高三考试数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名考生号考场号座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
A x 2x 1 B x 2 x 0
1. 已知集合 ， ，则 A B （ ）
A. 2, B. 1,2 C. ,0 D. 0,2
2 若复数 z i3 2 3i ，则 （ ）
. z
A. 3 2i B. 3 2i
C. 3 2i D. 3 2i
1
3. 已知抛物线 C : y x2 的焦点为 F ，则点 F 到抛物线 C 的准线的距离是（ ）
2
1 1
A. B. C. 1 D. 2
4 2
4. 在正项等比数列an 中， a3 2a1 a2 ，则数列an 的公比是（ ）
1
A. 4 B. 2 C. 1 D.
2
5. 已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ）
A. 2 2 B. 2 1 C. 2 1 D. 2 2
6. 甲乙相约从同一地点同时出发，同向围着一个周长是 200 米的 圆形跑道跑步，甲每秒钟跑 2.5 米，乙
每秒跑 3.5 米，则“甲乙相遇”是“甲乙都跑了 400 秒”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知函数 y f x 1为奇函数，则 f 10 f 9 f 8 f 0 f 1 f 10
（ ）
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A. 20 B. 10 C. 21 D. 11
2
y 2
8. 已知点 F 是双曲线 C : x 1的上焦点， M 是C1 下支上的一点，点 N 是圆
1 4
2 2
C2 : x y 4x 3 0 上一点，则 MF MN 的最小值是（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2 1
二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知直线 l : x 3y 4 0 与圆 C : x 2 y 2 2x 2 3y 12 0 ，则（ ）
2
A. 直线l 的倾斜角是
3
B. 圆 C 的半径是 4
C. 直线l 与圆 C 相交
D. 圆 C 上的点到直线l 的距离的最大值是 7
10. 已知甲运动员的投篮命中率是 0.8，乙运动员的投篮命中率是 0.9，甲乙投篮互不影响.若两人各投篮
一次，则（ ）
A. 都没有命中的概率是 0.02
B. 都命中的概率是 0.72
C. 至少一人命中的概率是 0.94
D. 恰有一人命中的概率是 0.18
cos 2x , x 0
6
11. 已知函数 f x ,( 0) 恰有 5 个零点，则 的值可能为（ ）
sin 2x ,0 x
6 3
11 25
A. 4 B. 5 C. D.
2 4
12. 如图，在棱长为 6 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 AA1 ，BC 的中点，则（ ）
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A. B1D 平面 D1EF
B. 异面直线 CD 与 EF 所成的角是
1 6
30 29
C. 点 B1 到平面 D1EF 的距离是
29
9 5 25
D. 平面 D1EF 截正方体 ABCD A1B1C1D1 所得图形的周长为 13
2 2
三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
r
13. 向量 a 2,3 ， b m,4 ，若 a b ，则 m __________.
14. 5 名学生的 期中考试数学成绩分别为 98,120,105,110,m ，若这 5 名学生成绩的第 60 百分位数为 111，
则 m __________.
x
15. 已知点 A 是函数 f x e 3x 图象上的任意一点，直线 l : 2x y 9 0 ，则点 A 到直线l 的距离的
最小值是__________.
2 1
a
16. 已知函数 f x log2 x ax 15 在 ,4 上为单调函数，则 的取值范围为__________.
4
四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17. 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ，且 a b ca b c ac 0 .
（1）求角 B 的大小；
（2）若 b 2 3,c 2a ，求 ABC 的面积.
18. 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是菱形， E 是棱 PC 的中点.
（1）证明： AE BD .
（2）若 PA AB, ABC 60 ，求平面 ABE 与平面 PCD 夹角的余弦值.
19. 镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从
某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），
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[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.
（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；
（2）现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取 10 颗，再从这 10 颗板栗中随
机抽取 4 颗，记抽取到的特等板栗（质量70 克）的个数为 X ，求 X 的分布列与数学期望.
