绝密启用前
2024年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
2
1．已知集合 A= x N | x - 2 x - 3 0 ， B={ x R | log2023 x 0}，则 ABI =
A． (0,1 B．[0,1] C．{1} D．
1
2．已知 = 1 ，则 =
1 i i ||
A． 2 B． 2 C．2 D．1
2
r r
3．若直线l 的一个方向向量u = 1,0,1 ，平面a 的一个法向量n =0, - 1,1 ，则l 与a 所成角为
2 5
A． B． C． 或 D． 或
6 3 3 3 6 6
4．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀，85 分以下为非优秀统计
成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀 总计
甲班 10 b
乙班 c 30
合计
附：
2
P(K k0) 0.05 0.025 0.010 0.005
k0 3.841 5.024 6.635 7.879
数学（理科）试卷 第1 页（共6 页）
2
已知在全部 105 人中随机抽取1 人，成绩优秀的概率为 ，则下列说法正确的是
7
A．列联表中c 的值为 30，b 的值为 35
B．列联表中c 的值为 15，b 的值为 50
C．根据列联表中的数据，若按 97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按 97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
r r
5．已知向量 a = (1,2) ，b=( - 4, t ) ，则
r r r r
A．若 a b ，则t = 8 B．若 a^ b ，则t = 2
r r r r
C．若|a+ b | = 5，则t = 2 D．若 a 与b 的夹角为钝角，则t< 2
6．将顶点在原点，始边为 x 轴非负半轴的锐角a 的终边绕原点逆时针转过 后，交单位圆
4
3
于点 P- , y ，那么 cosa 的值为
5
2 2 7 2 9 2
A． B． C． D．
10 5 10 10
7．贺兰山岩画公园不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图1是岩画公园
风景优美的公园地图，其形状如一颗
爱心．图 2 是由此抽象出来的一个“心
形”图形，这个图形可看作由两个函数
的图象构成，则“心形”在 x 轴上方的图
象对应的函数解析式可能为
A． y= x4 - x2 B． y= x4 - x2
C． y= - x2 + 2 x D． y= - x2 + 2 x
8．已知 AB-2,0 , 2,0 ，点 P 满足方程 nx my =0( m >0, n >0) ，且有 PA- PB = 2 ，
n
则 的取值范围是
m
A．( 0, 1) B． (0, 3) C． (1, 3) D． ( 3,2)
*
9．若数列an 满足 a1 = -1，则“m ， n N ， am+ n= a m a n ”是“an 为等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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10．若经过点a, b可以且仅可以作曲线 y= ln x 的一条切线，则下列选项正确的是
A． a 0 B． b= ln a C． a= ln b D． a 0 或 b= ln a
11．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得 分，有选
错的得 分，部分选对的得 分．若选项中有 其中 个选项符合题目要求，
随机作答该题时 至少选择一个选项 所得的分数为随机变量 其中 ，则
有
A． B．
C． D．
12．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终
保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技
人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的
棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体 ABCD 的棱长
为 2，则下列说法正确的是
A．勒洛四面体 ABCD 被平面 ABC 截得的截面面积是8 - 3
B．勒洛四面体 ABCD 内切球的半径是 4- 6
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为 2 - 2 3
6
D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 2 -
3
二、填空题：本小题共4 小题，每小题5 分，共 20分.
13．记 VABC 的内角 ABC,, 的对边分别为 a,, b c ，若 asin C= 3 c cos A，则角 A ________.
14．甲、乙、丙、丁、戊 5 名学生进行某种劳动技能比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次.甲、
乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：
“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5 人的名次排列共可能有________种不同的
情况.（用数字作答）
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15．斜率为 k 的直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A，B 两点，与圆（x-5）2+y2 =9 相切于点 M，
且 M 为线段 AB 的中点，则 k=________.
p 8
16．已知函数 f x = asin x + b cos x ab 0 的图象关于 x = 对称，且 f x = a ，
6 0 5
p
则 的值是
sin 2x0 + ________.
