高三数学
注意事项：
1.本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区
书写的答案无效：在草稿纸试题卷上答题无效.
一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求.
1.设集合U = R ，集合 M={ x x< 0}, N = { x x - 1< 2}，则 U MN = （ ）
A.x x 3 B.{x x >3} C.{x x - 1或 x 0} D.{x x< - 1或 x >0}
1
2.“直线 xsinq + y - 1 = 0 与 x+ ycosq + 1 = 0 平行”是“q = ”的（ ）
2 4
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知 a>b >0, c >0 且 c 1，则（ ）
a a+ c c c
A.< B. >
b b+ c a b
C. ca>c b D. ac>b c
r r r r
4.已知||||1,(ar= b = a r + b )( a r - 3) b = - 3 ，则向量 ar 与 b 夹角的大小为（ ）
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
5.我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法
为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字
的算筹表示如下表所示，例如：10 记为“”，62 记为“ ”.现从由 4 根算筹表示的两位数中任取一个数，则取
到的数字为质数的概率为（ ）
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式
演式
2 3 3 3
A. B. C. D.
5 5 8 10
lnx+ 1,0< x 1
6.已知 f x 为定义在 R 上的奇函数，当 x 0, + 时， f x = ，则方程 f x -1 = 0 实
2-x , x >1
数根的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
x2 y 2
7.已知 F 为双曲线 C:- = 1( a >0, b >0) 的一个焦点，过点 F 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 A ，
a2 b 2
uuur uuur
直线 AF 与 C 的另外一条渐近线交于点 B .若 BF= 3 AF ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
6
A. 2 B. C. 3 D.3
2
x
8.已知函数 f x =e + x - 2, g x = ln x + x - 2 ，若 $x1 R, x 2 >0 ，使得 f x1 = g x 2 ，则 x1 x 2 的最小
值为（ ）
1 1
A. -e B.-1 C. - D. -
e e2
二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.已知样本数据 x1,,, x 2 L xn 的平均数为 x ，则数据 x1,,,, x 2 L xn x （ ）
A.与原数据的极差相同 B.与原数据的中位数相同
C.与原数据的方差相同 D.与原数据的平均数相同
10.将函数 f x 的图象向右平移 个单位长度，得到 y= sin2 x 的图象，则（ ）
6
A. f x 的最小正周期为
5
B. f x 的图象关于直线 x = 对称
6
C. f x 在 - ,0 上单调递增
4
1
D.当 x 0, 时， f x 的最小值为
4 2
11.如图，在正四棱台 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 中， AB=2 A1 B 1 = 2 AA 1 = 4, P 为棱 CC1 上一点，则（ ）
A.不存在点 P ，使得直线 BP 平面 AB1 D 1
B.当点 P 与 C1 重合时，直线 CC1 ^ 平面 BPD
7 13
C.当 P 为 CC1 中点时，直线 BP 与 AD 所成角的余弦值为
26
D.当 P 为 CC1 中点时，三棱锥 AABD- 1 1 1 与三棱锥 P- BCD 的体积之比为1: 2
12.我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩千姿百态引人入胜的……认为数学枯燥
乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛
物线 y2 =2 px ( p >0) 分别逆时针旋转 90o 180 o 270 o 可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（ ）
A.开口向下的抛物线的方程为 x2 = -2 py
B.若 AB = 8 ，则 p = 2
C.设 p =1，则 t =1时，直线 x= t 截第一象限花瓣的弦长最大
D.无论 p 为何值，过点 B 且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值
三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
5
13. x-3 (2 x + 1) 的展开式中 x3 的系数为__________.
14.已知等差数列an 的前 n 项和为 SSn ,5 = 25且 a8 =15 ，则 a1 的值为__________.
15.若存在两个不相等正实数 x, y ，使得 ex- e y =a y - x y + x ，则实数 a 的取值范围为__________.
16.如图，在直三棱柱 ABC- A1 B 1 C 1 中， AB^ BC, AB = BC = 5 ， AA1 = 2 ，则该三棱柱外接球的表面积
为__________；若点 P 为线段 AC 的中点，点 Q 为线段 AC1 上一动点，则平面 BPQ 截三棱柱
ABC- A1 B 1 C 1 所得截面面积的最大值为__________.（本小题第一空 2 分，第二空 3 分）
四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
2a- b sin A
17.（10 分）若 ABC 的内角 ABC,, 的对边分别为 a, b , c ,= a tan C .
V cosB
（1）求 C ；
（2）若 a=3, c = 7 ，求VABC 的面积.
2
18.（12 分）已知数列an 的前 n 项和 Sn = n + m ，且 SSS1, 3- 2, 7 成等比数列.
（1）求数列an 的通项公式；
an 5
（2）若 bn = ，求证：数列bn 的前 n 项和Tn< .
2an +1 9
19.（12 分）如图，四棱锥V- ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD = 60o ，平面VBD ^ 底
面 ABCD .
（1）求证： AC^ VD ；
（2）若VB = 2 ，且四棱锥V- ABCD 的体积为 2，求直线VC 与平面VAB 所成角的正弦值.
20.（12 分）某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，
每人各投篮 3 次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称
该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响.若甲
2 1
乙两位同学组成一个小组参赛，且甲乙同学的投篮命中率分别为 , .
3 2
（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；
（2）若以“甲乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为 3 的概率最大”作为决策依据，试推断本次投篮
比赛设置的总局数 n n 4 为多少时，对该小组更有利？
ax2 + x
21.（12 分）已知函数 f x =ln x + 1 - ( a< 1) .
x +1
（1）讨论函数 f x 的单调性；
1 1 1
（2）求证： + + + n+1 n + 2L 2 n x2 y 2 22.（12 分）已知 P 为曲线 C:+ = 1( n >1) 上任意一点，直线 PM, PN 与圆 x2+ y 2 =1 相切，且分别 4 n 与 C 交于 MN, 两点， O 为坐标原点. uuur uuuur （1）若 OP OM 为定值，求 n 的值，并说明理由； 4 （2）若 n = ，求 PMN 面积的取值范围. 3 V