数学
全卷满分 150 分，考试时间 120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
4．本卷命题范围：高考范围．
一选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1 i z 1 i
1. 若复数 z 满足 ，则 z （ ）
A. 2 i B. 2 i C. i D. i
1
2. 已知集合 A {x Zx2 9}, B {1,0, ,2,3}，则 A B 中元素的个数为（ ）
2
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
3. 若 a,b R ，则“ a b ”是“ 3a 3b 2b 2a ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2
4. 函数 f x lnx x 与直线 x y 0 相切于点 A ，则点 A 的横坐标为（ ）
1
A. B. 1 C. 2 D. e
e
0.49
5. 设 a log3 2,b log3 3 3,c log2 2 2,d 2 ，则（ ）
A. a b c d B. d c b a
C. a d b c D. c a d b
6. 在ABC 中，若 a ccosB b ccosA ，则ABC 的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
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7. 如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移 y （单位： cm ）与时间 t （单位： s ）之间的函数关系式是
y Kcost K 0, 0, , ，其中 A0,1, B4,1 ，振幅为 2，则前 3 秒该质点走过
2 2
的路程为（ ）
A. 3cm B. 3cm C. 5 3cm D. 7 3cm
8. 已知点 P 在水平面 内，从 P 出发的三条两两垂直的线段 PQ, PR, PS 位于 的同侧，若 Q, R, S 到 的
1 4 9
距离分别为1,2,3，则 的值为（ ）
PQ2 PR2 PS 2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病 A 真否有关，调查了 400 人，得到如图所示的 2 2 列联表，其中
b 12a ，则（ ）
患疾病 A 不患疾病 A 合计
过量饮酒 3a b
不过量饮酒 a 2b
合计 400
n(ad bc)2
参考公式与临界值表： 2
a bc d a cb d
0.100 0.050 0.010 0.001
x 2.706 3.841 6.635 10.828
A. 任意一人不患疾病 A 的概率为 0.9
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3
B. 任意一人不过量饮酒的概率为
8
24
C. 任意一人在不过量饮酒的 条件下不患疾病 A 的概率为
25
D. 依据小概率值 0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病 A 有关
x2 y2
10. 已知椭圆 : 1(a b 0) 的左，右焦点分别为 F1, F2 ，将 1 上所有点的横坐标与纵坐标分
1 a2 b2
别伸长到原来的 k(k 0,k 1) 倍得到椭圆 2 ，则下列说法正确的是（ ）
b b t
A. 若 t 0 ，则
a a t
B. 若 1,2 的离心率分别为 e1,e2 ，则 e1 e2
C
C. 若 , 的周长分别为 C ,C ，则 C 1
1 2 1 2 2 k
2
F1F2
D. 若 1 的四个顶点构成的四边形面积为 ，则 1 的离心率为 2 2 1
4
11. 将圆柱 O1O2 的下底面圆O1 置于球 O 的一个水平截面内，恰好使得O1 与水平截面圆的圆心重合，圆柱
O1O2 的上底面圆 O2 的圆周始终与球 O 的内壁相接（球心 O 在圆柱 O1O2 内部）．已知球 O 的半径为 3，
3
OO ．若 R 为上底面圆O 的圆周上任意一点，设 RO 与圆柱 O O 的下底面所成的角为 ，圆柱 O O
1 2 2 1 2 1 2
的体积为V ，则（ ）
A. 可以取到 0, 中的任意一个值
2
27
B. V cos2 1 2sin
2
C. V 的值可以是任意小的正数
81
D V
. max 4
三填空题：本题共 3 小题；每小题 5 分，共 15 分．
12. 若 a 5,12,b 3,4 ，则 cos a,b 的值为__________．
13. 如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上下底的面积分别为 4cm2 和 9cm2 ，高为 3cm .现
在搜集到的雨水平面与上下底面的距离相等，则该地的降雨量为______ mm .（降雨量等于集雨器中积水
体积除以集雨器口的面积）
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2
2 2 1 | AC |
14. 若点 A 在抛物线 E : y2 4x 上运动，点 B 在圆 (x 1) y 上运动， C 2,0 ，则 的最小
4 | AB |
值为__________．
四解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明证明过程及演算步骤．