6
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17．(12 分)
已知数列an 的首项 a1=2，且 (n +1)an-1 - nan = 0 (n2)．
（1）求数列an 的通项公式；
2 3
（2）若数列 2 的前 n 项和为Tn ，证明：Tn< ．
an 2
18．(12 分)
已知菱形 ABCD 边长为1，
AC = 3 ，以 BD 为折痕把
ABD 和CBD 折起，使点
A 到达点 E 的位置，点 C 到
达点 F 的位置， E ， F 不重合.
（1）求证： BD ^ EF ；
3
（2）若 EF = ，求点 B 到平面 DEF 的距离.
2
19．(12 分)
某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让
它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝
宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以
持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司
研究部门从流水线上随机抽取 100 件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制
频率分布直方图（如图 1）：
数学（理科）试卷 第4 页（共6 页）
产品的性能指数在50,70 的适合小小班幼儿使用（简称 A 类产品），在70,90 的适合
小班和中班幼儿使用（简称 B 类产品），在90,110 的适合大班幼儿使用（简称 C 类产品），
A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件 1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这 100 件产品的
性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该公司为了解年营销费用 x （单位：万元）对年销售量 y （单位：万件）的影响，
对近 5 年的年营销费用 xi ，和年销售量 yi i =1,2,3,4,5 数据做了初步处理，得到的散点图
（如图 2）及一些统计量的值.
5 5 5 5 2
ui ui ui-- uu i u ui - u
i=1 i=1 i=1 i=1
16.30 24.87 0.41 1.64
1 5 1 5
表中ui= ln x i ，ui= ln y i ，u= ui ，u= ui .
5 i=1 5 i=1
根据散点图判断， y= a xb 可以作为年销售量 y （万件）关于年营销费用 x （万元）的
回归方程.
（i）建立 y 关于 x 的回归方程；
（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达
到最大？（收益=销售利润-营销费用，取 e4.159 = 64 ）.
参考公式：对于一组数据u1,,,,,,u 1 u 2 u 2 L un u n ，其回归直线u= a + bu 的斜率和截
n
ui-- uu i u
距的最小二乘估计分别为 b = i=1 ，
n 2 a = u - bu .
ui - u
i=1
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20．(12 分)
y2 x 2
已知 O 为坐标原点，椭圆 C:+ = 1 a >b >0 的上焦点 F 是抛物线 x2 = 4 2 y
a2 b 2
MN 6
的焦点，过焦点 F 与抛物线对称轴垂直的直线交椭圆 C 于 MN, 两点，且 = ，
OF 3
过点 P2 b2 ,0 的直线l 交椭圆 C 于 AB, 两点．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
的
（2）若点 E-1,0 ，记APE 面积为 S1, BPE 的面积为 S2 ，求 SS1 2 的取值范
围．
21．(12 分)
1
已知函数 f x =ex - 3 x ，其中 a 0 ．
a
（1）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围；
（2）若 f x a1 - 2sin x ，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的
第一题记分.
22．[选修44：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 = 2 + 2cos，（ 为参数），以原点
1 = 2sin
4
为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为2 =
2 1 3sin2.
(1)求曲线1的极坐标方程以及曲线2的直角坐标方程；
(2)若直线: = 与曲线1、曲线2在第一象限交于，，且|| = ||，点的直角
坐标为(1,0)，求 的面积．
23．[选修 4-5：不等式选讲]
已知 a,, b c 均为正实数，函数 f x = x -4 a + x + 9 b + c 的最小值为 4．
(1)求证： ab+ bc + ca 9 abc ；
(2)求证： 6ab+ 3 bc + 2 ca 4 ．
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银川一中 2024 届高三第一次模拟数学(理科)参考答案 综上所述： y= - x2 + 2 x 与图象相符，C 正确；
2
．【答案】 由 解得 1x 3， 2 2
1 C x-2 x - 3 0 , - 对于 D，由 -x +2 x 0 得： 0x 2 ，\y = - x + 2 x 不存在 x - 2,0 部分的图象，D 错误.故
A = 0,1,2,3
又因为 x N ，所以 ， 选：C.
