赤峰市高三年级 1.30 模拟考试试题
理科数学2024.01
本试卷共 23 小题，共 150 分，共 8 页，考试时间用时 120 分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并
交回。注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内。
2. 选择题答案必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题答案使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，
笔迹清楚。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答案区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸，试卷上
答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液，修正带，刮纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1
1. 已知复数 z 满足 z i ， z 为 z 的共轭复数， z z 等于
2
A.2i B. 2i C.1 D. i
2
2. 若全集U R ，集合 A x z x 25, B x x 2 0，则 A (Cu B)
A.2,3,4 B.3,4 C.x 2 x 5 D.x 2 x 5
3. 下列函数中，是偶函数的是
1
A.y sin 2x B.y 2x 1 C.y D.y ln x
x3
1
3
4. 已知实数 a 5 ,b log5 3,c log 1 3，则 a,b,c 这三个数的大小关系是
5
A.c a b
B.b c a
C.c b a
D.a c b
5. 已知直线l : y x b,A O : x2 y2 4 ，则“ b 2 是直线l 与 A O 相交”的
A. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件
C .充分而不必要条件 D.即不充分也不必要条件
6. 已知抛物线C : y2 4x 的焦点为 F ，点 A 的坐标是 (4,3），P 为C 上一点，则 PA PF 的
最小值为
A.4 2 B.2 3 C.6 D.5
7. 为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进
行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在 B 点处的测量觇
标高 20 米，攀登者们在 A 处测得，到觇标底点 B 和顶点 C 的仰角分别为 45,75 ，则
A，B 的高度差约为
A.7.32 米 B.7.07 米 C.27.32 米 D.30 米
8. 已知递增的等比数列an的前 n 项和为 S n ，若 a3 12,a2 1是 a1 与 a3 1的等差中项，则
S3
A.21 B.21或57 C.21或 75 D.57
9. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它由五块等腰直角三角
形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成，如图是一个用七巧板拼成的正方形，
若向此正方形丢一粒种子，则种子落入黑色部分的概率为
23 5 3 9
A. B. C. D.
32 8 8 32
10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，
“三角垛”最上层有1个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，第四层有10个球， ，
1 1 1
设从上往下各层的球数构成数列an，则
a1 a 2 a2024
2023 4048 4046 2023
A. B. C. D.
2024 2025 2025 1012
x2 y2
11. 过双曲线 C : 1(a 0,b 0) 的右顶点 A 作斜率为1的直线 l ，与 C 的两条渐近线分
a2 b2
1
别交于点 P.Q ，若 PA PQ ，则双曲线C 的离心率为
4
2 3 6 4 2 5
A. B. C. D.
3 2 3 2
12. 已知函数 f (x) 定义域为 R ， g(x) ex ex ， h(x） sin 2x ，则下列命题正确的个数是
若x R, f (x 1) f (x) ，则函数 f (x) g(x) 在 R 上是增函数
若x1, x2 R，f x1 f x2 g x1 g x2 ，则函数 f (x) 是奇函数
若x1, x2 R，f x1 f x2 h x1 h x2 ，则函数 f (x) 是周期函数
1 1
若 x1, x2 , ，且 x1 x2 ， f x1 f x2 h x1 h x2 ，则函数 f (x) h(x) 在区间
2 2
1 1 1 1
, 上单调递增，函数 f (x) h(x) 在区间 , 上单调递减
2 2 2 2
A. 3 个 B. 2 个 C. 1个 D. 0 个
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 有 3 名同学同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有 种
不同的去法。（用数字回答）
14. 已知单位向量 a、b 满足 a b 1，则 2a b 。
15. 《孙子算经》中提到“物不知数”问题。如：被 3 除余 2 的正整数按照从小到大的顺序
2S 27
排成一列，即 2,5,8,11, ，构成数列a ，记数列a 的前 n 项和为 S ，则 n 的
n n n n
最小值为 。