1
20. 已知函数 f (x) a ln x x2 (a 1)x
2
（1）当 a 1时，求 f (x) 的最小值；
（2）若关于 x 的不等式 f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围．
21. 已知数列an 满足 a1 1， an1 an 3n .
（1）求an 的通项公式；
（2）求an 的前 n 项和 Sn .
1
22. 动点 M x, y 与定点 F 1,0 的距离和它到直线 的距离的比是常数 ，点 M 的轨迹为 .
x 4 2 C
（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；
（2）若过 F 的直线l 与 C 交于 A, B 两点，点 P 是 C 上一点， PF 的最大值为 m ，最小值为 n ，且
m2 n2
AF , , BF 成等比数列，求l 的方程.
2
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高三考试数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名考生号考场号座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
A x 2x 1 B x 2 x 0
1. 已知集合 ， ，则 A B （ ）
A. 2, B. 1,2 C. ,0 D. 0,2
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算出集合 A 、 B 后，由交集定义运算即可得.
【详解】由 2x 1，即 x 0 ，故 A x x 0 ，
由 2 x 0 ，即 x 2 ，故 B x x 2 ，
则 A B x 0 x 2.
故选：D.
3
2. 若复数 z i 2 3i ，则 z （ ）
A. 3 2i B. 3 2i
C. 3 2i D. 3 2i
【答案】B
【解析】
【分析】由题意结合复数的运算法则求解 z ，再由共轭复数的定义求 z .
3
【详解】因为 z i 2 3i i2 3i 3 2i ，所以 z 3 2i .
故选： B .
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1
3. 已知抛物线 C : y x2 的焦点为 F ，则点 F 到抛物线 C 的准线的距离是（ ）
2
1 1
A. B. C. 1 D. 2
4 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线标准方程的相关知识直接求解.
【详解】由题意可知，抛物线 C 的标准方程为 x2 2y ，则 p 1，
即点 F 到抛物线 C 的准线的距离是 1.
故选：C
4. 在正项等比数列an 中， a3 2a1 a2 ，则数列an 的公比是（ ）
1
A. 4 B. 2 C. 1 D.
2
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列通项公式列方程求公比即可.
q 2
【详解】设数列an 的公比是 ，则 a1q 2a1 a1q .
2
因为 an 0 ，所以 q 2 q ，则 q 1q 2 0 ，解得 q = 2 或 q 1 （舍去）.
故选：B
5. 已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ）
A. 2 2 B. 2 1 C. 2 1 D. 2 2
【答案】A
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径，确定母线长，求出侧面积和表面积即可求得答案.
【详解】由题意可得轴截面 ABC 是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为 r ，则其母线长为
1 2
2r ，从而该圆锥的侧面积 S1 2r 2r 2r .
2
2 2
表面积 S2 S1 r 2 1 r ，
2
S1 2r
故 2 2 .
S 2
2 2 1 r
故选：A.
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6. 甲乙相约从同一地点同时出发，同向围着一个周长是 200 米的圆形跑道跑步，甲每秒钟跑 2.5 米，乙
每秒跑 3.5 米，则“甲乙相遇”是“甲乙都跑了 400 秒”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件及充分必要条件的定义可得结果.
【详解】因为乙每秒比甲每秒多跑 1 米，所以当甲乙都跑了 200 秒时，乙比甲多跑了 200 米，甲乙第一
次相遇.
当甲乙都跑了 400 秒时，乙比甲多跑了 400 米，甲乙再次相遇.
所以“甲乙相遇”是“甲乙都跑了 400 秒”的必要不充分条件.
故选：C.
7. 已知函数 y f x 1为奇函数，则 f 10 f 9 f 8 f 0 f 1 f 10
（ ）
A. 20 B. 10 C. 21 D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根据 y f x 1为奇函数，得到 f x f x 2 ，进而得到 2S 2 21，求出答案.
【详解】因为 y f x 1为奇函数，所以 f x 1 f x 1 ，
即 f x f x 2 ，
令 S f 10 f 9 f 8 f 10 ，
则 S f 10 f 9 f 8 f 10 ，
两式相加得所以 2S 2 21，即 S 21.