又由 log2023 x 0 ，可得 log2023x log 2023 1，解得 0 所以 B={ x R | 0< x 1}，所以 ABI = {1}， 【详解】由题意，点 AB-2,0 , 2,0 且满足 PA- PB = 2 ， 2．由 = = + i，得 = ( + i) = i，则 = i，所以 = .故选：C. AB, i i || 根据双曲线的定义，可得点 P 的轨迹表示以 为焦点的双曲线C 的右支， 3．A 其中 2a= 2,2 c = 4 ，可得 a =1,c = 2 ，则b= c2 - a 2 = 3 ， 4．【答案】C【解析】 由题意知，成绩优秀的学生数是 30，成绩非优秀的学生数是 75，所以c b 105 （10 3020 45）2 可得双曲线C 的渐近线方程为 y= x = 3 x ， 20，b45，选项A、B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2 a 55 50 30 75 n 又因为点 P 满足方程 nx my =0( m >0, n >0) ，即 y= x ， 6.109>5.024，因此有 97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”． m 5.【答案】B n n r r 【解析】对于 A，若 a b ，则有1t = - 4 2 ，所以t = - 8 ，A 错误； 结合双曲线的几何性质，可得 0<< 3 ，即 的取值范围是 (0, 3) .故选：B. r r m m 对于 B，若 a^ b ，则有 -4 + 2t = 0 ，所以t = 2，B 正确； 9.【答案】A r r r r 2 对于 C， a+ b =( - 3, t + 2) ，所以|a+ b | = 9 + ( t + 2) = 5 ，解得t = 2或t = -6 ，C 错误； * a= a a a= -1 a 解：“m ， n N ， m+ n m n ”，取 m =1，则 n+1 n ， r r r r r r 若 a 与 b 的夹角为钝角，则 a b = -4 + 2 t< 0 ，即t< 2 ，且 a 与 b 不能共线且反向， \{}a 为等比数列． r r r r n 由 A 选项可知，当t = - 8 时，b= -4 a ，此时 a 与 b 共线且反向， 反之不成立，{}a 为等比数列，设公比为 q q 0 ，则 a= - qm+ n -1 ， r r n m+ n 所以若 a 与 b 的夹角为钝角，则t< 2 且t -8 ，D 错误，故选:B. m-1 n - 1m +n - 2 am an = - q - q = q ，只有 q = -1 时才能成立满足 am+ n= a m a n ． 6．【答案】A * 2 \数列{}an 满足 a1 = -1，则“m ， n N ， am+ n= a m a n ”是“{}an 为等比数列”的充分不必要条 3 2 4 【详解】由点 P 在单位圆上，则- +y =1，解得 y = ， 件． 5 5 10.【答案】D 3 4 3 4 1 1 由锐角a 0, ，即a + , ，则 y = ，故 cosa+ = - ,sin a + = ， 设切点 P x,ln x ．因为 y= ln x ，所以 y = ，所以点 处的切线方程为 y-ln x = x - x ， 2 4 4 4 5 4 5 4 5 0 0 P 0 0 x x0 3 2 4 2 2 cosa= cos a + - = cos a + cos + sin a + cos = - + = .故选 A. 1 a 又因为切线经过点a, b，所以 b-ln x0 = a - x 0 ，即 b+1 = ln x0 + . 4 4 4 4 4 4 5 2 5 2 10 x x 7.【答案】C 0 0 a a 【分析】利用基本不等式可求得 2 ，知 错误；由 x -2,0 时， 2 令 f x =ln x + ( x >0) ，则 y= b +1与 f x =ln x + ( x >0) 有且仅有 1 个交点， y= x4 - x 2 A y= x4 - x< 0 x x 2 1 a x- a 可知 B 错误；根据 y= - x +2 x 1、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知 C 正确；根 f x = - = ， x x2 x 2 据函数定义域可知 D 错误. f x >0 f x x + f() x + 2 当 a 0 时， ( ) 恒成立，所以 单调递增，显然 时， ，于是符合题意； x2+4 - x 2 2 2 2 2 2 f() x x>a f() x 【详解】对于 A，Q y= x4 - x = x 4 - x = 2 （当且仅当 x=4 - x ，即 当 a >0 时，当 0 2 f( x )min = f a = ln a + 1 ，则 b+1 = ln a + 1 ，即 b= ln a ．