15. 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面为矩形， AB 3AD 3a, AA1 h ， O, E 分别为底面的中
心和 CD 的中点，连接 OE, A1O, A1E, D1B, D1C ．
（1）求证：平面 A1OE 平面 CDD1C1 ；
h 6
（2）若 ，求平面 A1OE 与平面 D1BC 所成角的 余弦值．
a 2
16. 某公司拟从水平相当的普通程序员中篮选出若干高级程序员，方法如下：首轮每位普通程序员被要求设
计难度相同的甲 乙 丙 丁四种程序，假设每位普通程序员每种设计合格的概率都为 1 ，其中四种设计全部
2
合格直接晋升为高级程序员；至少有两种（包括两种）“不合格”的直接被淘汰，否则被要求进行二轮设计：
在 A, B,C 三种难度不同的程序中随机抽取两种进行设计，且抽取的两种设计都合格方可晋升为高级程序
1 1
员．已知每位普通程序员设计 A, B,C 合格的概率分别为1, , ，同一普通程序员不同的设计相互不影响．
2 4
（1）已知 A, B,C 设计合格的得分分别为80,90,100 ，不合格得 0 分，若二轮设计中随机抽取到 B,C 的得
分为 X ，求 X 的分布列和数学期望；
（2）求每位普通程序员晋升为高级程序员的概率．
17. 在平面直角坐标系中，点 FE 的坐标分别为 2 2,0,2 2,0 ，以 F 为圆心作一个半径为 4 的圆，
点 H 是圆上一动点，线段 EH 的重直平分线与直线 HF 相交于点 P ．
（1）求 P 的轨迹 的方程；
（2）已知 A2,0 ，点 Q 是轨迹 在第一象限内的一点， R 为 QA 的中点，若直线 OR 的斜率为 5 ，
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求点 Q 的坐标．
x k ln x 1 kx
18. 已知函数 f x ,k 2, .
x k
（1）讨论函数 f x 的单调性；
3n
（2）当 n N* 时，求证： ln n 1 .
4
19. 在等差数列an 中，已知 a3 7,a4 ,a5 ,4a2 成等差数列．
（1）求数列an 的通项公式；
a
（2）数列2 n 是否为等比数列？若是求其前 n 项和，若不是，请说明理由；
n 1a 1
n * * q的
（3）设 logqdn 0 q ，且 k N ,n N ,dk dn dk 1 dk 2 ，求 所有取值．
3n 2 2
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2024 届高三年级 TOP 二十名校冲刺一
数学
全卷满分 150 分，考试时间 120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
4．本卷命题范围：高考范围．
一选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1 i z 1 i
1. 若复数 z 满足 ，则 z （ ）
A. 2 i B. 2 i C. i D. i
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数除法法则计算出答案.
1 i i1 i
【详解】因为 1 i z 1 i ，所以 z i ．
1 i 1 i
故选：C．
1
2. 已知集合 A {x Zx2 9}, B {1,0, ,2,3}，则 A B 中元素的个数为（ ）
2
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用列举法表示出集合 A，再求出并集即可得解.
【详解】依题意，解不等式 x2 9 ，得 3 x 3 ， A {x Z 3 x 3} {3,2,1,0,1,2,3}，
1 1
而 B {1,0, ,2,3} ，因此 A B {3,2,1,0,1,2,3, }，
2 2
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所以 A B 中元素的个数为 8．
故选：B
3. 若 a,b R ，则“ a b ”是“ 3a 3b 2b 2a ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
x x
【分析】构造函数 f x 3 2 ，根据函数单调性得到 3a 2a 3b 2b ，故 a b .
【详解】构造函数 f x 3x 2x ，则 f x 在 R 上单调递增，
所以 3a 3b 2b 2a 3a 2a 3b 2b f a f b a b ．
故选：C．
2
4. 函数 f x lnx x 与直线 x y 0 相切于点 A ，则点 A 的横坐标为（ ）
1
A. B. 1 C. 2 D. e
e
【答案】B
【解析】
【分析】设出 A x0 , y0 ，求导，直线 x y 0 的斜率为 1，根据导数的几何意义得到方程，求出横坐标
2
【 详解】设函数 f x lnx x 与直线 x y 0 相切于点 A x0 , y0 ，
直线 x y 0 的斜率为 1，
1 1
f x 2x ，所以 2x0 1，所以 x0 1．
x x0
故选：B．
0.49
5. 设 a log3 2,b log3 3 3,c log2 2 2,d 2 ，则（ ）
A. a b c d B. d c b a
C. a d b c D. c a d b
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得 a,b,c,d 的取值范围，即可求解.
