绝密启用前
辽东十一所重点高中联合教研体2024届高考适应性考试模拟试题
数 学
本试卷共 19 题。全卷满分 120 分。考试用时 120 分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿
纸和答题卡的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
．已知集合 ， ，则 （ ）
1 S s s 2n 1, n Z T t t 4n 1, n Z S T
A． B．S C．T D． Z
2．已知复数 z 满足 z 1且有 z5 z 1 0 ，则 z （ ）
1 3 1 3 2 2 3 1
A． i B． i C． i D． i
2 2 2 2 2 2 2 2
sin
3．已知 ， 均为锐角，且 cos( ) ，则 tan 的最大值是 （ ）
sin
2 2
A． 4 B． 2 C． D．
4 5
4．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计 LOGO 的比赛，其中某位同学利用函数图像
的一部分设计了如图的 LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是 （ ）
1
A． f x x sin x B． f x sin x xcos x C． f x x 2 D． f x sin x x3
x2
5．如图 1 所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图 2 是根据图 1 绘制的古筝弦
及其雁柱的简易平面图.在图 2 中，每根弦都垂直于 x 轴，相邻两根弦间的距离为 1，雁柱所在曲线的方程为 y 1.1x ，
第 n 根弦（ n N ，从左数第 1 根弦在 y 轴上，称为第 0 根弦）分别与雁柱曲线和直线 l : y x 1交于点 An （ xn ，
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20
yn ）和 Bn （ xn ， yn ），则 yn yn （ ）
n0
参考数据：取1.122 8.14 .
A．814 B．900 C．914 D．1000
6．表面积为 4 的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为 （ ）
A． 4 B． 8 C．12 D．16
7．已知定点 P(m,0) ，动点 Q 在圆 O：x2 y2 16上，PQ 的垂直平分线交直线 OQ 于 M 点，若动点 M 的轨迹是
双曲线，则 m 的值可以是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1
8．设 a cos0.1，b 10sin 0.1，c ，则 （ ）
10 tan 0.1
A． a b c B． c b a C． c a b D． a c b
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部
选对得 6 分，部分选对得 2 分，选错得 0 分。
9．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
x x0 y y0 z z0
（1）过点 P0 x0 , y0 , z0 ，且以u a, b, c abc 0 为方向向量的空间直线 l 的方程为 ；
a b c
（2）过点 Px0 , y0 , z0 ，且 v m,n,t mnt 0 为法向量的平面 的方程为 mx x0 n y y0 t z z0 0 ．
2x y 1 x 1 y z
现已知平面 : x 2y 3z 6 ，l1 : ，l2 : x y 2 z ，l3 : （ ）
3y 2z 1 5 4 1
A． l1 // B．l2 // C． l3 // D．l1
10．定义：若数列an满足，存在实数 M，对任意 n N ，都有 an M ，则称 M 是数列an的一个上界．现已
a
n1
知an为正项递增数列， bn n 2 ，下列说法正确的是（ ）
an
A．若an有上界，则an一定存在最小的上界
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B．若an有上界，则an可能不存在最小的上界
a 1
n
C．若an无上界，则对于任意的 n N ，均存在 k N ，使得
ank 2023
L
D．若an无上界，则存在 k N ，当 n k 时，恒有 b2 b3 bn n 2023
11．已知对任意角 ， 均有公式 sin 2 sin 2 2sin cos .设ABC 的内角 A，B，C 满足
1
sin 2A sin A B C sin C A B .面积 S 满足1 S 2 .记 a，b，c 分别为 A，B，C 所对的边，则下列式
2
子一定成立的是( )
1 a
A． sin Asin Bsin C B． 2 2 2
4 sin A
C．8 abc 16 2 D．bcb c 8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．在一个圆周上有 8 个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有 种.
3
13．已知 f (x) 2sin(2x ) ，若 x , x , x 0, ，使得 f (x ) f (x ) f (x )，若 x x x 的最大值为 M，最小
3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3
值为 N，则 M N .
x2 y2
14．已知椭圆C : 1 ， F1 、 F2 分别是其左，右焦点，P 为椭圆 C 上非长轴端点的任意一点，D 是 x 轴上
4 3
SDAB
一点，使得 平分 F PF ．过点 D 作 PF 、 PF 的垂线，垂足分别为 A、B．则 的最大值是 ．
PD 1 2 1 2 S
PF1F2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中丹东
九九草莓的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种九九草莓整盒出售，每盒 20 个.
已知各盒含 0，1 个烂果的概率分别为 0.8，0.2.
(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中 4 个草莓，若当中没有烂果，则买下这盒草莓，否则不会购买此种草莓.求甲
购买一盒草莓的概率；
(2)顾客乙第 1 周网购了一盒这种草莓，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再
网购一盒；以此类推，求乙第 5 周网购一盒草莓的概率.
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16．（15 分）
1
如图，在直三棱柱 ABC - A B C 中， AB AC ，点 D 在棱 AA 上，且 A D AA , E 为 AC 的中点．
1 1 1 1 1 3 1 1 1
(1)证明：平面 BDE 平面 BCC1B1 ；
(2)若 AB AA1 2, BC 2 2 ,求二面角 D BE A1 的余弦值．
17．（15 分）
记 Sn 为数列an的前 n 项和，且满足 Sn knan pan qn r k ,p ,q ,r R ．
1
(1)若 p r 0, k ，求证：数列a 是等差数列；
2 n
n 1 Sn *
(2)若 k q 0, p 2,r 0，设bn 1 ，数列bn 的前 n 项和为Tn ，若对任意的 k N ，都有T2k 1 T2k ，
r
求实数 的取值范围．
18．（17 分）
已知函数 f x ax ex2 ,a 0且 a 1.
f x
(1)设 g x ex ，讨论 g x 的单调性；
x
(2)若 a 1 且 f x 存在三个零点 x1, x2 , x3 .
1）求实数 a 的取值范围；
2e 1
2）设 x x x ，求证： x1 3x2 x3 .
1 2 3 e
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19．（17 分）
x2 y2 6
已知动直线 l 与椭圆 C: 1交于 Px1, y1 ， Q x2 , y2 两个不同点，且 OPQ 的面积 SOPQ = ,其中 O 为坐
3 2 2
标原点.
2 2 2 2
(1)证明 x1 x2 和 y1 y2 均为定值;
(2)设线段 PQ 的中点为 M ，求 OM PQ 的最大值；
6
(3)椭圆 C 上是否存在点 D，E，G，使得 S S S ？若存在，判断DEG 的形状；若不存在，
ODE ODG OEG 2
请说明理由.
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