综上， a 0 或 b= ln a ．故选：D 时取等号）， x = 2 11. 【答案】B \y = x4 - x2 在-2,2 上的最大值为 2 ，与图象不符，A 错误； 12.【答案】C 对 A 选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公 对于 B，当 x - 2,0 时， y= x4 - x2< 0 ，与图象不符，B 错误； 式即可得到答案，而 A 选项的截面积为 C 选项的最大截面积，对 B 选项 对于 ， 2 2 ，\当 时， y =1； 需要利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径 C Q y= - x +2 x = - x - 1 + 1 x = 1 max 6 又 y= - x2 + 2 x 过点-2,0 , 2,0 , 0,0 ； 为 ，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径，而此半径即为该勒洛 2 2 由 -x +2 x 0 得： x x -2 0 ，解得： -2 x 2 ，即函数定义域为-2, 2 ； 四面体的能够容纳的最大球的半径，即可判断 D 选项. 2 1 3 3 又 2 ， SSSS= - +3 =-+=- 22 2 2 3 2 2 2 2 3 - -x +2 - x = - x + 2 x 【详解】对于 A 截 扇形ABC VVABC ABC 2 3 4 4 \ y= - x2 + 2 x 为定义在-2, 2 上的偶函数，图象关于 y 轴对称； 故A 错误，截面示意图如下： 对于 B，由对称性知,勒洛四面体 ABCD 内切球球心是正四面体 ABCD 的内切球、外接球球心O , 2 2 当 x 0,2时， y= - x +2 x = - x - 1 + 1 ，则函数在 0,1 上单调递增，在 1,2 上单调递减； 如图： 1 2 2 3 正BCD 外接圆半径OB = 2 cos30o = ,正四面体 ABCD 的 p p 2 2 1 由于函数的图象关于 x = 对称，所以 f = a + b ， 3 3 6 6 2 6 高 2 2 ,令正四面体 ABCD 的外接球半径为 R , AO1= AB - O 1 B = 1 3 3 即 a+ b = a2 + b 2 ，化简得 b= 3 a ， 2 2 2 2 2 2 6 2 3 6 在 RtV BOO1 中, RR= - + ，解得 R = , 3 3 2 p 8 p 4 所以 ，即 ， f x0 = asin x 0 + 3 a cos x 0 = 2 a sin x 0 + = a sinx0 + = 此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示： 3 5 3 5 图中取正四面体 ABCD 中心为O ,连接 BO交平面 ACD 于点 E ，交 AD 所以 6 p 2 p p 2 p p 7 于点 F ，其中 与ABD 共面，其中 BO即为正四面体外接球半径 R = ，设勒洛四面体内切 2 ， AD sin 2x0+= sin 2 x 0 +-=- cos 2 x 0 += 2sin x 0 +-= 1 2 6 3 2 3 3 25 6 故选： 球半径为 r ，则由图得 r= OF = BF - BO =2 - ，故 B 错误； C. 2 17. （1） nan= n +1 a n-1 ， 对于 C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体 an a n-1 a1 某三个顶点的截面，由对 A 的分析知 S =2p - 2 3 ，故 \ = ，且 =1， 截 max n+1 n 2 C 正确； a a n n a n1 n N * 对于 ，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的 个 \数列 是以每一项均为1的常数列，则 =1，即 n = + ； D 4 n +1 n +1 弧面都相切,即为勒洛四面体内切球,所以勒洛四面体 ABCD 能 2 2 2 1 1 \ =< = - 6 （2）由（1）得 an = n +1， 2 2 ， 够容纳的最大球的半径为 2 - ，故 D 错误.