绝密启用前
数 学（新课标 I 卷）
试卷类型：A
本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考
场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡
相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选
项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答
案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题
目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新
的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数 z1, z2 在复平面内对应的点关于实轴对称，且 z1 1 i ，则 z1z2 （ ）
A．2 B．0 C． 2i D． 2
2．已知集合 A x | y lg4 x2 ， B x | y x2 4x 3，则 A B
A．x 1 x 2 B．x 1 x 2
C．x 1 x 3 D．x 2 x 3
3．已知 a ，b ， c 均为单位向量，且满足 a b c 0 ，则 a b,c （ ）
2
A． B． C． D．
6 3 2 3
10x 1
．函数 在区间 , 上的图象大致为（ ）
4 f (x) x sin x
10 1 2 2
试卷第1 页，共6页
A． B．
C． D．
1
5．已知 S 和Tn 分别是数列a 和b 的前 n 项和，且满足 S 1 a ，b 4n 5 ，
n n n n 2 n n
*
若对n N ，使得5Tn 3Sn a(a 2) 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． a 4或 a 2 B． a 1或 a 3
C． a 2或 a 4 D． a 3或 a 1
6．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种
茶用 85的水泡制，再等到茶水温度降至 55时饮用，可以产生最佳口感．某研究人
员在室温下，每隔 1min 测一次茶水温度，得到数据如下：
放置时间/min 0 1 2 3 4 5
茶水温度/ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43
为了描述茶水温度 y与放置时间 xmin 的关系，现有以下两种函数模型供选择：
y ka x 25k R,0 a 1, x 0 ， y kx bk,b R, x 0 ．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为
（ ）
（参考数据： lg 2 0.301， lg3 0.477 ）
A．6min B．6.5min C．7min D．7.5min
7．如图 1 所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反
x2 y2
射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 E : 1(a 0,b 0)
a2 b2
的左右焦点分别为 F1, F2 ，从 F2 发出的光线经过图 2 中的 A, B 两点反射后，分别经过
12
点C 和 D ，且 tan CAB ，| BD |2 ADBD ，则双曲线 E 的离心率为（ ）
5
试卷第2 页，共6页
6 37 2 10 14
A． B． C． D．
5 5 5 3
8．如图，正四面体 ABCD 的顶点 C 在平面 内，且直线 BC 与平面 所成的角为
45，顶点 B 在平面 内的射影为 O，当顶点 A 与点 O 的距离最大时，直线 CD 与平
面 所成角的正弦值等于()
6 3 2 2 2 1
A． B．
12 5
6 2 5 2 2
C． D．
4 12
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选
错的得 0 分.
9．以下结论正确的是（ ）
2
A．根据 2 2 列联表中的数据计算得出 2 6.635 ，而 P 6.635 0.01，则根据
小概率值 0.01的独立性检验，认为两个分类变量有关系
B． 2 的值越大，两个事件的相关性就越大
C．在回归分析中，相关指数 R2 越大，说明残差平方和越小，回归效果越好
D．在回归直线$y 0.5x 85中，变量 x 200 时，变量 y 的值一定是 15
10．已知角 A, B ，C 是锐角三角形 ABC 的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A B C
A．sin B C sin A B．sin cos
2 2
C． cos A B cosC D．sin A cos B
11．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A ， B 两点， M 为线段 AB 的中点，
过点 A 作抛物线的切线 PA ，则下列说法正确的是（ ）
试卷第3 页，共6页
A． AB 的最小值为 4
10
B．当 AF 3FB 时， AB
3
C．以线段 AB 为直径的圆与直线 x= 1相切
D．当 AB 最小时，切线 PA 与准线的交点坐标为1,0
2x1
12．已知曲线C1 : f x ln 2x 1 在点 M x1, y1 处的切线与曲线C2 : g x e 相切
于点 N x2 , y2 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 h x x2 g x 1有 2 个零点
3 1
B．函数 m x ef x xg x 在 ,1 上单调递增
2 2
1
C． g x2
2x1 1
1
D． 2x2 0
x1 1
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
x 6 4 2
13． 2 x 2y 的展开式中 x y 的系数为 ．（用数字作答）
y
*
14．已知正项数列an 的前 n 项积为Tn ，且满足 an 3Tn 1 Tn n N ，则Tn
.
