数学试题
注意事项
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名准考证号考场号座位号在答题卡上填写清
楚.
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效，
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
an+1 *
1.已知数列an 满足 =2n N 且 a4 a 5= 4 a 3 ，则 a1 = （ ）
an
1 1 1
A. B. C. D.1
8 4 2
2.设抛物线 y2 =2 px ( p >0) 的焦点为 F ，点 A 为该抛物线上任意一点，若 AF >1恒成立，则 p 的取值范
围是（ ）
A. p< 2 B. p >2 C. p< 4 D. p >4
3.在某学校的期中考试中，高一高二高三年级的参考人数分别为 600,800,600 .现用分层抽样的方法从三个
年级中抽取样本，经计算得高一高二高三年级数学成绩的样本平均数分别为 93,81,99 ，则全校学生数学成
绩的总样本平均数为（ ）
A.92 B.91 C.90 D.89
4.已知 m, n 是不同的两条直线，a, b 是不重合的两个平面，则下列命题中，真命题为（ ）
A.若 m a,m n ，则 n a
B.若 m^a,, m ^ b n a ，则 n b
C.若 na, m ^ n ，则 m ^ a
D.若 m a,m b,n a,n b ，则a b
5.2023 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于 2023 年 11 月 26 日至 12 月 3 日在湖北省武汉市武钢三中
举行，赛后来自某所学校的 3 名同学和 2 名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的
站法有（ ）种.
A.48 B.64 C.72 D.120
6.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设 a, b , m ( m >0) 为整数，若 a 和 b 被
m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余，记为 a bmod m .若
1 2 2 20 20
a=C20 2 + C 20 2 +L + C 20 2 , a b mod9 ，则 b 的值可以是（ ）
A.2018 B.2020 C.2022 D.2024
7.过点 A--6, 8 的直线 l 与国 C: x2+ y 2 = 9 相交于不同的两点 MN, ，则线段 MN 的动点 P 的轨迹是
（ ）
A.一个半径为 10 的圆的一部分
B.一个焦距为 10 的椭圆的一部分
C.一条过原点的线段
D.一个半径为 5 的圆的一部分
x2 y 2
8.已知椭圆 C:+ = 1( a >b >0) 的左右焦点分别为 FF1, 2 ，过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 PQ, 两点，
a2 b 2
若 FQFPFQ2: 1 : 1 = 1:3:5 ，则该椭圆的离心率为（ ）
2 2 3 3
A. B. C. D.
2 3 2 3
二多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多个
选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分）
9.已知 z1, z 2 是复数，下列结论正确的是（ ）
A. z1+ z 2 = z 1 + z 2 B. z1+ z 2 = z 1 + z 2
C. z1 z 2 = z 1 z 2 D. z1 z 2= z 1 z 2
10.已知函数 f x =sin 3 x +j ，其中j 0, ，对于任意 x R ，有 f- x = f + x ，则
6 3
（ ）
3
A.j =
4
7
B.函数 f x 的图象关于点 ,0 对称
12
C.函数 f x 在 - , 上单调递增
12 12
D.函数 f x 在 -, 上共有 6 个极值点
11.已知定义域为 R 的函数 f x 满足 fxy + = fx + fy + xyxyfx2 + 2 , 为 f x 的导函数，且
f 1 = 2 ，则（ ）
A. f 0 = 0
B. f x 为奇函数
C. f -2 = 7
*
D.设 bn = f n n N ，则 b2024 =2023 2025 + 2
三填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12.已知集合 A= x3 2 x - 1 9 , B = { x a< x< a + 1} ，若 ABA = ，则实数 a 的取值范围为
__________.
13.已知一个圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，其顶点为 D ，底面圆心为 O ，点 P 是线段 DO 上的一
点，VABC 是底面内接正三角形，且 PA ^ 平面 PBC ，则 AC = __________；三棱锥 P- ABC 的外接球的
表面积是__________.
14.以 maxMM min 表示数集 M 中最大（小）的数.设 a>0, b >0, c >0 ，已知 a2 c+ b 2 c = 1，则
1 1 1
min max , , = __________.
a b c
四解答题（其 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分 13 分）
已知函数 f x = x + a ex + b a , b R 的图象经过点 1,1 ，且 x = 0 是 f x 的极值点.
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）求函数 f x 的单调区间和最值.
16.（本小题满分 15 分）
“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称.在 2023 年火爆“出圈”后，“村超”热度不
减.2024 年 1 月 6 日，万众瞩目的 2024 年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发
起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”.为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调
查，分别抽取年龄超过 35 周岁和年龄不超过 35 周岁各 200 人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给
出满意或不满意的评价.设事件 A = “游客对“村超”满意”，事件 B = “游客年龄不超过 35 周岁”，据统计，
4 8
PAB = ， PBA = .
5 15
（1）根据已知条件，填写下列 2 2 列联表并说明理由；
满意度
年龄 合计
满意 不满意
年龄不超过 35 周岁
年龄超过 35 周岁
合计
（2）由（1）中 2 2 列联表数据，依据小概率值a = 0.01的独立性检验，能否认为游客对“村超”的满意度与
年龄有关联？
2
2 n() ad- bc
附： c = .
a+ b c + d a + c b + d
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.（本小题满分 15 分）
uuur1 uuur uuur 1 uuur
如图，在正四校锥 P- ABCD 中， AC BD = O,, PF = AD PE = DC ，已知 AB = 2 ， PC = 3，其中
2 2
GH, 分别为 BC, CD 的中点.
（1）证明： EG FH ；
（2）求二面角 E-- PC F 的正弦值.
18.（本小题满分 17 分）
y2
已知双曲线 C: x2 - = 1，过点 P1,1 的直线 l 与双曲线 C 相交于 AB, 两点.
4
（1）点 P 能否是线段 AB 的中点？请说明理由；
uuur uuur uuur uuur
（2）若点 AB, 都在双曲线 C 的右支上，直线 l 与 x 轴交于点 Q ，设 PA=l AQ,, PB = m BQ l m R ，求
m l
+ 的取值范围.
l m
19.（本小题满分 17 分）
差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产
*
生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列an n N ，规定an 为数列an 的一阶差分
2 2
数列，其中 an= a n+1 - a n ；规定 an为an 的二阶差分数列，其中 an= a n+1 - a n .如果an 的一
*
阶差分数列满足 ai a j i,, j N i j ，则称an 是“绝对差异数列”；如果an 的二阶差分数列满
2 2 *
足 ai= a j i, j N ，则称an 是“累差不变数列”.
（1）设数列 A:1,3,7,9,13,15 ，判断数列 A 是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；
2 * 2
（2）设数列an 的通项公式 an =2 n + n n N ，分别判断an, a n 是否为等差数列，请说明理
由；
*
（3）设各项均为正数的数列cn 为“累差不变数列”，其前 n 项和为 Sn ，且对 n N ，都有
n
2 2
Dck = D c n+1 ，对满足 n+ m =2 k m n 的任意正整数 n,, m k 都有 cm c n ，且不等式 Sn+ S m >tS k 恒
k =1
成立，求实数 t 的最大值.
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