考试说明：（1）本试卷满分150分．考试时间为120分钟；
（2）回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
（3）考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
3-i
1．若 z = , i 为虚数单位，则 z （ ）
1+i
A． 2- i B．1- 2i C．1+ 2i D． 2+ i
1
2．设集合 A={ x x< 1}, B = x - 1< x< ，则 ABU = （ ）
2
1 1
A． (- ,1) B． -1, C． (- 1,1) D． 0,
2 2
3．冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”．通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端
为圆柱形，下端为锥形．如图所示的是一个陀螺立体结构图．己知 BC, 分别是上、下底面圆的圆心，
AC=6, AB = 2 ，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（ ）
图1 图2
80p 70p 56p
A． B． C． 20p D．
3 3 3
B uuur uuur uuur uuur
4．在 ABC 中，角 ABC,, 的对边分别为 a,, b c ，若 bsin C= c cos ，且|CA+ CB | = | CA - CB | ，则 A =
V 2
（ ）
p p p p
A． B． C． D．
6 3 4 2
5．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元 ()m n ,甲、乙两
人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价
分别为 a1, a 2 ，则（ ）
A． a1= a 2 B． a1< a 2 C． a1>a 2 D． a1, a 2 的大小无法确定
S10
6．已知数列an 为等比数列， Sn 为数列an 的前n项和，若 3a4 , a 8 ,5 a 6 成等差数列，则 =
a5+ a 6
（ ）
121 11 31 211
A． B． C． D．
9 4 4 36
7．有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台加工的次品率分别为 5%,2%,4% ，加工出来的零件混放在一
起．己知第1,2,3台车床加工的零件数的比为 4: 5: 11，现任取一个零件，记事件 Ai = “零件为第i台车床加
工” (i = 1,2,3) ,事件 B = “零件为次品”，则 PAB 1 = （ ）
5 10
A．0.2 B．0.05 C． D．
37 37
x3- x 2 +3 a 2 - 7 a + 2 x + 2 , x 0
8．设 a >0 且 a 1，若函数 f() x = 有三个极值点，则实数a的取值
2 2x
logx - , x >0
a e
范围是（ ）
1 1 1 1
A． 0, U (2,e) B． ,1 U (1,e) C． ,1 U (1,2) D． ,1 U (1,2)
e e e 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，某学校举办了一场关于杭州亚运会相关知识问答竞赛，比赛
采用计分制（满分100分），该校学生成绩绘制成如下频率分布直方图，图中 b= 3 a ．则下列结论正确的是
（ ）
A． a = 0.01 B．该校学生成绩的众数为80分
C．该校学生成绩的 75% 分位数是85分 D．该校学生成绩的平均分是76.5
x2 y 2
10．已知抛物线 C: y2 = 2 px ( p >0) 的焦点F与椭圆 + =1的右焦点重合， AB, 是抛物线C上不同的两
5 4
点，O为坐标原点，则（ ）
A．抛物线C的标准方程为 y2 = 4 x
B．若直线 AB 经过点F,则以线段 AB 为直径的圆与y轴相切
C．若点 QP(1,1), 为抛物线C上的动点，则VPQF 周长的最小值为 3+ 2
D．若 OA OB = 0 ,则|OA | | OB | 32
11．如图，已知正三棱台 ABC- A1 B 1 C 1 是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中 AA1 = 2 ,以点A为球
心， 2 7 为半径的球面与侧面 BCC1 B 1 的交线为曲线 G, P 为 G 上一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．点A到平面 BCC1 B 1 的距离为 2 6 B．曲线 G 的长度为 4p
4 7p
C． CP 的最小值为 2 3- 2 D．所有线段 AP 所形成的曲面的面积为
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
5 2 3 4 5
12．已知 (2+ 3x ) = a0 + axax 1 + 2 + ax 3 + ax 4 + ax 5 ，则 a1 = _______．（用数字作答）
2 2 2 2
13．已知圆 C1 : x+ y = 3 ,圆 C2 : ( x- 1) + ( y - 2) = 3 ,直线 l: y= x + 2 ．若直线 l 与圆 C1 交于 AB, 两
点，与圆 C2 交于 DE, 两点， MN, 分别为 AB, DE 的中点，则|MN |= ________．