故选：C． an n +1 n n+2 n n + 2 2 11111 11 11 13 13. \<-+-+-++-T 1 =+- 1 -< . n 3 2 4 3 5L n n+ 2 2 n + 1 n + 2 2 14.54 （ ）证明：菱形 中， ，设 ， 交于点 ，连接 ， ， 由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名， 18. 1 ABCD AC^ BD AC BD O EO FO 则 ， ，又 ， 平面 ， 平面 ， 先排乙，有第二、三、四名 3 种情况， EO^ BD FO^ BD EOI FO= O EO EOF FO EOF 再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有 3 种情况， 所以 BD ^ 平面 EOF ；又 EF 平面 EOF ，所以 BD ^ EF ； 其他三名同学排在三位置全排列有 A3 种， 1 3 3 （2）因为菱形 ABCD 边长为 ， ，所以 ，则 3 1 AC = 3 OE= OF = OA = OC = AC = 由分步乘法计数原理可知共有3 3 A3 = 54 种，故答案为：54 . 2 2 2 2 2 x1+ x 2 = 2 x 0 , y1= 4 x 1 , BD=2 AB - OA = 1 ， 15. 【详解】设 A（x ，y ），B（x ，y ），M（x ，y ），则 又 两式相 1 1 2 2 0 0 2 2 2 2 y1+ y 2 = 2 y 0 . y2= 4 x 2 , 3 OE+ OF - EF 1 又 EF = ，所以 cosEOF = = - ，则 EOF =120o ， y1- y 2 4 2 y0 2 2OE OF 2 减得 (y1+ y 2 )( y 1 - y 2 ) = 4( x 1 - x 2 ) ，则 k = = = .设圆心为C（5，0），则kOM= ， x- x y + y y x0 - 5 1 3 3 3 1 2 1 2 0 所以 S= OE OF sin120o = ；在 DEF 中， DE= DF = 1， EF = ， 2 y VOEF V 0 2 2 2 16 2 = -1 x = 3 (x- 5) + y = 9 因为直线 l 与圆相切，所以 ，解得 0 ，代入 得 2 2 2 y0 x 0 - 5 ED+ DF - EF 1 则 cos EDF = = - ， 2 2 2 5 2DE DF 8 y0 = 5, k = = = y0 5 5 3 7 所以 sin EDF = ， p 8 ．先对函数化简变形，然后由题意可得 2 2 ，求得 ，再由 8 16 f = a + b b= 3 a f x0 = a 6 5 1 3 7 所以 S= DE DF sin EDF = ； p 4 VDEF 2 16 可得 ，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果 sinx0 + = 3 5 设点 B 到平面 DEF 的距离为 h ，由题意，VVVB--- DEF= B OEF + D OEF 2 2 1 1 1 1 【详解】因为 f x = asin x + b cos x = a + b sin x +j ， ab 0 即 S h = S OBS + OD = S BD ， 3VVVVDEF 3 OEF 3 OEF 3 OEF b a 其中 sinj = ， cosj = ， S BD 3 21 a2+ b 2 a2+ b 2 则 h =VOEF = 1 = . S 7 7 VDEF 2 根据弦长公式可得 AP BP =1 + k2 2 - x 1 + k 2 2 - x 19.