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理科数学答案解析与评分标准
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分， 共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．【答案】A
【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查一元二次不等式解法，集合的并集运算等
基础知识；考查数学抽象、数学运算等数学核心素养。
1 1 1
【解析】集合 A = x|-1 2 2 2 2．【答案】C 【考查意图】本小题设置体育锻炼相关的数学应用情境，主要考查概率等基础知识，考查运 算求解、推理论证等能力；考查概率统计等思想方法；考查数学抽象、数学建模等数学核心素 养。 【解析】基本事件的总数为 25，甲、乙参加同一项活动包含的基本事件有 2 23 = 24，所以甲、 24 1 乙参加同一项活动的概率为 = ． 25 2 3．【答案】C 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查平面向量的数量积运算，两个向量的夹角 公式等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心 素养。 2 【解析】由 a+ 2b a = 0 得 a + 2 a b = 0，又 a = b = 2，所以 a b =-2 2 ，cosa，b = ab -2 2 2 = =- ，故向量 a，b 的夹角为 135． a b 22 2 4．【答案】B 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查二项式定理，展开式系数与常数项的求法 等基础知识；考查数学运算等数学核心素养。 6 r 2 r 6-r 2 r r 6-3r 【解析】 x- 展开式的通项公式为 T = C x - = -2 C x ，令 6 - 3r = 0，得 r = x2 r+1 6 x2 6 2 2 2，所以该展开式的常数项为 -2 C6 = 60． 5．【答案】B 【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查循环结构的程序框图及对数运算等基础知 识；考查数学运算、数学抽象等数学核心素养。 3 4 n+1 【解析】易知程序框图的功能是求 S = lg2 + lg + lg ++lg = lg n+1 ，由 S = 2 3 n lgn+1 2 得 n 99，所以输出 n = 99． 第1页，共11页 {#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#} 6．【答案】D 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查数列前 n 项和与通项公式等基础知识；考 查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 n-1 1 0 1 1 n-1 n-2 【解析】由 S = 2 - ，当 n = 1 时，a = S = 2 - = ，当 n 2，a = S - S = 2 - 2 = n 2 1 1 2 2 n n n-1 n-2 1 n-2 2 ，a = 也满足，所以数列 a 的通项公式为 a = 2 ． 1 2 n n 7．【答案】A 【考查意图】本小题设置数学学习情境，以指数函数、幂函数构成的复合型函数为载体，主要 考查函数图象和性质等基础知识；考查数形结合思想、化归与转化等数学思想，考查直观想象、 逻辑推理等数学核心素养。 x x 1 1 3 1 2 3 1 2 +1-1 3 【解析】f (-x) = ( - )(-x + 3x) = ( - )(-x + 3x) = ( - )(-x + 3x) 2 2-x+1 2 2x+1 2 2x+1 1 1 3 1 1 = ( - )(-x + 3x) = f (x)，可知 f (x) 为偶函数，排除 C，D；当 x >0 时， - >0，若 0 2 2-x+1 2 2x+1 < x< 3 时，x3 - 3x< 0，则 f (x)< 0，x >3 时，x3 - 3x >0，则 f (x)< 0，B 不符题意，故选 A． 8．【答案】A 【考查意图】本小题设置数学学习情境，考查指数式与对数式的互化、指数函数与对数函数 的图象和性质等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心 素养。 【解析】依题意，a = log3 >1；b = log43，且 0< b< 1；c = log 3，且 0< c< 1．由于 log 3 > 2e 4 log 3，所以 b >c，故 a >b >c． 2e 9．【答案】C 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查两角和的正弦公式，正弦型函数图象与性 质等基础知识；考查数形结合思想，应用意识；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 【解析】由 f x = 3 sinx + cosx = 2sin x+ ，当 0 x 1， x + + ，函 6 6 6 6 3 5 4 数 f x 在区间 [0,1] 上恰好有两个最值，由正弦函数的图象知 +< ，得< 2 6 2 3 7 ． 3 10．