数学参考答案
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C A A D C
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．）
题号 9 10 11
答案 ABD BD ABD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
题号 12 13 14
1
答案 , 0 5 或 6 5 1, 5 + 1
2
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.（13 分）
（1）设 ( , ) ，则有 = 2 ，则 (0, ) ，因为 是 的中点，所以 , ，
2 0
0 0 0 0 0 2 0
则 = 2 = 4 ，即 = 4 ，故点 在抛物线 : = 4 ( >0) 的上运动．
2 0 2 2
0 0 1
2 （4 分）
（2）因为 与 平行，所以四边形 是梯形，
1 2 1 2
其上底为 = = ，下底为 = = 2 1 = 1 ，高为 = ，
1 1 1 2
2 2 0 12 2 2 0
所以其面积 = + 1 ，又 = 2 ，所以 = + 1 = + ( >0)
2
0 1 2 0 0 1 3 0
0 0 0 0 0
2 2 2 4 8 2 （8 分）
令 ( ) = + ( >0) ，则 ( ) = + >0 ，所以 ( ) 即 关于 单调递增，
1 3 0 3 2 1
0 8 0 2 0 0 8 0 2 0 0
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（10 分）
又当 0 时， 0 ； + 时， + ，所以 在 (0, + ) 上没有最值．
0 0 0 （13 分）
16.（15 分）
（1）如答图，取 中点 ，连接 ， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 // ， = ．
1
因为 // ， = 2 ，所以 // ， = ， 2
所以四边形 为平行四边形， // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ． （6 分）
（2）过点 作 于点 ，连接 ．
因为 // ，所以直线 与平面 所成角和直线 与平面 所成角相等，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 = ， , 平面 ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成角 ， （11 分）
=2+ 1 = 5 ， = 2+ 1 = 5 ， = = ，所以
2 2 2 2 1 2 25
5 2 55
5 2
sin = = =
5 5
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ． （15 分）
2
5
17.（15 分）
（1）若 5、7 在所抽取的数里，由于其是质数，且无法找到其他被其整除的数，故 5、7 不能被抽取到．
若抽取的数有 1，
（I）若抽取三个数，设其他两个数为 , (< ) ，则 = ，符合条件的 ( , ) 只能为 (2,4) 和 (3,9)
2
两组，此时所抽取的数为 (1,2,4) 和 (1,3,9) ，共两组；
（II）若所抽取的数的个数大于 3，记此等比数列的公比为 ，则 2 ．若 = 2 ，则所抽取的数为
(1,2,4,8) ；若 3 ，则该等比数列的最大一项大于等于 3 = 27 ，明显不符合题意， 故该情况仅有
3
(1,2,4,8) 1 组符合条件 ．
若抽取的数无 1，则抽取的数应在 {2,3,4,6,8,9} 中．该等比数列公比 2 ，因此若最小的一项为 3，
则最大一项 3 2 = 12 ，矛盾，所以最小的一项应为 2．易知符合条件的仅有 (2,4,8) 1 组．
2
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综合上述情况，仅有 (1,2,4) ，(1,3,9) ，(1,2,4,8) ，(2,4,8) 共 4 组符合条件． （4 分）
而抽取的所有结果共有 2 1 = 511 种，故概率 = ． （6 分）
9 4