16. 祖暅是我国南北朝时期的数学家，著作《缀术》上论及多面体的体积：缘幂势既同，则
积不容异——这就是祖暅原理。用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几
何体，被平行于这个两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那
么这两个几何体的体积相等。在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M 是 BC1 上一
点 ， MN BC 于 点 N ， MN h0 h 2 ， 点 M 绕 AA1 旋转一周所得圆的面积为
（ 用 h 表 示 ）； 将 空 间 四 边 形 ABC1 A1 绕 AA1 旋转一周所得几何体的体积为
（本题第一空 2 分，第二空 3 分）。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17 ~ 21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17. （12 分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受。
针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是
该公司 2023 年前 5 个月的带货金额的统计表（金额 y （万元））。
月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月
月份编号 x 1 2 3 4 5
金额 y （万
7 12 13 19 24
元）
（1）根据统计表，
求该公司带货金额的平均值 y ；
求该公司带货金额 y 与月份编号 x 的样本相关系数（精确到 0.01），并判断它们是否具有线
性相关关系（ 0.75 r 1，则认为 y 与 x 的线性相关性较强； r 0.75，则认为 y 与 x 的线性
相关性较弱）；
（2）该公司现有一个直播间销售甲、乙两种产品。为对产品质量进行监控，质检人员先用简
单随机抽样的方法从甲、乙两种产品中分别抽取了 5 件、3 件产品进行初检，再从中随机选
取 3 件做进一步的质检，记抽到甲产品的件数为 X ，试求 X 的分布列与期望。
n
xi x yi y
r i1
附 ： 相 关 系 数 公 式 n n ， 参 考 数 据 ： 1740 41.7 ，
2 2
xi x yi y
i1 i1
5 5 5
x x y y 41， 2 ， 2 。
i i xi x 10 yi y 174
i1 i1 i1
2c a
18. （12 分）在 cos A ，bcosC 2a ccos B 中任选一个作为已知条件，补充在
2b
下列问题中，并作答。
问题：在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，已知 。
（1）求 B ；
1
（2）若 ABC 的外接圆半径为 2，且 cos AcosC ，求 a c 。
8
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分。
19. （12 分）如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是等腰梯形， DAB 60 ，
AB 2CD 4 ， M 是线段 AB 的中点。
（1）求证：C1M / /平面A1 ADD1 ；
平面
（2）若CD1 ABCD ，且CD1 2 3 ，求直线 D1B1 与平面C1D1M 所成角的正弦值。
D1
C1
A1 B1
D C
A
M B
x2 y2
20. （12 分）已知椭圆 E : 1a b 0的左、右焦点分别为 F1 1,0、 F2 1,0 ，左、
a2 b2
右顶点分别为 A、B ， P x, y 为椭圆 E 上一点，且 x 12 y2 x 12 y2 4 。
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）过 F1 的直线与椭圆 E 交于C、D 两点（其中点C 位于 x 轴上方），记直线 AC、BD 的斜率
1
分别为 k1、k2 ，求 k1 的最小值。
k2
ln x a 1 2 2
21. （12 分）已知函数 f x ， g x x x 3 3 x 1 ex 。
x
（1）当 a 1时，求 f x 在 x 1处的切线方程；
（2）若x1 1,e ， x2 3,0 ，使得 f x1 g x2 ，
求 f x 的单调区间；
求 a 的取值范围。
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 二题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
22. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本题满分 10 分）
t 2 1
x
t 2 1
在直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 的参数方程为 （t 为参数）。
2t
y
t 2 1
（1）写出曲线C 的普通方程；
（2）设 P 为曲线 C 上的一点，将 OP 绕原点 O 顺时针旋转 得到 OQ 。当 P 运动时，设点 Q
4
的轨迹是 E ，求曲线 E 的直角坐标方程。
23. 【选修 4-5：不等式选讲】（本题满分 10 分）
已知函数 f x x 2 2x 1 。
（1）求不等式 f x 6 的解集；
（2）已知对任意的 x R ，都有 f x t ，若 a、b、c 均为正实数， a 2b 2c 2t 2 ，在空
间直角坐标系中，点a,b,c 在以点0,1,1 为球心的球上，求该球表面积的最小值。