【答案】B 【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，以正方体为载体，主要考查空间点、线、面位置 关系、直线与平面所成的角等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查直观想 象、数学运算、逻辑推理等核心素养。 第2页，共11页 {#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#} 【解析】 易知平面 为平面 AB1D1 或与其平行的平面，M 只能为三角形或六边形．当 M 为三角形 3 2 3 时，其面积的最大值为 ( 2 ) = ；当 M 为六边形时，此时的情况如图所示，设 KD = x， 4 2 则 AK = 1 - x，KL = 2 (1 - x)，KM = 2 x，依次可以表示出六边形的边长，如图所示：六边形可 6 由两个等腰梯形构成，其中 LP KO MN ，KO = 2 ，两个等腰梯形的高分别为 1-x ， 2 6 1 6 1 6 3 2 x，则 S = 2x+ 2 1-x + 2 1-x + 2 x = (-2x + 2x + 2 四边形LKOP 2 2 2 2 2 1 2 3 3 1 1) =- 3 x- + ，当且仅当 x = 时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积 2 4 2 3 最大，最大值为 3． 4 P 11．【答案】C 【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单几 何性质等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查数学运算、逻辑推理及直观想 象等数学核心素养。 【解析】 y A F1 F2 O x B 3 o 该双曲线的渐近线方程为 y = x，则 AOB = 60 ，若 OAB 为直角三角形，则只可能 3 OAB = 90o 或者 OBA = 90o，这两种情况对称，面积相同，只研究一种情况即可．如图所示， o 在 Rt OAF1 中，有 |AF1| = b = 1，|OF1| = c = 2，|AO| = a = 3 ．又 AOB = 60 ，|OB| = 2 3 ， 3 3 |AB| = 3，所以 S = ． OAB 2 12．【答案】A 【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，设计函数与方程、导数综合应用问题，主要考 查利用导数研究函数性质等基础知识；考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等 思想方法，考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养。 第3页，共11页 {#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#} 【解析】依题意，f (x) = (x + 2)ex，可知 x<-2 时，f (x)< 0，x >-2 时，f (x) >0，则 x = 1 -2 时，f (x) 取得极小值 f (-2) =- ，也即为最小值；又 g(x) = lnx + a + 1，0< x< e-a-1 时， e2 g (x)< 0，x >e-a-1 时，g (x) >0，则 x = e-a-1 时，g(x) 取得极小值 g(e-a-1) =-e-a-1 ，也即为 1 x g(x) 最小值．由 - =-e-a-1，解得 a = 1．因为 f (x ) = g(x ) = t(t >0)，所以 (x + 1)e 1 = x e2 1 2 1 2 1 1+ lnt 1+ lnt (lnx2 + 1) = t(t >0)，可知 x1 >-1，x2 >，且 x1 = lnx2 ，所以 2 2 = 2 2 = e (x1+1) x2 (lnx2 +1) x2 1+ lnt 1+ lnt -1-2lnt - 1 - 1 ，令 h(t) = (t >0)，则 h(t) = ，当 0< t< e 2 ，h(t) >0，当 t >e 2 ，h(t) t2 t2 t3 - 1 - 1 e < 0，故 t = e 2 时，h(t) 取极大值 h(e 2 ) = ，也即为最大值． 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 1 3 13．【答案】 - i 2 2 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查复数的概念及除法运算等基础知识；考查 化归与转化等数学思想；考查数学运算等数学核心素养。 2 2 1 3 【解析】 = = - i． z 1+ 3i 2 2 14．【答案】27 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查等差数列的性质、前 n 项和等基础知识； 考查数学运算等数学核心素养。 9a +a 【解析】 a 为等差数列，a + a = a + 3 得 a + a = a + 3，所以 a = 3，则 S = 1 9 = 9a n 4 7 6 5 6 6 5 9 2 5 = 27． 2 6 15．【答案】 3 【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，考查空间点、线、面位置关系、直线与平面所成 的角、三棱锥的体积公式等基础知识；考查数形结合、化归与转化等思想方法，考查直观想象、 数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 【解析】 如图，取 AB 的中点 F，连接 DF，与 AE 交于点 H．由翻折前后的不变性可知，PH AE．