【详解】（1）设每件产品的销售利润为x 元，则x 的所有可能取值为 1.5，3.5，5.5， 1 2 由直方图可得， A ， B ，C 三类产品的频率分别为 0.15、0.45、0.4， 2 2 =1 +k 2 - x1 2 - x 2 = 1 + k 4 - 2 x 1 + x 2 + x 1 x 2 所以， Px =1.5 = 0.15 ， Px =3.5 = 0.45 ， Px =5.5 = 0.4 ，所以随机变量x 的分布列为： 4k2+ 3 - 8 k 2 + 4 k 2 - 3 9 1 + k 2 x 2 1.5 3.5 5.5 =1 +k 2 = 2 ． k+3 k + 3 P 0.15 0.45 0.4 因为VAPE 的面积为 S1, BPE 的面积为 S2 ， 所以， Ex =1.5 0.15 + 3.5 0.45 + 5.5 0.4 = 4 ，故每件产品的平均销售利润为 4 元； -3k b b 设点 E 到直线l 的距离为d ，根据点到直线的距离公式可得 d = ， （2）（i）由 y= a x 得， lny= ln a x = ln a + b ln x ， k 2 +1 令u= ln x ，u = ln y ， c= ln a ，则u =c + bu ， 1 1 5 所以 S1= AP d, S 2 = BP d ， ui-- uu i u 2 2 i=1 0.41 2 2 2 由表中数据可得，b =5 = = 0.25 ， 9k + 1 2 1.61 12 1 -3k 81k 81 3 u- u 因此 S== S AP BP d ==-1 ， i 1 2 22 2 2 i=1 4 4k+ 3k +1 4 k + 3 4 k + 3 24.87 16.30 则 c =u - bu = -0.25 = 4.159 ，所以，u =4.159 + 0.25u ， 2 2 81 3 81 5 5 因为 0 1 4k + 3 16 1 4.159 4 4.159 即 lny = 4.159 + 0.25ln x = ln e x ，因为 ，所以 4 ， e = 64 y = 64 x 81 3 9 从而 ， 0< 1 -2< 1 4k + 3 4 故所求的回归方程为 y= 64 x 4 ； 1 9 1 4 所以 SS 的取值范围是 0, ． （ii）设年收益为 z 万元，则 4 ，设 4 ， f t =256 t - t ， 1 2 z= Ex y - x =256 x - x t= x 4 则 f t =256 - 4 t3 = 4 64 - t 3 ，当t 0,4 时， f t >0 ， f( t) 在0,4 单调递增， 1 3x ．【解析】（ ）由 有两个零点，得方程 有两个解， 21 1 f x = x 当t4 , +时， f t< 0 ， f( t) 在 4,+ 单调递减， a e z 3x 3 1- x 所以，当t = 4，即 x = 256 时， 有最大值为 768， 设 r x = ，则 r x = ， 即该厂应投入 256 万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大 768 万元. ex ex 由 r x >0 ，可得 x<1， r x 单调递增，由 r x< 0 ，可得 x >1， r x 单调递减， 20.【小问 1 详解】 3 因为 x2 = 4 2 y 的焦点坐标为 0, 2 ，所以 F 0, 2 ， 所以 r x 的最大值为 r 1 = ，当 x + 时 r x 0 ，当 x - 时， r x - ， e 2b2 2b2 MN 6 b2 3 所以可得函数 r x 的大致图象， 所以 MN=, OF = c = 2 ．因为 = ，所以 a 6 ，化简可得 = ， a OF 3 = a 3 1 3 e 2 3 所以 0<< ，解得 a >， a e 3 y2 又 a2- b 2 = c 2 = 2 ，解得 a2=3, b 2 = 1，所以椭圆 C 的标准方程为 +x2 =1． 所以， f x 有两个零点时， a 的取值 3 e 【小问 2 详解】由（1）可知 P2,0 ，可知过点 P 的直线l 的斜率存在且不为 0， 范围是 ,+ ； 3 设直线l 的方程为 y= k x - 2 ， （2）设 g x = f x - a1 - 2sin x ， y= k x - 2 1 x 2 2 2 2 （ ）即 g x=e - 3 x - a 1 - 2sin x ，则 g x 0 恒成立， 由 2 ，化简可得 k+3 x - 4 k x + 4 k - 3 = 0 ， 3 y 2 a +x =1 3 1 1 由 g0 = - a 0 ， g =e6 - 3 0 ，可得 0 4k 2 4k 2 - 3 a 6 a 6 设 A x,,, y B x y ，则 x+ x = ， x x = ， 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 3 k + 3 k + 3 下面证明当 时， ex - 3x - a 1 - 2sin x 0 * ，即证 ex -x + 2sin x - 1 0 ，