成都石室中学2023-2024年度上期高 2024 届期末考试
数学试题（文）
（总分：150 分，时间：120分钟 ）
第卷（共 60分）
一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．若复数 z 满足 zi 2 i （i 是虚数单位），则 z （ ）
A． 1 2i B． 1 2i C．1 2i D．1 2i
2.已知集合 M y y 2x , x 1 ， N x y x x2 ，则 M N 等于（ ）
A． (0,1] B．{2} C．[0,2] D． (,2]
3．设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 S13 26 ，则 a3 a8 a10 的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4.下图是 2023 年 1~12 月份品种能源生产当月同比增长率情况变化图.下列说法错误的是（ ）
A．4~7 月，原煤及天然气当月同比增长率呈下降趋势
B．9~12 月，原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势
C．7 月份品种能源生产当月同比增长率最高的是原油加工量同比增长率
D．2023 年品种能源生产当月同比增长率波动最小的是发电量同比增长率
5.函数 f x Asin x A 0, 0, 部分图象如图所示，则 f （ ）
2 3
3 1
A． B．
2 2
C． 3 D． 3
6．已知圆 C : x2 y2 6x 5 0 与中心在原点,焦点在坐标轴上的双
曲线 D 的一条渐近线相切，则双曲线 D 的离心率为（ ）
3 5 6 3 5 3
A． B．3 C． 3 或 D． 或
5 2 5 2
7. 已知函数 f (x) 是偶函数，当 x<0 时， f (x) x3 x 1 ，则曲线 y f (x) 在 x=1 处的切线方程为
（ ）
A． 2x y 1 0 B． 2x y 3 0 C． 2x y 3 0 D． 2x y 1 0
8．已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
2 6
A． 2 2 2 B． 2
2
2 6 2 6
C． 2 2 D． 2 3
2 2
1 1
9．执行如图所示的程序框图，若随机输入的 a0,16 ，则输出的 b , 的
4 2
概率为（ ）
3 15 1 3
A． B． C． D．
16 16 2 4
10.若 2x 3， 3y 4 ，则下列选项正确的是（ ）
3 1
A． y B． x y C． y 2 D． x y 2 2
2 x
11. 已知长方体 ABCD A1B1C1D1 在球 O 的内部，球心 O 在平面 ABCD 上， 若
球的半径为 3 ， AB BC ，则该长方体体积的最大值是（ ）
A．4 B． 8 C．12 D．18
12．曲线C 是平面内与三个定点 F1 1,0, F2 1,0 和 F3 0,1的距离的和等于 2 2 的点的轨迹.给出下列四
个结论：
曲线C 关于 x 轴、 y 轴均对称；
2 2
曲线C 上存在点 P ，使得 PF ；
3 3
若点 P 在曲线C 上，则F1PF2 的面积最大值是 1；
曲线C 上存在点 P ，使得 F1PF2 为钝角.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. B. C. D.
第卷（共 90分）
二、填空题（本题共4 道小题，每小题5分，共 20分）
x 2y 8
13. 若 x 、 y 满足约束条件 0 x 4 ，则 z x y 的最大值为__________．
0 y 3
1 2 1 1
14. 设 f (x) log ，则不等式 f ( 1) 的解集为__________．
x 2 x x 2
2 4
15．已知sin ，则 cos 2 的值为__________．
6 3 3
16．如图，在三棱锥 A A1B1C1 中， AA1 平面 A1B1C1,A1B1C1 90 ，
A1B1 2A1 A 2B1C1 2, P 为线段 AB1 的中点， M , N 分别为线段 AC1 和线段 B1C1 上任意一
点，则 5PM MN 的最小值为__________．
三、解答题（本题共6 道小题，共 70分）
17．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高 y
（单位： cm ）与父亲身高 x （单位： cm ）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了 5 对父子的身高数
据，如下表：
父亲身高 x 160 170 175 185 190
儿子身高 y 170 174 175 180 186
n
5 5 5 5 xi x yi y
2 y 885 i1
参考数据及公式： xi 880， xi 155450 ， i ， xi yi 156045 ，b n ，
i1 i1 i1 i1 2
xi x
i1
a y bx
(1)根据表中数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程；
(2)小明的父亲身高 178cm，请你利用回归直线方程预测小明成年后的身高.
18．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AB AD ， AD//BC ，侧面 PAB 面
ABCD ， PA AB AD 2 ， BC 4 ， E 为 PD 的中点.
(1)求证：面 PBC 面 PAB ；
(2)若 PAB 的大小为 60，求四棱锥 E ABCD 的体积.
