一次性发放.假设每期放款金额均为以万元为单位的正整数，则第 1 期和第 12 期放款金
额之和为（ ）
A. 128 B. 130 C. 132 D. 134
【答案】B
【解析】
【 分析】首先设第一期发放 x 万元，再根据等差数列求前 11 项和，由题意得到不等式，即可求解.
【详解】设第一期发放 x 万元，第二期发放 x 10 万元，第三期发放 x 20 万元，依次类推，第 11 期发
放 x 100 万元，
11 x x 100 112x 100
前 11 期共发放 11 x 50 万元，
2 2
1340 1350
则 0 800 11 x 50 10 ，解得： x ， x N* ，
11 11
所以 x 122 ，
则第 12 期发放数为800 11122 50 8 万元，
所以第 1 期和第 12 期共发放122 8 130 万元.
故选：B
二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
9. 已知角 的终边过点 P3,4 ，则（ ）
7 24
A cos2 B. tan2
. 25 7
2 5 1
C. cos D. tan
2 5 2 2
【答案】ABD
【解析】
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