由 已知，四边形 DEFA 为正方形，则 DF AE，AE 平面 PDF ，所以 PHF 为平面 PAE 与平面 ABCE 所成角的平面角；且平面 ABCE 平面 PDF ，即 P 在平面 ABCE 上的射影 O 在直线 DF 上（点 O 在线段 DH 或 HF 上均可）．由题意可知，在 RtPHO 中， PHO = 60，PH = 2 ，则 第4页，共11页 {#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#} 6 1 6 2 6 PO = ，又 S = 4，则 V = 4 = ． 2 ABC P-ABC 3 2 3 16．【答案】y =x + 1 【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与抛物线的位置关系载体，考查抛物线的定 义、标准方程和几何性质、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查数形结合、化归与 转化等思想方法，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 【解析】 y A C H M B O x x2 如图，设 M (x , 0 )，设 AB 与 MC 交于 H ． AB MC ，RtACM 中，AH MC = AC 0 4 2 2 MA = 2MA = 2 CM -4 ，而 AB = 2AH ，则 AB MC = 2AH MC = 4 CM -4 ，当 x2 2 x4 x2 CM 最小时 ，AB MC 取最小值．而 CM = x -0 2+ 0 -3 = 0 - 0 +9 = 0 4 16 2 1 x2-4 2+8 ，当且仅当 x2 = 4 时，取得最小值，此时 M (2, 1)．此时，AB 的直线方程为 y 16 0 0 =x + 1． 2 2 2 2 亦可构造一个以 M 为圆心，MA 为半径的圆：x2 + y-1 = 4，与圆 C: x + y-3 = 4 的方程相减，可得 AB 的直线方程：y =x + 1． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． 17．（12 分） 【考查意图】本小题设置生活实践情境，设计果苗病虫害调查相关的概率与统计问题，主 要考查离直方图识别、统计量计算和概率等基础知识；考查数据分析、数学建模及数学运算等 数学核心素养。 【解析】（1）由频率分布直方图得该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为： h = 0.02 5 22.5 + 0.05 5 27.5 + 0.06 5 32.5 + 0.04 5 37.5 + 0.02 5 42. 5 + 0.01 5 47.5 = 33(cm)． 4 分 （2）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间 [30, 45) 的频率为： (0.06 + 0.04 + 0.02) 5 = 0.6． 所以，估计该苗圃一颗受到这种病虫害的果苗高度位于区间 [30, 45) 的概率为 0.6． 8 分 （3）设从苗圃中任选一棵高度位于区间 [40, 50) 的果苗为事件 A，该棵果苗受到这种病虫 第5页，共11页 {#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#} P(AB) 3%(0.02+0.01)5 害为事件 B，则 P(B|A) = = = 0.0225． 12 分 P(A) 20% 18．（12 分） 【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式， 角平分线定义及性质等基础知识；考查化归与转化思想，考查数学运算、逻辑推理等数学核心 素养。 【解析】 （1）解法一： 1 由 c + b = acosC 及正弦定理， 2 1 可得 sinC + sinB = sinAcosC． 2 分 2 又 sinB = sin(A + C) = sinAcosC + cosAsinC， 1 所以 sinC + cosAsinC = 0． 4 分 2 1 又在 ABC 中，sinC 0，故 cosA =- ， 2 2 所以 A = ． 6 分 3 1 解法二：由 c + b = acosC 及余弦定理， 2 1 a2+b2-c2 可得 c + b = a ． 2 分 2 2ab 即 b2 + c2 - a2 =-bc， 4 分 b2+c2-a2 1 所以 cosA = =- ． 2bc 2 2 故 A = ． 6 分 3 2 （2）由（1）知 BAC = ，BAD = DAC = ． 3 3 又 b = 3，c = 5，SABC = SABD + SACD，9 分 1 2 1 1 所以 bcsin = c AD sin + b AD sin ． 2 3 2 3 2 3 15 所以 AD = ． 12 分 8 说明：本小题可用平面几何的方法解答：过点 D 作 AC 的平行线交 AB 于点 E，则 ADE 为 x 5-x 15 等边三角形（边长为 x），于是 = ，解得 x = ． 3 5 8 19．（12 分） 【考查意图】本小题设置数学学习、探索创新情境，以四棱锥中的线面关系为载体，主要考 第6页，共11页 {#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#} 查多面体的结构特征、平面与平面垂直的性质定理等基础知识；考查化归与转化、数形结合等 思想方法，考直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。 