高三数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无
效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.现有一组数据： 663,664,665,668,671,664,656,674,651,653,652,656 ，则这组数据的第 85 百分位
数是( )
A．652 B．668 C．671 D．674
x2 y 2
2.已知椭圆C:+ = 1( a >b >0) 的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则
a2 b 2
椭圆 C 的离心率为( )
2 3 5- 1 3- 1
A． B． C． D．
2 2 2 2
n- n
3.已知 Sn 为数列an 的前 n 项和，且满足 Sn=( - 1) a n - 2 ，则 SS5+ 6 = （ ）
1 1 1 1
A． - B． - C． - D．
64 32 16 64
4..已知 m ， n 为异面直线，直线l 与 m ， n 都垂直，则下列说法不正确的是( )
A．若l ^ 平面a ，则 ma ， na
B．存在平面a ，使得l ^ a ， m a ， na
C．有且只有一对互相平行的平面a 和 b ，其中 m a ， n b
D．至少存在两对互相垂直的平面a 和 b ，其中 m a ， n b
5.某学校举办运动会，径赛类共设 100 米200 米400 米800 米1500 米 5 个项目，田赛类共设铅
球跳高跳远三级跳远 4 个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，
则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于( )
A．70 B．140 C．252 D．504
6.在棱长为 1 的正方体 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 中， P 在侧面CC1 D 1 D （含边界）内运动，Q 在底面 ABCD
（含边界）内运动，则下列说法不正确的是（ ）
A． 若直线 BP 与直线 AD 所成角为 30，则 P 点的轨迹为圆弧
B． 若直线 BP 与平面 ABCD 所成角为 30，则 P 点的轨迹为双曲线的一部分
5
C． 若 DQ = ，则Q 点的轨迹为线段
1 2
D． 若Q 到直线 DD1 的距离等于Q 到平面 ABB1 A 1 的距离，则点Q 的轨迹为抛物线的一部分
7.已知角 b 的终边上一点 P 的坐标为2, 3，则 tan b - 的值为( )
6
3 3
A．0 B． C． D． 3
9 3
x2 y 2
8.已知 F1 ， F2 分别为双曲线 G ： - =1a >0, b >0 的左，右焦点，点 P 为双曲线渐近线上一点，
a2 b 2
1
若 PF^ PF ， tan PF F = ，则双曲线 G 的离心率为（ ）
1 2 1 2 3
5 5
A． B． C． 2 D． 2
3 4
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9.将函数 f x = sin x 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 1 倍（纵
3 2
坐标不变），得到 g() x 的图象，则（ ）
A． 函数 g() x - 是偶函数
3
B． x 是函数 g() x 的一个零点
6
5
C． 函数 g() x 在区间 - ， 上单调递增
12 12
D． 函数 g() x 的图象关于直线 x = 对称
12
10.已知 z1 与 z2 是共扼复数，以下四个命题一定是正确的是（ ）
z
2 2 2 1 R
A． z1 = z1 B． z1 z 2= z 2 C． z1+ z 2 R D．
z2
7 7
11.已知定义在 R 上的函数 f() x 满足 f( x+ ) + f ( x ) = 0 ，且 y= f() x - 为奇函数，则下列说法一定
2 4
正确的是（ ）
7
A． 函数 f() x 的周期为
2
7
B． 函数 f() x 的图象关于 (- ,0) 对称
4
C． 函数 f() x 为偶函数
7
D． 函数 f() x 的图象关于 x = 对称
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
x +1
12.已知集合 A= x 0 , B = { x x< a }，若 AB ，且 ABB ，则实数 a 的取值范围是
x - 2
__________．
13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2 ，侧面积分别为 S甲 和 S乙 ，体积
S 3 V
分别为V 和V ．若 甲 = ，则 甲 =
甲 乙 V
S乙 2 乙
1 1
14.已知数列a 满足 a a a = - ， a= -2, a = ,则a 的前 n 项积的最大值为
n n n+1 n + 2 2 1 2 4 n
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1
15．（13 分）设函数 f( x )= ln x - ax2 ， g( x )= ex - bx ， a, b R ，已知曲线 y= f() x 在点 (1,f (1)) 处
2
的切线与直线 x- y +1 = 0 垂直．
（1）求 a 的值；
（2）求 g() x 的单调区间；
16．（15 分）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得
善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计 50 多个班级参与，1000 余件物品待出售.摄影社从
中选取了 20 件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已
1 1 1
知高三 1，2,3 班分别有 ,, 的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为 6：7:8
2 3 4
(1)现从三个班中随机抽取一位同学：
(i)求该同学有购买意向的概率；
(ii)如果该同学有购买意向，求此人来自 2 班的概率；
(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以 0
元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于 2，则在已叫价格基础上增加 1 元更新叫价，
若点数小于 3，则在已叫价格基础上增加 2 元更新叫价；重复上述过程，能叫到 10 元，即获得以
10 元为价格的购买资格，未出现叫价为 10 元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先
选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到 0.01).