1
15．在棱长为 3 的正方体 ABCD A B C D 中，点 E 满足 A E EC ，点 F 在平面
1 1 1 1 1 2 1
BC1D 内，则 A1F EF 的最小值为 ．
n
16．已知不等式 x ln x mln x x n 对x 0 恒成立，则当 取最大值时， m
m
．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
17．（本题 10 分）在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知
3
3bsin A a cos B 0 ，且sin2 A 6sin B sinC .
2 2
（1）求 A ；
（2）若 b c a( R) ，求 的值.
试卷第4 页，共6页
1 x
18．（本题 12 分）已知点1, 是函数 f x a （ a 0 且 a 1）的图象上一点,等比数
3
列an 的前 n 项和为 f n c ,数列bnbn 0 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足
Sn Sn1 Sn Sn1 n 2 ．
(1)求数列an 和bn 的通项公式；
1 1000
(2)若数列 前 n 项和为Tn ,问使得Tn 成立的最小正整数 n 是多少？
bnbn1 2015
19．（本题 12 分）已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1.（如图所示）
(1)若 E 为 DC 的中点，将矩形沿 BE 折起，使得平面CBE 平面 ABCD ，分别求C
到 AB 和 AD 的距离.
(2)在矩形 ABCD 中，点 M 是 AD 的中点、点 N 是 AB 的三等分点（靠近 A 点）.沿折
痕 MN 将A AMN 翻折成AMN ，使平面 AMN 平面 ABCD .又点 G，H 分别在线段
NB，CD 上，若沿折痕 GH 将四边形GHCB 向上翻折，使 C 与 A 重合，求线段 NG 的
长.
试卷第5 页，共6页
20．（本题 12 分）一只蚂蚁位于数轴 x 0 处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一
2 1
个单位长度，设它向右移动的概率为 ，向左移动的概率为 .
3 3
(1)已知蚂蚁 2 秒后所在位置对应的实数为非负数，求 2 秒后这只蚂蚁在 x 0 处的概
率；
(2)记蚂蚁 4 秒后所在位置对应的实数为 X ，求 X 的分布列与期望.
x2 y2 1
21．（本题 12 分）已知椭圆C ： 1a b 0 的离心率为 ，长轴长为 4，过
a2 b2 2
椭圆右焦点 F 的直线l 与椭圆交于 A ， B 两点.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)当直线l 与 x 轴不垂直时，在 x 轴上是否存在一点 P （异于点 F ），使 x 轴上任意点
到直线 PA ， PB 的距离均相等？若存在，求 P 点坐标：若不存在，请说明理由.
22．（本题 12 分）设函数 f (x) (x 1)ex x 1（ e 为自然对数的底数）
(1)求 f x 在 x 0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)证明： f x 有且仅有两个零点 x1, x2 ，且 x1 x2 0 ．
试卷第6 页，共6页
绝密启用前
深圳外国语学校 2023-2024 年高三第二次模拟测试
数 学（新课标 I 卷）答案详解
试卷类型：A
本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考
场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡
相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选
项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答
案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题
目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新
的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数 z1, z2 在复平面内对应的点关于实轴对称，且 z1 1 i ，则 z1z2 （ ）
A．2 B．0 C． 2i D． 2
【答案】A
【分析】由题意可得 z2 1 i ，根据复数的乘法运算即可求解.
【详解】因为复数 z1, z2 在复平面内对应的点关于实轴对称，且 z1 1 i ，
所以 z2 1 i ，
所以 z1z2 1 i1 i 2 .
故选：A.
2．已知集合 A x | y lg4 x2 ， B x | y x2 4x 3，则 A B
A．x 1 x 2 B．x 1 x 2
试卷第1 页，共 22页
C．x 1 x 3 D．x 2 x 3
【答案】B
【分析】分别求出集合 A、B，再按交集的定义运算即可.
【详解】由 4 x2 0 ，得 2 x 2 ，所以 A x | 2 x 2，由 x2 4x 3 0，得
1 x 3 ，所以 B x 1 x 3 ，所以 A B x 1 x 2.