19.为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地 ABCD 用于蔬菜种植实践活动. 经测
量，边界 AB 与 AD 的长度都是 14 米， BAD 60 ， BCD 120 .
(1)若 DC 的长为 6 米，求 BC 的长；
(2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆
的最大长度为多少米？
2 2
x y 1 2
20．已知椭圆 C : 1a b 0 的离心率为 ，抛物线 C : y 4x 在第一象限与椭圆 C1 交于点
1 a2 b2 2 2
5
A ，点 F 为抛物线 C 的焦点，且满足| AF | .
2 3
(1)求椭圆 C1 的方程；
(2)设直线 x my 1 与椭圆 C1 交于 P,Q 两点，过 P,Q 分别作直线 l : x t t 2 的垂线，垂足为 M、N，l
与 x 轴的交点为 T．若PMT、PQT、QNT 的面积成等差数列，求实数 m 的取值范围.
1
21.已知函数 f (x) x mln x m ，其中 e 是自然对数的底数．
x
(1)讨论 f x 的单调性；
1
(2)若 m 1，设关于 x 的不等式 f (x) xln x kx n 对 x 1,e 恒成立时 k 的最大值为
x
ck R,n1,e ，求 c 的取值范围．
选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）
x 1 4cos
22.已知圆 C 的参数方程为 ( 为参数），以坐标原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极
y 1 4sin
坐标系.
(1)求圆 C 的极坐标方程；
x t cos
(2)若直线 l 的参数方程是 (t 为参数， 为直线 l 的倾斜角)，l 与 C 交于 A，B 两点，
y t sin
| AB | 2 14 ，求 l 的斜率.
23．已知函数 f x x 2 .
(1)求不等式 f x 2x 5 的解集；
(2)若 f x 3 x a 恒成立，求 a 的取值范围.
成都石室中学 2023-2024 年度上期高 2024 届期末考试
数学试题（文）
参考答案
1．若复数 z 满足 zi 2 i （i 是虚数单位），则 z （ ）
A． 1 2i B． 1 2i C．1 2i D．1 2i
【答案】A
2 i
【分析】计算 z 1 2i ，再计算共轭复数即可.
i
2 i
【详解】 zi 2 i ，则 z 1 2i ，则 z 1 2i .
i
故选：A
2.已知集合 M y y 2x , x 1 ， N x y x x2 ，则 M N 等于（ ）
A． (0,1] B．{2} C．[0,2] D． (,2]
2．C
【分析】根据指数函数单调性得到 M 0,2，解不等式求出 N 0,1，利用并集概念求出答案.
【详解】 y 2x 0,2 ，故 M 0,2，
令 x x2 0，解得 0 x 1，故 N 0,1，
故 M N 0,2.
故选：C
3．设等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 的值为
an n Sn S13 26 a3 a8 a10
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】选 A
【解析】由 ，可得 ，则 .
S13 13a7 26 a7 2 a3 a8 a10 3a7 6
4.下图是 2023 年 1~12 月份品种能源生产当月同比增长率情况变化图.下列说法错误的是
A．4~7 月，原煤及天然气当月同比增长率呈下降趋势
B．9~12 月，原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势
C．7 月份品种能源生产当月同比增长率最高的是原油加工量同比增长率
D．2023 年分品种能源生产当月同比增长率波动最小的是发电量同比增长率
【答案】D
【解析】观察题中所给的折线图，可知：
4~7 月，原煤及天然气当月同比增长率是下降的，呈下降趋势，所以 A 项正确；
9~12 月，虽然天然气 11 月比 10 月偏低，但总体趋势仍为上升的，所以原煤及天然气当月同比增长率总
体呈上升趋势，所以 B 正确；
图中 7 月份，只有原煤加工上升，其他品种能源均比 6 月份低，所以 C 项正确；
由图易知，相比发电量，原油的曲线波动幅度更小，所以 D 项错误；
5.函数 f x Asin x A 0, 0, 部分图象如图所示，则 f
2 3
3 1
A． B． C． 3 D． 3
2 2
【答案】选 D
3 11 2
【解析】由函数 f (x) Asin(x ) 的部分图象知， A 2 ， T 3 ，
4 3 3
2 1 2 1 2 1 2
解得T 4 ， ，又 f 2sin 2 ，可得 2k ， k Z ，
2 3 2 3 2 3 2
1
解得 2k ， k Z ，| | ，可得 ， f (x) 2sin x ，
6 2 6 2 6
1
f 2sin 2sin 3 .