17．（15 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为菱形， DAB=60o , DE ^ 平面 ABCD ，
CF // DE ，且 AB= DE =2, CF = 1, G 为棱 BC 的中点， H 为棱 DE 上的动点.
（1）求二面角 A-- BE F 的正弦值；
EH
（2）是否存在点 H 使得GH // 平面 BEF ？若存在，求 的值；否则，请说明理由.
ED
18．（17 分）与x 轴不垂直的直线l 交抛物线 T: y2 =2 px p >0于 M、N 两点，F 为抛物线的焦点，
线段 MN 的垂直平分线交 x 轴于点 E(3,0),已知 O0(0,0),Q(4,0)且有|MF |+ | NF | = 4
(1)求抛物线 T 的方程：
(2)过 F 的直线交抛物线 T 于 A、B 两点，延长 AQ、BQ 分别交抛物线 T 于 C、D;G、H 分别为
AB、CD 的中点，求 cosGOH 的最小值.
19．（17 分）对于无穷数列{}，设集合 = {| = , 1}．若为有限集，则称数列{}为“
数列”．
1
(1)已知数列{}满足1 = 2,+1 = ，判断{}是否为“数列”，并说明理由；
1
(2)设函数 = ()的表达式为() = 3| + 1|| + 2|，数列{}满足+1 = ()．若{}为“数
列”，求首项1的值；
(3)设 = cos()．若数列{}为“数列”，求实数的取值集合．
2024 年 1 月“九省联考”考后提升卷
高三数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无
效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.现有一组数据： 663,664,665,668,671,664,656,674,651,653,652,656 ，则这组数据的第 85 百分位
数是( )
A.652 B.668 C.671 D.674
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的定义，求得12 85% = 10.2 ，即可确定第 85 百分位数为第 11 个数，可得
答案.
【详解】由题意这组数共 12 个，则12 85% = 10.2 ，
将这组数据从小到大排列 为 651,652,653,656,656,663,664,664,665,668,671,674 ，
故这组数据的第 85 百分位数为第 11 个数，即 671，故选：C
x2 y 2
2.已知椭圆C:+ = 1( a >b >0) 的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则
a2 b 2
椭圆 C 的离心率为( )
2 3 5- 1 3- 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
2.【答案】D【解析】易知等腰三角形的三边为 a,, a+ c a2 + b 2 ;则 a+ c = a2 + b 2 即有 a2 -
c 3- 1
2ac- 2 c2 = 0 ,解得 e = = ,故选：D.
a 2
n- n
3.已知 Sn 为数列an 的前 n 项和，且满足 Sn=( - 1) a n - 2 ，则 SS5+ 6 = （ ）
1 1 1 1
A. - B. - C. - D.
64 32 16 64
【答案】A
【解析】
1 1
【分析】由题，当 n =1时， a = - ，当 n 2 时 a=( - 1)n a + ( - 1) n a + ，进而分奇偶性讨论得
1 4 n n n-1 2n
1 1
a = ， n 为正偶数， a = - ， n 为正奇数，再求和即可.
n 2n n 2n+1
n- n
【详解】解：因为 Sn=( - 1) a n - 2 ，
1
所以，当 n =1时， S= a = - a - 2-1 ，解得 a = - ，
1 1 1 1 4
1
当 n 2 时， a= S-S = ( - 1)n a--- 2-n - ( - 1) n -1 a + 2 - n + 1 = ( 1) n a+( 1) n a + ，
n nn-1 n n--1 n n 1 2n
1 1
所以，当 n 为偶数时， a = -,n 2 ，故 a = - ， n 为正奇数；
n-1 2n n 2n+1
1 1 1 1
当 n 为奇数时， 2a= - a += - ，即 a = ，故 a = ， n 为正偶数；
n n-1 2n 2 n n-1 2n-1 n 2n
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 S5+ S 6 =2 S 5 + a6 = 2 -2 + 2 - 4 + 4- 6 + 6 = -- 6 = ，
2 2 2 2 2 2 2 64
故选：A
4..已知 m ， n 为异面直线，直线l 与 m ， n 都垂直，则下列说法不正确的是( )
A.若l ^ 平面a ，则 ma ， na
B.存在平面a ，使得l ^ a ， m a ， na
C.有且只有一对互相平行的平面a 和 b ，其中 m a ， n b
D.至少存在两对互相垂直的平面a 和 b ，其中 m a ， n b
【答案】A
【分析】由线面关系判断 ABD；由线面垂直判定判断 C；
【详解】对于 A，如下图所示，在正方体中取l 为 AA， AB 为 m ， AD 为 n ，平面 ABCD 为平面
a ，则 na ， m a ，故 A 错误；
对于 B，在正方体中取 l 为 AA， AB 为 m ， AD 为 n ，平面 ABCD 为平面a ，此时 l ^ a ， m a ，
na ，故 B 正确；
对于 C，由线面垂直的判定可知，l ^ a ，l ^ b ，过直线 n 且与l 垂直的平面只有一个，过直线 m
且与l 垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面a 和 b ，其中 m a ， n b ，故 C
正确；
对于 D，在正方体中取l 为 AA， AB 为 m ， AD 为 n ，此时平面 ABCD ^ 平面 ADD A ，平面
ABB A ^ 平面 ADD A ，即至少存在两对互相垂直的平面a 和 b ，其中 m a ， n b ，故 D 正确；
故选：A.