故选：B
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，涉及到求函数的定义域，解一元二次不等
式，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
3．已知 a ，b ， c 均为单位向量，且满足 a b c 0 ，则 a b,c （ ）
2
A． B． C． D．
6 3 2 3
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积的性质进行运算即可．
2 2
【详解】a b c 0 ，c a b ，则a bAc a ba b a b 0 ，
即 a b c ，则 a b,c
2
故选：C
10x 1
．函数 在区间 , 上的图象大致为（ ）
4 f (x) x sin x
10 1 2 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性和指数函数的性质，排除选项得出正确答案．
10x 1 110x
【详解】 f (x) sin x sin x f (x)
10x 1 110x
10x 1
f (x) sin x 是偶函数，排除选项 B 和 D
10x 1
10x 1
当 0 x 时，sin x 0，10x 1，即 f (x) sin x 0 ，排除选项 C
2 10x 1
故选：A
试卷第2 页，共 22页
1
5．已知 S 和Tn 分别是数列a 和b 的前 n 项和，且满足 S 1 a ，b 4n 5 ，
n n n n 2 n n
*
若对n N ，使得5Tn 3Sn a(a 2) 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． a 4或 a 2 B． a 1或 a 3
C． a 2或 a 4 D． a 3或 a 1
【答案】D
【分析】利用和与项的一般关系求得数列an 的递推关系，根据等比数列的定义判定
1
为等比数列，得到通项公式，进而得到 S 1 ，利用等差数列的求和公式得到
n 3n
2
Tn 2n 3n ,进而结合二次函数和指数函数的单调性得到不等式左端的最大值，根据
不等式恒成立的意义得到关于 a 的不等式，求解即得.
1 1 2
【详解】由 S 1 a 得 a S 1 a , a ,
n 2 n 1 1 2 1 1 3
1
S 1 a n 2 ,
n1 2 n1
1 1 1
a S S a a , a a n 2 ,
n n n1 2 n1 2 n n 3 n1
2 1
数列a 为首项为 a ，公比为 q 的等比数列，
n 1 3 3
2 1
a , S 1 ，
n 3n n 3n
bn 4n 5 ，bn 为等差数列，
1 4n 5
T n 2n2 3n ,
n 2
1
5T 3S 10n2 15n 3 ,
n n 3n1
1
记 f (n) 10n2 15n 3
3n1
当 nN*时， f n 为 n 的单调递减函数，
f n f 1 3
max
5Tn 3Sn a(a 2) 恒成立的充分必要条件是3 aa 2 ,解得 a 3或 a 1，
故选：D
6．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种
茶用 85的水泡制，再等到茶水温度降至 55时饮用，可以产生最佳口感．某研究人
员在室温下，每隔 1min 测一次茶水温度，得到数据如下：
放置时间/min 0 1 2 3 4 5
试卷第3 页，共 22页
茶水温度/ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43
为了描述茶水温度 y与放置时间 xmin 的关系，现有以下两种函数模型供选择：
y ka x 25k R,0 a 1, x 0 ， y kx bk,b R, x 0 ．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为
（ ）
（参考数据： lg 2 0.301， lg3 0.477 ）
A．6min B．6.5min C．7min D．7.5min
【答案】B
【分析】根据每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，可判定应当选择模
型为更符合实际的模型.利用前两组数据可以求得 k 和 a 的值，进而将最佳口感温度
代入所求得解析式，利用对数的运算性质求得 x 的值，即可做出判断.
【详解】由表格中数据可得，每分钟茶水温度的减少值依次为 6,5.4,4.86,4.37,3.94,
呈现越来越小的变化趋势，
故选用模型为更符合实际的模型.
由 x 0 时， y 85.00 ，代入 y ka x 25 ，得85 k 25 ,解得 k 60 .
y 60a x 25 .
9
由 x 1时 y 79.00,可得 79 60a 25，解得 a ,
10
x
9
y 60 25 ,
10
x x x
9 1 9 1 9 9
由55 60 25,得 , lg lg x lg ,
10 2 10 2 10 10
1
lg
lg 2 lg 2 0.301
x 2 6.5 ,
9
lg 2lg31 1 2lg3 1 20.477
10
刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为 6.5min,
故选:B.
7．如图 1 所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反
x2 y2
射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 E : 1(a 0,b 0)
a2 b2
的左右焦点分别为 F1, F2 ，从 F2 发出的光线经过图 2 中的 A, B 两点反射后，分别经过
试卷第4 页，共 22页