3 2 3 6 3
6．已知圆 C : x2 y2 6x 5 0 与中心在原点焦点在坐标轴上的双曲线 D 的一条渐近线相切，则双曲线 D
的离心率为（ ）
3 5 6 3 5 3
.A． B．3 C． 3 或 D． 或
5 2 5 2
【答案】D
【分析】分双曲线的焦点在 x 轴上和 y 轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径列式求解即可.
【详解】因为 C : x2 y2 6x 5 0 可化为 x 32 y2 4 ，
则圆C 的圆心为3,0 ，半径为 2，
x2 y2
当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 1，则其渐近线方程为bx ay 0 ，
a2 b2
3b b2 4
由题意得 2 ，即5b2 4a2 ，所以 ，
b2 a2 a2 5
c b2 4 3 5
所以 e 1 1 ，
a a2 5 5
x2 y2
当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线方程为 1，则其渐近线方程为 ax by 0 ，
b2 a2
3a b2 5
由题意得 2 ，即5a2 4b2 ，所以 ，
b2 a2 a2 4
c b2 5 3
则 e 1 1 ，
a a2 4 2
故选：D.
7. 已知函数 f (x) 是偶函数，当 x<0 时， f (x) x3 x 1 ，则曲线 y f (x) 在 x=1 处的切线方程为
A． 2x y 1 0 B． 2x y 3 0 C． 2x y 3 0 D． 2x y 1 0
【答案】选 C
【解析】因为 x<0， f (x) x3 x 1 ， f (1) 1，又由 f x 是偶函数， f (1) 1，
令 x 0 ，则 f (x) x3 x 1，根据 f x 是偶函数， f (x) f (x) ，
得到 x 0 时， f (x) x3 x 1，所以， x 0 时， f (x) 3x2 1 ， f (1) 2 ，
故曲线 y f (x) 在 x 1处的切线方程为 y 1 2(x 1) ，即 2x y 3 0 .
8．已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
2 6
A． 2 2 2 B． 2
2
2 6 2 6
C． 2 2 D． 2 3
2 2
【答案】C
【分析】先由三视图原几何体，再分别求得各面的面积相加即可得解.
【详解】由题知，该三视图对应的几何体的直观图如图所示，
其中半圆柱的底面半径为 1、高为 1，三棱锥O ABC 中，O 在底面 ABC 的射影O1 为 AB 的中点，
BC AB ， BC 1 ，
OA OB 2 ， AC 5 ，
因为OO1 面 ABC ， BC 面 ABC ，所以 BC OO1 ，
又 BC AB ， AB OO1 O1, AB,OO1 面 ABO ，所以 BC 面 ABO ，
又OB 面 ABO ，故 BC OB ，
OC 3 ， AC 2 OA2 OC 2 ， OA OC ，
2 1 1 1 1 2 6
该几何体的表面积为 11 1 2 11 21 2 1 2 3 2 2 .
2 2 2 2 2
故选：C.
1 1
9．执行如图所示的程序框图，若随机输入的 a0,16 ，则输出的 b , 的概率为（ ）
4 2
3 15 1 3
A． B． C． D．
16 16 2 4
【答案】B
1 1 1 1
【分析】根据 b , 可得 a 1,2 ，再根据循环结构可得当 a 1,16 时均能得到 b , ，从而可得
4 2 4 2
答案.
1 1 1 a 1
【详解】由框图可得若 b , ，则 2 ，解得 a 1,2 .
4 2 4 2
1
故当 a 0,1 ，满足 a 2 ，可得输出b ,1 ；
2
1 1
当 a 1,2 时，满足 a 2 ，可得输出 b , ；
4 2
1 1
当 a 2,4 时，不满足 a 2 ，此时 a log2 a 1,2 ，故可得输出 b , ；
4 2
当 a 4,16 时，不满足 a 2 ，此时 a log2 a 2,4 ；
1 1
不满足 a 2 ，此时 a log2 a 1,2 ，可得输出 b , .
4 2
1 1 1 1 16 1 15
故当 a 1,16 时均能得到 b , ，故输出的 b , 的概率为 .