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3 3
【 详解】由 a log 2 log 3 1,b log 3 3 ,c log 2 2 ,1 20 d 20.5 2 ，
3 3 3 2 2 2
3
即1 d 2 ，所以 a d b c ．
2
故选：C．
6. 在ABC 中，若 a ccosB b ccosA ，则ABC 的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
a2 b2 c2 a2 b2 c2
【分析】利用余弦定理将 a c cos B b c cos A 化简为 ，从而可求解.
a b
a2 c2 b2 b2 c2 a2
【详解】由 a c cos B b c cos A ，得 a c b c ，
2ac 2bc
a2 b2 c2 a2 b2 c2
化简得 ，
a b
2 2 2 2 2 2
当 a b c 0 时，即 a b c ，则ABC 为 直角三角形；
2 2 2
当 a b c 0 时，得 a b ，则ABC 为等腰三角形；
综上：ABC 为等腰或直角三角形，故 D 正确.
故选：D.
7. 如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移 y （单位： cm ）与时间 t （单位： s ）之间的函数关系式是
y Kcost K 0, 0, , ，其中 A0,1, B4,1 ，振幅为 2，则前 3 秒该质点走过
2 2
的路程为（ ）
A. 3cm B. 3cm C. 5 3cm D. 7 3cm
【答案】D
【解析】
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2 2
【分析】根据题意，求得 y 2cos t ，分别令 t 、 t 和 t 3 ，求得相应的函数值，进而求
2 3 3 3
得前 3 秒该质点走过的路程，得到答案.
【详解】由函数 y Kcost 的图象，可得 K 2 ，周期为T 4 ，
2
可得 ，所以 y 2cos t ，
4 2 2
1
因为 A0,1 在函数图象上，可得 2cos 1，即 cos ，
2
又因为 , ，所以 ，
2 2 3
因为 t 1时， y 0 ，所以 ，所以 y 2cos t ，
3 2 3
2
令 t k,k Z ，则 t 2k+ ,k Z ，
2 3 3
2 8
故函数图像在 y 轴右侧第一条对称轴和第二条对称轴分别为 t ,t ,
3 3
2 2 8 8
令 t ，则 y 2cos 2 ；令 t ，则 y 2cos 2 ；
3 2 3 3 3 2 3 3
令 t 3 ，则 y 2cos 3 3 ，
2 3
2 2 8 8
所以质点在 0, , , , ,3 的路程分别 2 1 1,2 2 4, 3 2 2 3 ，
3 3 3 3
所以前 3 秒该质点走过的路程为 7 3cm .
故选：D
8. 已知点 P 在水平面 内，从 P 出发的三条两两垂直的线段 PQ, PR, PS 位于 的同侧，若 Q, R, S 到 的
1 4 9
距离分别为1,2,3，则 的值为（ ）
PQ2 PR2 PS 2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】以PQ, PR, PS 为空间的一个基底，由此表示出平面 的单位法向量，再利用数量积的运算律求
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解即得.
【详解】由 PQ, PR, PS 两两垂直，取空间的一个基底PQ, PR, PS ，
设 n 是平面 的一个单位法向量，依题意，可使 n 与 PQPRPS 的夹角都是锐角，
则存在唯一的有序实数组 (x, y, z) ，使得 n xPQ yPR zPS ，
显然 PQ, PR, PS 在 n 方向上的投影向量的长度分别为1,2,3，
1
2 x
于是 n PQ 1 ，即 (xPQ yPR zPS) PQ 1，则 x PQ 1，即 2 ，
| PQ |
2 3 1 2 3
y , z n PQ PR PS
同理 2 2 ，因此 2 2 2 ，
| PR | | PS | | PQ | | PR | | PS |
2
2 1 2 3
而 n 1，所以1 PQ PR PS ，
2 2 2
| PQ | | PR | | PS |
2 2 2
1 2 3
因此 PQ PR PS 1，
2 2 2
| PQ | | PR | | PS |
1 4 9
1
所以 2 2 2 ．
| PQ | | PR | | PS |
故选：A
【点睛】关键点点睛：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决
立体几何问题的关键，解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需
向量．
二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病 A 真否有关，调查了 400 人，得到如图所示的 2 2 列联表，其中
b 12a ，则（ ）
患疾病 A 不患疾病 A 合计
过量饮酒 3a b
不过量饮酒 a 2b
合计 400
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