．设 * 表示不超过 * 的正整数集合， 表示 个元素的有限集， 表示集合
14 Nm = {1,2,L , m } m m N Ak k SA()
中所有元素的和，集合 * ，则 ；若 ，则 的最大值
A TSAAm, k= k k N m T3,2 = _________ ST m,3 2024 m
为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1
15．已知函数 f( x )= sin2 w x + 3 sin w x cos w x - ( w >0) ．
2
p
（1）当w =1时，求函数 f() x 在 0, 上的值域；
2
（2）在VABC 中，内角 ABC,, 的对边分别为 a,,, b c AD 为 BAC 的平分线，若 f() x 的最小正周期是
A 2 3
2p ,f = 0, a = 3, AD = ，求VABC 的面积．
2 3
16．如图1，在平行四边形 ABCD 中， D=60 , DC = 2 AD = 2 ，将VADC 沿 AC 折起，使点D到达点P位
置，且 PC^ BC ,连接 PB 得三棱锥 P- ABC ,如图2．
图1 图2
（1）证明：平面 PAB ^ 平面 ABC ;
5 |PM |
（2）在线段 PC 上是否存在点M,使平面 AMB 与平面 MBC 的夹角的余弦值为 ，若存在，求出 的
8 |PC |
值，若不存在，请说明理由．
17．已知函数 f( x )= ex + ax ．
（1）若 a = -1,求函数 f() x 的单调区间；
（2）当 x >0 时， f( x )>x2 + 1 恒成立，求实数a的取值范围．
18．这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游
胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客
纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游
客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中 75% 的游客
计划只游览冰雪大世界，另外 25% 的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只
游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅
纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计
概率．
（1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X，求X的分布列及数学期
望；
（2）记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为 n +1个的概率为 an ,求an 的前n项和 Sn ；
（3）从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n个的概率为 bn ，当 bn 取最
大值时，求n的值．
x2 y 2
19．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 H:- = 1( a >0, b >0) 的实轴长为4，渐近线方程为
a2 b 2
x2 y = 0 ．
（1）求双曲线H的标准方程；
（2）过点 P(4,0) 作直线 l 交双曲线H左右两支于 AB, 两点（异于顶点），点A关于x轴的对称点为E，证明直
线 BE 过定点Q；
uuuur uuuur
（3）过双曲线H上任意不同的两点 CD, 分别作双曲线H的切线，若两条切线相交于点M，且 MC MD = 0 ，
在第（2）的条件下，求 S 的最大值及此时点M的坐标．
VMPQ
2024哈三中高三学年第一次模拟考试数学答案
1-4 CCDA 5-8 BADC 9 ACD 10 AD 11 ACD 12．240
3
13． 2 14．{3,4,5} ；22
2
1 3 2
15．（1） - ,1 （2） 16．（1）略 （2）
2 2 3
17．（1）单调递减区间 (- ,0) 单调递增区间 (0,+ ) （2） a>2 - e
18．（1）
27 27
PXPX(= 3) = ( = 4) =
64 64
9 1
PXPX(= 5) = ( = 6) =
64 64
15
EX() =
4
n
3
（ ） （ ）
2 Sn =4 - ( n + 4) 3 125
4
x2 3
19．（1） -y2 =1 （2） Q(1,0) （3） SM=3, (0, 3)
4 VMPQ 2
2024 哈三中高三学年第一次模拟考试数学答案
1-4 CCDA 5-8 BADC
9 ACD 10 AD 11 ACD
3
12.240 13. 2 14.{3,4,5} ;22
2
1
15. （1） ,1
2
3
（2）
2
16. （1）略
2
（2）
3
17. （1）
单 调 递 减 区 间 ，0
单 调 递 增 区 间 0， +
a 2 e
（2）
18. （1）
27 27
P X 3 P X 4
64 64
9 1
P X 5 P X 6
64 64
15
E X
4
n
3
（ ） Sn 4 n 4
2 4
（3）125
x2
y2 1
19. (1) 4
(2) Q1,0
3
S 3, M 0, 3
(3) MPQ 2