（2）当抽取的数有 3 项时，（ I）若该等差数列的公差 511 = 1 ，则有 (1,2,3) ，(2,3,4) ，…，(7,8,9) 共
7 组符合条件．（II）若该等差数列的公差 = 2 ，则有 (1,3,5) ，(2,4,6) ，…，(5,7,9) 共 5 组符合条
件．（III）若该等差数列的公差 = 3 ，则有 (1,4,7) ，(2,5,8) ，(3,6,9) 共 3 组符合条件．（IV）若该等
差数列的公差 = 4 ，则仅有 (1,5,9) 1 组符合条件．（V）若该等差数列的公差 5 ，则没有满足条
件的选取组合．
故此情况共有 7 + 5 + 3 + 1 = 16 组符合条件． （8 分）
当抽取的数有 4 项时，（I）若该等差数列的公差 = 1 ，则有 (1,2,3,4) ，(2,3,4,5) ，…，(6,7,8,9) 共
6 组符合条件．（II）若该等差数列的公差 = 2 ，则有 (1,3,5,7) ，(2,4,6,8) ，(3,5,7,9) 共 3 组符合条
件．（III）若该等差数列的公差 3 ，则没有满足条件的选取组合 ．
故此情况共有 6 + 3 = 9 组符合条件 ． （10 分）
当抽取的数有 5 项时，（I）若该等差数列的公差 = 1 ，则 有 (1,2,3,4,5) ，(2,3,4,5,6) ，…，(5,6,7,8,9)
共 5 组符合条件．（II）若该等差数列的公差 = 2 ，则仅有 (1,3,5,7,9) 1 组符合条件．（III）若该等差
数列的公差 3 ，则没有满足条件的选取组合 ．
故此情况共有 5 + 1 = 6 组符合条件． （12 分）
以此类推，当抽取 6、7、8、9 项时，都当且仅当公差为 1 时有符合条件的选取组合，分别有 4、
3、2、1 组，
综上所述，满足条件的选取组合共有 16 + 9 + 6 + 4 + 3 + 2 + 1 = 41 组， （14 分）
由（1），抽取的所有结果共有 2 1 = 511 种，故概率 = ． （15 分）
9 41
2
511
18.（17 分）
（1） ( ) = ( + 2) ln( + 1) ， ( 1, + ) ， （2 分）
观察得 (0) =0 ，即 = 0 为其零点， （4 分）
1
( ) = 1 ln( + 1)
+ 1
所以 (0) = 2 = 0 ，即 = 2 ．故 的值为 ． （ 分）
2 6
（2）由（ 1）得 = ( ) 必经过原点，若需使 = ( ) 经过四个象限，则 ( ) 需在区间 ( 1,0) 和
(0, + ) 上均至少存在一个零点，
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( ) ( )
令 ( ) = ( + 2) ln( + 1) = 0 = ( 0) 在 ( 1,0) 和 (0, + ) 上均有根．
+2 ln +1
( + 2) ln( + 1) + 2 2( + 1) ln( +1)
设函数 ( ) = ， ( ) = ，
2 ( + 1)
令 ( )= + 2 2( + 1) ln( +1) ， ( ) = 2[ ln( +2 1)] ，
2
令 ( ) = ln( + 1) ， ( ) = ，当 ( 1,0) 时， ( )< 0 ， ( ) 单调递减；当 (0, + )
时， ( ) >0 ，( ) 单调递增 ．所以+1 =0 是 ( ) 的极小值点， ( ) = (0) = 0 ．
所以 () 0 恒成立，即 ( ) 0 ，故 ( ) 单调递增 ．又 (0) =0 ，所以当min ( 1,0)时， ( )<
(0)=0 ，即 ( )< 0 ，所 以 ( ) 单调递减；当 (0, + )时， ( ) >(0)=0 ，即 ( )>0 ，
所以 ( ) 单调递增 ．
又当 0 时， ( ) 2 ，所以要使得 ( ) = 在 ( 1,0) 和 (0, + ) 上均有根， 需满足 (2, + ) ．
综上所述， 若 ( ) 的图像经过四个象限，则 (2, + ) ． （ 17 分）
（方法不唯一，若考生 从极值点等其他角度入手，依据实际情况酌情赋分）
19.（17 分）
（1）我们需证 在普通加法下可构成一个群，由题意，需从以下四个方面进行验证：
封闭性：对 , ，则 + ，封闭性成立． （1 分）
结合律：对 , , ， + ( + ) = ( + ) + ，结合律成立． （2 分）
恒等元：取 = 0 ，则对任意 ，0+ = ．符合恒等元要求． （3 分）
