保密启用前
试卷类型：A
准考证号______ 姓名______
（在此卷上答题无效）
数学试题
2024.2
本试卷共 4 页，考试时间 120 分钟，总分 150 分。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本
试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 A={ x2 x2 5 x +< 2 0,} B ={ xx >1}，则 AB = （ ）
1 1 1
A． 0, B． ,1 C． ,2 D． (1, 2 )
2 2 2
1i
2．已知 i 为虚数单位， = （ ）
1 2i
5 10 5 2
A． B． C． D．
5 5 2 5
3．已知 ab, 是两个单位向量，若 ab=3 ，则 a 与 b 的夹角为（ ）
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
xy22
4．设直线 x3 ym += 00( m ) 与双曲线 =1(ab >>0) 分别交于 AB、 两点，若线段 AB 的中
ab22
4
点横坐标是 m ，则该双曲线的离心率是（ ）
5
5 7
A． B． C．2 D． 2
2 2
()x 2
．一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为 2 2 ，其中 为输出信号功率最大值
5 Ix( ) = I0e I0
（单位：mW ）， x 为频率（单位：Hz ）， 为输出信号功率的数学期望， 2 为输出信号的方差，3dB 带
宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图
(x 2)2
像的宽度。现已知输出信号功率为 2 （如图所示），则其 带宽为（ ）
Ix( ) = I0e 3dB
A． ln2 B． 4 ln2 C． 3 ln2 D． 2 2ln2
．已知 成等比数列，且 和 为其中的两项，则 的最小值为（ ）
6 aaaaa12345,,,, 2 8 a5
1 1
A． 32 B． 16 C． D．
32 16
7．如图，在三棱锥 P ABC 中， AB===== BC2, BA BC , PA PB PC 2 ，点 M 是棱 BC 上一动
点，则 PM+ MA 的取值范围是（ ）
A． 6+ 2 7,4 B． 2+ 2,4
10+ 14 10+ 14
C． ,4 D． ,2+ 2
2 2
20142
8．方程 2cos2xx cos2= coscos4x 1 所有正根的和为（ ）
x
A．810 B．1008 C．1080 D．1800
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．下列命题正确的是（ ）
．若 、 两组成对数据的样本相关系数分别为 ，则 组数据比 组数据的相关性
A AB rrAB=0.97, = 0.99 A B
较强
．若样本数据 的方差为 ，则数据 的方差为
B xx12,,, x 6 2 2xx12 1, 2 1, , 2 x 6 1 8
C．已知互不相同的 30 个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下 28 个数据的 22%分位数不等于原
样本数据的 22%分位数
D．某人解答 5 个问题，答对题数为 X ，若 XB (5,0.6) ，则 EX( ) = 3
lnx
10．对于函数 fx( ) = ，下列说法正确的是（ ）
x
1
A． fx( ) 在 x = e 处取得极大值
e
B． fx( ) 有两个不同的零点
C． ff(43)<<( ) f( )
D． 4< 4
．已知 是圆 22 2 *上任意一点，过点 向圆 引斜率为
11 M n On : x+ y 22 nx ny += n 0( n N ) Pnn (1, ) On
的切线 ，切点为 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
kknn( >0) ln Qxyn( nn, ) An (3, nn)
nn21+
A． n = 1时， k = 3 B． yn= +
1 n n +1
1 3
． 1 xxnn． 的最小值是
C< 2sin D MAn n+ MP nn n +1
1+xnn yn 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
SS
12．设 S 是数列{a }的前 n 项和， nn+1 =1,a = 5 ，则 a = ______．
n n nn+1 3 2024
13．设函数 fx( ) =sin x +>( 0) 在区间 (0, ) 上恰有两个零点，则 的取值范围是______．
3
14．如 图 ，在 SBE 中，SE= BE = 1 ，在直角梯形 BEDC 中，BE== DECD, BECD , 2, DE 3 ，
2
DE SE ，记二面角 S DE B 的大小为 ，若 , ，则直线 SC 与平面 SDE 所成角的正弦值
33
的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（ 13 分）
若数列 的前 项和 满足 ．
{an } n Sn Snn=24 an +
（ ）证明：数列 是等比数列；
1 {an 1}
（ ）设 ，求数列 的前 项和 ．
2 bann=log21( + 1) {bann( 1)} n Tn
16．（15 分）
在三棱柱 中， ，在底面 中，有 ，且 ，点 为等
ABC A111 B C AA1 = 13 ABC AB BC AB=8, BC = 6 D
12
腰三角形 B AC 的底边 AC 的中点，在BB D 中，有 cos BB D = ．
1 1 1 13
（ ）求证： ；
1 BC B1 D
（ ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
2 AB1 B1 BC
17．（ 15 分）
甲、乙两俱乐部进行羽毛球团体赛，比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打、女子单打共
五个项目进行，规定每个项目均采取三局两胜制，且在上述五项中率先赢下三项的俱乐部获胜（后续项目不
再进行比赛）．已知在男双项目、女双项目、男单项目这三项的每局中，甲俱乐部获胜的概率均为 0.7；在混
双项目、女单项目这两项的每局中，乙俱乐部获胜的概率均为 0.8，假设每局比赛之间互不影响．（注：比赛
没有平局，且所有结果均保留一位小数．）
（1）求甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率；
（2）记比赛结束时所完成的比赛项目数量为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望．
18．（ 17 分）
xy22 1
已知椭圆 E 的方程为 + =1(ab >>0), A为 E 的左顶点，B 为 E 的上顶点，E 的离心率为 ,ABO
ab22 2
的面积为 3 ．
（1）求 E 的方程；
（2）过点 P (2,1) 的直线交 E 于 MN、 两点，点 M 且垂直于 x 轴的直线交直线 AN 于点 H ，证明：线
段 MN 的中点在定直线上．
19．（ 17 分）
a
已知函数 fx( ) =ln x ．
x
（1）当 a = 1时，求 fx( ) 的极值；
1 x2
（2）若存在实数<<，满足 = 0 ，求 2 的取值范围．
0 x0 fx( 0 ) ffa( )
2 1 x0
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