5.某学校举办运动会，径赛类共设 100 米200 米400 米800 米1500 米 5 个项目，田赛类共设铅
球跳高跳远三级跳远 4 个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，
则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于( )
A.70 B.140 C.252 D.504
【答案】B
【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.
1
【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有 C5 = 5 种选法，
2
他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有 A4 = 4 3 = 12 种选法，
1 2
所以此时满足题意的选法有 C5 A 4 = 5 12 = 60 ，
1
由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有 C4 = 4 种选法，
4
他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有 A5 = 5 4 = 20 种选法，
1 2
所以此时满足题意的选法有 C4 A 5 = 4 20 = 80 ，
综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于60+ 80 = 140种.故选：B.
6.在棱长为 1 的正方体 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 中， P 在侧面CC1 D 1 D （含边界）内运动，Q 在底面 ABCD
（含边界）内运动，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若直线 BP 与直线 AD 所成角为 30，则 P 点的轨迹为圆弧
B. 若直线 BP 与平面 ABCD 所成角为 30，则 P 点的轨迹为双曲线的一部分
5
C. 若 DQ = ，则Q 点的轨迹为线段
1 2
D. 若Q 到直线 DD1 的距离等于Q 到平面 ABB1 A 1 的距离，则点Q 的轨迹为抛物线的一部分
【答案】C
【解析】
【分析】画出正方体 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 ，根据各选项的不同条件对图形进行分析并运算即可得出轨
迹问题的结论.
CP 3
【详解】直线 BP 与直线 AD 所成角即为 PBC ，在 RtBCP 中， tan 30o = ，CP = ，故 P
BC 3
3
在以C 为圆心， 为半径的圆落在侧面CC1 D 1 D 内的圆弧上，A 正确；
3
过 P 作 PP1 ^ DC 于点 P1 （如图），设 PC1 = a ， PP1 = b ，直线 BP 与平面 ABCD 所成角即为 PBP1 ，
PP1 b 3 2 2
在 RtPBP1 中， tan PBP = = = ，从而3b- a = 1，故点 P 的轨迹为双曲线的一部
1 2
BP1 a +1 3
分，故 B 正确；
5 2 2 1 1
在 RtD1 DQ 中， D Q= = DD + DQ ，从而 DQ = ，故Q 在以 D 为圆心， 为半径的圆落
12 1 2 2
在底面 ABCD 内的圆弧上，C 错误；
Q 到直线 DD1 的距离等于Q 到平面 ABB1 A 1 的距离，即Q 到点 D 的距离等于Q 到直线 AB 的距离，故
点Q 的轨迹为抛物线的一部分，故 D 正确.
故选：C.
7.已知角 b 的终边上一点 P 的坐标为2, 3，则 tan b - 的值为( )
6
3 3
A.0 B. C. D. 3
9 3
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求出 tan b ，再根据两角和的正切公式展开代入化简求解.
【详解】角 b 的终边上一点 P 的坐标为2, 3
3 3
tanb -- tan
3 6 2 3 3
所以 tan b = ，则 tan b - = = = ，故选：B
2 6 3 3 9
1+ tanb tan 1+
6 2 3
x2 y 2
8.已知 F1 ， F2 分别为双曲线 G ： - =1a >0, b >0 的左，右焦点，点 P 为双曲线渐近线上一点，
a2 b 2
1
若 PF^ PF ， tan PF F = ，则双曲线 G 的离心率为（ ）
1 2 1 2 3
5 5
A. B. C. 2 D. 2
3 4
【答案】B
【解析】
b 3
【分析】由题可得 POF =2 PF F ，然后利用二倍角公式结合条件可得 = ，然后根据离心率
2 1 2 a 4
公式即得.
【详解】因为 PF1^ PF 2 ，O 为 FF1 2 的中点，