逆：对任意 ， = ，且 + = + ( ) = 0 = ，满足逆的存在性．
（4 分）
综上所述，所有实数在普通加法运算下可构成群 ．
+
（2）首先提出， 的“”运算可以是复数的乘法： ( , ) ，理由如下．
12 1 2 （6 分）
即证明 在普通乘法下可构成一个群，同（1），需从四方面进行验证：
封闭性：设 = + i ， = + i ，其中 , ，即 + = + = 1 ．
2 2 2 2
则 = ( +1i)( + i) =(2 ) + ( +1 )i2 ，
1 2
所以 | |= ( ) + ( + ) = + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
12
= ( + ) + ( + ) = + = 1 ，即 ，封闭性成立． （7 分）
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
结合律：设 = + i ， = + i ， = + i ，其中 , , ，
1 2 3 1 2 3
数学参考答案 第 4 页（共 6 页）
( ) = ( + i)[( ) + ( + )i]
= [ ( 1 2)3 ( + )]+ [ ( + ) + ( )]i
( ) = [( ) + ( + )i]( + i)
= [ ( 12 )3 ( + )] + [ ( ) + ( + )]
对比后容易发现， ( ) 和 ( ) 实部和虚部分别对应相等，即 ( ) =( ) ，结合律成立．
1 2 3 12 3 （18 分）23 12 3
恒等元：取 = 1 ，则对任意 ，1 = ，符合恒等元要求． （9 分）
逆的存在性：对任意 = + i ，取其共轭 = i ，则 = + = 1 = ，满 足 逆的存
2 2
在性． （10 分）
综上所述， 在复数的乘法运算下构成一个群 ．
（构造不唯一，证明方法也不唯一，本题较为开放， 不同的方法应据实际情况酌情赋分）
（3）所有阶数小于等于四的群 都是阿贝尔群，理由如下． （11 分）
若群 的阶数为 0，则 为空集，与定义矛盾 ．所以 的阶数为 1,2,3,4．下逐一证明．
若群 的阶数为 1，则其唯一的元素为其恒等元，明显符合交换律，故此时 是阿贝尔群．
（12 分）
若群 的阶数为 2，设其元素为 , ，其中 是恒等元，则 = = ，符合交换律，故此
时 是阿贝尔群 ． （13 分）
若群 的阶数为 3，设其元素为 , , ，其中 是恒等元，由群的封闭性， ．
若 = ，又 = ，推 出 = ，则 集 合 有两个相同的元素，不满足集合的唯一性， 矛盾．所
以 = ．
现要验证交换律，即 = = ．事实上，若 ，有前知， 且 ，所
以 ，与群的封闭性矛盾 ．所以 = ，交换律成立，故此时 是阿贝尔群 ．
（15 分）
若群 的阶数为 4，设其元素为 , , , ，其 中 是恒等元，由群的封闭性， ．由的分
析可知， 且 ，所以 = 或 = ．
若 = ．由群中逆的存在性，群 中存在一个元素 使得 = ，很明显 ，所 以 = 或
= ． 假设 = ，即 = ，又 = ，推出 = 则集合 有两个相同的元素，不满足集
合的唯一性，矛盾 ．故只能 = ．
先证交换律对 , 成立，即 = ．事实上，若 = ，则 由 ， 只
能等于 ．又 = ， = （ 和 同理），不满足群中逆的存在性，矛盾 ．所以
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= = ．交换律对 , 成立．
接下来只需证交换律对 , 和 , 也成立．事实上，由 和 的对称性，只需证 , 即可．由群中逆的
存在性，存在 { , } 使得 = ．
（I）若 = ，则只需证 = = ．事实上，若 = ，由群的封闭性，
，所以 只能等于 ，又由前有 = ，得 = = ，即 = 1 ，但 是
任取的，该结论具有局限性，不对一般的 成立，故矛盾 ．即 = ，此时交换律对 , 成立 ．
（II）若 = ．群中逆的存在性，存在 { , } 使得 = ，又 = ，所以 只能等于
，即 = ，即证 = = ，接下来的证法同（ I），反证法推出矛盾即可 ．即此时交换
律对 , 成立 ．
故群 的阶数为 4 时，交换律成立，故此时 是阿贝尔群． （17 分）
综上所述，所有阶数小于等于四的群 都是阿贝尔群 ．
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