故选：C
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2
y 2
8. 已知点 F 是双曲线 C : x 1的上焦点， M 是C1 下支上的一点，点 N 是圆
1 4
2 2
C2 : x y 4x 3 0 上一点，则 MF MN 的最小值是（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解.
2 2 2 2
【详解】由圆 C2 : x y 4x 3 0 可化为 (x 2) y 1，则 C2 2,0 ，半径为 1，
C
因为 F1 是 1 的下焦点，则 F1 0, 5 ，
由双曲线定义可得 MF MF1 4 ，
所以 MF MN MF1 MN 4 C2 F1 1 4 6 ，
当且仅当 C , N, F , M 四点共线时，取得最小值，即 MF MN 的最小值是 6 .
2 1
故选：B.
二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知直线 l : x 3y 4 0 与圆 C : x 2 y 2 2x 2 3y 12 0 ，则（ ）
2
A. 直线l 的倾斜角是
3
B. 圆 C 的半径是 4
C. 直线l 与圆 C 相交
D. 圆 C 上的点到直线l 的距离的最大值是 7
【答案】BCD
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【解析】
【分析】对于 A：求出直线l 的斜率即可得倾斜角；对于 B：求出圆的标准式即可；对于 CD：求出圆心到
直线的距离即可判断.
3 4 3 5
【详解】直线 l : x 3y 4 0 ，即 y x ，斜率为 ，则倾斜角是 ， A 错误；
3 3 3 6
2 2
圆 C : x 2 y 2 2x 2 3y 12 0 ，即 x 1 y 3 16 ，圆心为 1, 3 ，半径为 4， B 正确；
1 3 4
圆心 C 到直线l 的距离 d 3 4 ，则直线l 与圆 C 相交，故 C 正确；
1 3
圆 C 上的点到直线l 的距离的最大值为 3 4 7 ，则 D 正确.
故选：BCD.
10. 已知甲运动员的投篮命中率是 0.8，乙运动员的投篮命中率是 0.9，甲乙投篮互不影响.若两人各投篮
一次，则（ ）
A. 都没有命中的概率是 0.02
B. 都命中的概率是 0.72
C. 至少一人命中的概率是 0.94
D. 恰有一人命中的概率是 0.18
【答案】AB
【解析】
【分析】由对立事件的概率计算甲乙不中的概率，利用独立事件的概率求解判断选项 A ， B ；利用对立事
件的求解判断选项 C ；甲中乙不中和甲不中乙中两种情况求解可判断选项 D .
【详解】都没有命中的概率为 1 0.81 0.9 0.02 ， A 正确；
都命中的概率为 0.80.9 0.72 ， B 正确；
至少一人命中的概率为1 1 0.81 0.9 0.98 ， C 错误；
恰有一人命中的概率为 0.81 0.9 1 0.80.9 0.26 ， D 错误.
故选： AB .
cos 2x , x 0
6
11. 已知函数 f x ,( 0) 恰有 5 个零点，则 的值可能为（ ）
sin 2x ,0 x
6 3
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11 25
A. 4 B. 5 C. D.
2 4
【答案】BC
【解析】
【分析】先利用余弦函数的 图像性质求得 y=cos 2x , x 0 的 零 点 个 数 ， 再 利 用
6
y=sin 2x ,0 x 的零点个数列出关于 的不等式，解之即可求得 的取值范围 ，进而得到
6 3
的值可能值.
11
【详解】由 x ,0 ，得 2x , .
6 6 6
11
函数 y cosx 在 , 上的零点个数为 2，
6 6
又因为函数 f x 恰有 5 个零点，
所以函数 y sin 2x 在 0, 上的零点个数为 3.
6 3
2
由 x 0, ，得 2x , ，
3 6 6 3 6
2 17 23
则 3 4 ，解得 .
3 6 4 4
故选：BC
12. 如图，在棱长为 6 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 AA1 ，BC 的中点，则（ ）
A. B1D 平面 D1EF
B. 异面直线 CD 与 EF 所成的角是
1 6
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