【解析】（1）因为平面 PAD 平面 PCD，AD PD，所以，AD 平面 PCD． 又 AD BC，所以，BC 平面 PCD，BC 平面 PBC． 所以，平面 PBC 平面 PCD． 4 分 （2）AD BC，BC 平面 PBC，AD 平面 PBC，所以 AD 平面 PBC． 又平面 PAD 平面 PBC 的交线= l，AD 平面 PAD，所以 l AD（可知直线 l 与平面 PAB 所成角等于直线 AD 与平面 PAB 所成角）． 3 由直线 l 与直线 AB 所成的角为 ，知 DAB = ． 4 4 可推出 BC = 4,AB = 2 2. 6 分 由（1）可知，AD 平面 PCD，即平面 ABCD 平面 PCD． 过 P 作直线 CD 的垂线，垂足为 H ，则 PH 平面 ABCD． 方法 1： PC = 2 3 ，则 CPD = DCP = 30，则 PDC = 120，PD = 2，PH = 3． PA = 2 2 ，AB = 2 2 ，PBC 是一个直角三角形， PB2 = BC2 + PC2，PB = 2 7 ， 1 S = 2 2 2 sin135 = 2，S = 7． DAB 2 PAB 设点 D 到平面 PAB 的距离为 h， 1 1 由 V = V ，得 S h = S PH ， D-PAB P-ABD 3 PAB 3 DAB 2 21 解得 h = ． 10 分 7 2 21 h 7 21 直线 l 与平面 PAB 所成角的正弦值为 = = ． 12 分 AD 2 7 方法 2： 以 H 为坐标原点，分别以向量 DA，HD，HP 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图 空间直角坐标系． 则 A(2,1,0)，B(4,3,0)，D(0,1,0)，P(0,0, 3)， DA = (2,0,0)，AB = (2,2,0)，AP = (-2,-1, 3)， 设平面 PAB 的法向量为 n = (x, y,z)， n AB=0， 2x+2y=0， 由 得 n AP=0， -2x-y+ 3z=0． 取 x = 3 ，得 y =- 3 ，z = 1， 则平面 PAB 的一个法向量为 n = ( 3,- 3 ，1)．…… 8 分 又 AD = (2, 0,0)，令直线 AD 与平面 PAB 所成角为 ， ADn 2 3 21 则 sin = = = ． |AD||n| 2 7 7 第7页，共11页 {#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#} 21 所以，直线 l 与平面 PAB 所成角的正弦值为 ． 12 分 7 20．（12 分） 【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与椭圆的位置关系为载体，主要考查椭圆 的方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系；考查数形结合、函数与方程、化归与转 化、分类与整合等思想方法，考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。 3 4 3 【解析】（1）由题意，曲线 C 的离心率 e = ，d = -x ． 2 3 0 x2 4-x2 显然， 0 + y2 = 1，即 y2 = 0 ．又因为 MF = (x - 3)2+y2 ， 4 0 0 4 0 0 2 2 4-x0 2 2 2 x0- 3 + |MF| x0- 3 +y0 4 3 所以 = = = ， d 2 2 4 4 3 -x 4 3 -x 3 0 3 0 MF 3 MF 故 = ，即 = e． 4 分 d 2 d （2）设点 P，Q 的坐标分别为 (x1, y1)，(x2, y2)． 由题意，当直线 PQ 的斜率不为 0 时，设直线 PQ 的方程为 x = ty + 3． x=ty+ 3 ， 2 2 2 联立方程组 2 消去 x 并整理得，(t + 4)y + 2 3ty - 1 = 0． x +y =1， 4 此方程有两个不等实根，分别为 y1，y2，且满足 2 3t 1 y + y =- ，y y =- ． 7 分 1 2 t2+4 1 2 t2+4 4 3 y1-y2 4 3 由已知，点 R 的坐标为 , y ，则直线 QR 的方程为 y = (x - ) + y ． 3 1 3 1 4 3 -x 3 2 根据椭圆的对称性可知，如果直线 QR 过定点，则此定点一定在 x 轴上． x y - 4 3 y 4 3 2 1 3 1 令 y = 0，可得 x - = ． 9 分 3 y1-y2 2 3t 而 x = ty + 3 ，y + y =- ，所以 2 2 1 2 t2+4 4 3 3 t 3 x y - y ty y - y - 2 - y1 4 3 2 1 3 1 1 2 3 1 t +4 3 1 3 x - = = = =- =- ． 3 y -y y -y 6 1 2 1 2 2y + 2 3t 2 3 1 t2+4 7 3 此时，x = 为定值． 11 分 6 7 3 当直线 PQ 的斜率为 0 时，直线 QR 与直线 PQ 重合，必然过点 ( ,0)． 6 7 3 综上，直线 QR 过定点，定点的坐标为 ( , 0)．12 分 6 21．（12 分） 【考查意图】本小题设置探索创新情境，以函数与不等式为载体，设计不等式、函数零点问 题，主要考查函数性质、导数应用等基础知识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查 第8页，共11页 {#{QQABbYCEggCgAAJAAQgCQwU4CkGQkBCAACoOQFAIoAAByRFABAA=}#}