数学试题卷
（名师教研团队命制 2024.2.3）
考试须知：
1. 本卷共 4 页，四大题 19 小题，满分 150 分，答题时间 120 分钟；
2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），
答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；
3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．）
1. 共同富裕是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．下列关于个人收入的统计量中，最能体现共
同富裕要求的是
A．平均数小、方差大 B．平均数小、方差小
C．平均数大、方差大 D．平均数大、方差小
2. 已知复数 满足 | | = 1 且 = i ，则 可被表示为
A．cos + i sin B．cos + i sin
3 3
4 4 4 4
C．cos + i sin D．cos + i sin
3 3
3. 1949 年 410月 1 日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有4 4 4 600 余位宾客参
加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉
方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉
方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为
A．240 B．480 C．384 D．1440
4. 抛物线 = 4 的焦点为 ，已知抛物线上的三个点 ， ， 满足 + + = 0 ，则 +
2
+ =
A．4 B．5 C．6 D．7
5. 遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，
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描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以
从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产
生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率 与初次记忆经过
的时间 （小时）的大致关系：
= 1 0.6 .
0 06
若陈同学需要在明天 15 时考语文考试时拥有复习背诵记忆的 50%，则他复习背诵时间需大约在
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
6. 已知数列 { } 满足 = + ( ) ， = 4 且 , >0 ，则 + + + 的
最小值是 +1 +2 12 1 2 1 2 2024
A．4 B．3 C．2 D．1
7. 已知函数 ( ) = + 4 + 2( + 2) + 图像上的一极大值点为 ( 2,0) ，则实数 的取值
4 3 2
范围为
A．( 2, + ) B．( 4, 2] C．( , 2] D．( , 2)
8. 在正三棱锥 中，侧棱 与底面 所成的角为 60 ，且 =3 ，则三棱锥 外
接球的表面积为
A．8 B．12 C．16 D．18
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．）
9. 已知 = sin(sin 2024) ， = sin(cos 2024) ， = cos(sin 2024) ， = cos(cos 2024) ，则
A．< B．< C．< D．<
10. 已知长轴长、短轴长和焦距分别为 2 、2 和 2 的椭圆 ，点 是椭圆 与其长轴的一个交点，
点 是椭圆 与其短轴的一个交点，点 和 为其焦点， ．点 在椭圆 上 ，若
，则 1 2 1 1
A．2 ， ， 成等差数列 B． ， ， 成等比数列
C．椭圆 的离心率 = 5 + 1
D． 的面积不小于 的面积
11. 积性函数 1( ) 指对于所有互质的整数 12 和 有 ( ) = ( ) ( ) 的数论函数．则以下数论函数是
积性函数的有
A．高斯函数 [ ] 表示不大于实数 的最大整数
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B．最大公约数函数 gcd( , ) 表示正整数 与 的最大公约数（ 是常数）
C．幂次函数 ( ) 表示正整数 质因数分解后含 的幂次数（ 是常数）
D．欧拉函数 ( ) 表示小于正整数 的正整数中满足 与 互质的数的数目
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12. 已知函数 ( ) = ( + ) ln( + 1) , 的图像经过四个象限，则实数 的取值范围是
2
______________ ．
13. 已知等差数列 { } 和等比数列 { } 满足 + = + = 30 ， + = + = 10 ，则数列
{ } 在 =______________ 时取到最小值． 1 2 1 2 3 4 3 4
14. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线
的轴.过抛物线 : = 4 上的点 （不为原点）作 的切线 ，过坐标原点 作 ，垂足为
2
，直线 （ 为抛物线的焦点）与直线 交于点 ，点 (2,0) ，则 | | 的取值范围是
______________ ．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.（13 分）
第一象限的点 在抛物线 : = 2 上，过点 作 轴于点 ，点 为 中点．
2
（1）求 的运动轨迹为曲线 1 的方程；
（2）记 , 的焦点分别为 ,2 ，则四边形 的面积是否有最值？
1 2 1 2 12
16.（15 分）
如图，已知四棱锥 的底面 是矩形且棱 垂直于其底面． 为棱 上一点， =
．
（1）若 为 中点，证明： 平面 ；
（2）若 为 的高， = 2 ，求二面角 的正弦值．
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17.（15 分）
从集合 { |1 9} 中随机抽取若干个数（大于等于一个）．
（1）求这些数 排序后 能成等比数列的概率；
（2）求这些数排序后能成等差数列的概率．
18.（17 分）
已知函数 ( ) = ( + 2) ln( + 1) ．
（1）若 ( ) 的零点也是其的极值点，求 ；
（2）若 () 的图像经过四个象限，求 的取值范围 ．
19.（17 分）
对于非空集合 ，定义其在某一运算（统称乘法）“”下的代数结构称为“群”( ,) ，简记为
．
而判断 是否为一个群，需验证以下三点：
1.（封闭性）对于规定的“”运算，对任意 , ，都须满足 ；
2.（结合律）对于规定的“”运算，对任意 , , ，都须满足 ( ) = ( ) ；
3.（恒等元）存在 ，使得对任意 ， = ；
4.（逆的存在性）对任意 ，都存在 ，使得 = = ．
记群 所含的元素个数为 ，则群 也称作“ 阶群” ．若群 的“”运算 满足交换律，即
对任意 , ， = ，我们称 为一个阿贝尔群（或交换群） ．
（1）证明：所有实数在 普通 加法运算下构成群 ；
+
（2）记 为所有模长为 1 的复数构成的集合，请找出一个合适的“”运算使得 在该运算下构
成一个群 ，并说明理由；
（3）所有阶数小于等于四的群 是否都是阿贝尔群？请说明理由．
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