4 2 4 2 16 16
故选：B
10.若 2x 3， 3y 4 ，则下列选项正确的是
3 1
A． y B． x y C． y 2 D． x y 2 2
2 x
【答案】选 D
x y
【解析】因为 2 3， 3 4 ，所以 x log2 3, y log3 4 ，
3 3 3 3 3
因为 3 ， 2 ，即 x , y ,所以 x y ，所以 A，B 错误；
log 3 log 22 log3 4 log3 3
2 2 2 2 2 2
1 1 1
因为 y log3 4 log3 2 log3 4 log3 8 log3 9 2 ，所以 y 2 ，所以 C 错误；
x log2 3 x
2 2
因 x y log2 3 log3 4 log2 3 2log3 2 log2 3 2 log2 3 2 2 ，所以 D 正确.
log2 3 log2 3
11. 已知长方体 ABCD A1B1C1D1 在球 O 的内部，球心 O 在平面 ABCD 上， 若球的半径为 3 ，
AB BC ，则该长方体体积的最大值是
A．4 B． 8 C．12 D．18
【答案】选 A
BD 2
【解析】设长方体 ABCD A1B1C1D1 的高为 h， 设 AB a，则 BD 2a ，所以 a .由勾股定理
2 2
BD 2 a2
得 h2 ( )2 3 3 即 h2 3得 a2 62h2 ，
2 2
2 2 3
所以长方体 ABCD A1B1C1D1 的体积为V a h 6 2h h 2h 6h ，
3 2
设 f (h) 2h 6h ，其中 0 当 0 h 1时， f (h) 0 ， f (h) 在 (0,1) 上单调递增；当1 h 3 时， f (h) 0 ， f (h) 在 (1, 3) 上 单调递减.所以函数V f (h) 在 h 1处取得极大值，亦即最大值，则Vmax f (1) 4 . 因此该长方体的体积的最大值为 4 . 12．曲线C 是平面内与三个定点 F1 1,0, F2 1,0 和 F3 0,1的距离的和等于 2 2 的点的轨迹.给出下列四 个结论： 曲线C 关于 x 轴、 y 轴均对称； 2 2 曲线C 上存在点 P ，使得 PF ； 3 3 若点 P 在曲线C 上，则F1PF2 的面积最大值是 1； 曲线C 上存在点 P ，使得 F1PF2 为钝角. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由已知表示出 C 的方程，观察方程的对称性可以判断结果；假设结论成立，推理出曲线不 存在，不合题意；点 P 在椭圆上顶点时，满足题意，且面积最大；寻找曲线 C 上的一个特殊点，验 证 F1PF2 为钝角. 【详解】设曲线C 上任意一点 P(x，y)，由题意可知C 的方程为 x 12 y2 x 12 y2 x2 y 12 2 2 . 错误,在此方程中用 x 取代 x ，方程不变，可知C 关于 y 轴对称；同理用 y 取代 y ，方程改变，可知C 不关于 x 轴对称，故错误. 2 2 4 2 错误,若 PF ，则 PF PF F F 2，曲线C 不存在，故错误. 3 3 1 2 3 1 2 x2 正确, PF PF PF PF PF 2 2， P 应该在椭圆 D： y2 1内(含边界)，曲线C 与椭圆 D 1 2 1 2 3 2 有唯一的公共点 F3 0,1，此时 F1F2 2，OF3 1，当点 P 为 F3 点时，F1PF2 的面积最大，最大值是 1；故 正确 正确，由 可知，取曲线C 上点 F3 0,1，此时 F1F3F2 90 ，下面在曲线C 上再寻找一个特殊点 P(0，y)， 0 y 1，则 2 1 y2 1 y 2 2 ， 把 2 1 y2 2 2 1 y 两边平方，整理得3y2 (2 4 2)y 4 2 5 0 ， 4 2 2 (8 4 2) 4 2 5 解得 y ，即 y 1或 . 6 3 4 2 5 4 2 5 因为 ，则取点 P 0， ， 此时 F PF 90 故正确． 0 1 1 2 . 3 3 故答案为：． 【点睛】易错点睛：与椭圆相关的综合问题，难度大，要注意： (1)注意观察方程的特征，利用代数方法判断曲线C 的对称性； (2)适当利用反向推理，假设成立，再反向推理看是否合理； (3)椭圆焦点三角中，当点在椭圆上下顶点时，焦点三角形面积最大，椭圆上点与两个焦点的张角最大； (3)验证存在性的问题，只需找到一个正例就可以说明其存在性；验证某个结论错误时，只需一个反例即 可说明. x 2y 8 13. 若 x 、 y 满足约束条件 0 x 4 ，则 z x y 的最大值为__________． 0 y 3 【答案】7 x 2y 8 【解析】由题意可知，约束条件为 0 x 4 ， 0 y 3 根据约束条件可绘出可行域：