秘密 启用前
数!学!文科
!!本试卷满分!#$分!考试时间!%$分钟
注意事项#
!&答卷前!考生务必将自己的姓名#座位号和准考证号填写在答题卡上
%&回答选择题时!选出每小题答案后!用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑如需改动!用橡皮擦干净后!再选涂其它答案标号回答非选择题时!将答案
写在答题卡上写在本试卷上无效
'&考试结束后!将本试卷和答题卡一并交回
一$选择题#本题共!%小题%每小题#分%共$分&在每小题给出的四个选项中%只
有一项是符合题目要求的&
!!!在!复!平!面!内!#!!!(!%)!!!(!)!对!应!的!点!位!于!!!!!!!!!!
*!第一象限 +!第二象限 ,!第三象限 -!第四象限
%!设全集.$/'#/%#/!#$#!#%#'集合#.$/%#/!#$#!%#$.$/!#!#'%#则
# !#$$.
*!$'% +!$/'#/!#!#%#'%
,!$/'#/%#$#%#'% -!$/'#%%
'!采购经理指数!012#是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一#具
有较强的预测&预警作用!综合 012产出指数是 012指标体系中反映当期全行业
!制造业和非制造业产出变化情况的综合指数#指数高于#$3时#反映企业生产
经营活动较上月扩张'低于#$3#则反映企业生产经营活动较上月收缩!%$%' 年
我国综合 012产出指数折线图如下图所示(
数学!文科试题!第!! 页!共页
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}
书
根据该折线图判断#下列结论正确的是
*!%$%'年各月综合 012产出指数的中位数高于#'3
+!%$%'年各月#我国企业生产经营活动景气水平持续扩张
,!%$%'年第'月至!%月#我国企业生产经营活动景气水平持续收缩
-!%$%'年上半年各月综合 012产出指数的方差小于下半年各月综合 012产出
指数的方差
4!已知向量!.!%#$#.!!#槡'##.!/'#/槡'#则567)!/##/#*.
!' ' ' ' ' !'
*! +! 槡 ,!/ 槡 -!/
!4 !4 !4 !4
'!
#!已知!%!!#%567(! .%567!#则7)8!.
!%
# % # # % #
*!/槡 +!/ 槡 ,!槡 -! 槡
# # # #
!执行如图所示的程序框图#则输出的%.
*!' +!4 ,!# -!
9!下列各选项对应的函数中#其大致图象是上图所示的一项为
'4('/4
*!&!'.
:'/:/'
'4/'/4
+!&!'.
:'/:/'
'4('/4
,!&!'.
:'(:/'
'4/'/4
-!&!'.
:'(:/'
;!设 ( 为坐 标 原 过点!$的直 线 与 抛 物 线 )(*% .4' 的 交 于 +,两 点#则
' & ' &
(++(,.
*!/4 +!/% ,!$ -!4
数学!文科试题!第!% 页!共页
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}
#!$!)!-! 组合而已知#$.%###!.槡%#.#!.%#则
*!.#!(平面 #$)!-! +!.$!(平面 #$)!-!
,!.)!)平面 $-)! -!.-!)平面 $-)!
!$!给出下述三个结 论( 函 数 &!'.567*'*的 最 小 正 周 期 为 !函数 &!'.
! ! % !
*567%'*在区间 # 单调递增'$函数&!'.567' 的图象关于直线'. 对
!4 % %
称!其中所有正确结论的编号是
*$+$,!$ -!#
'% *%
!!!已知双曲线)( / .!!/+$#0+$的左&右焦点分别为 11%!点# 在) 上#
/% 0%
' & '' & ' & ' &
点 $ 在* 轴上$./#1%#1!#)#$#则) 的离心率为
%
'槡%
*! +!槡% ,!槡' -!槡#
4
0
!%!若关于' 的不等式=8',/''/0'%/!!/-$恒成则的最大值为
/
! % ! %
*! +! ,! -!
:% :% : :
二$填空题#本题共4小题%每小题#分%共%$分&
0'/*(%.$#
!'!若'#* 满足约束条件/%'/*/%,$#则2./''(* 的最小值为!!!!
1%'(*/%.$#
!4!已 知 2#$) 的 三 边 长$.45>#$).%5>##).'5则2#$) 的 面 积 为
!!!5>%!
数学!文科试题!第!' 页!共页
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}
!#!已知函数&!'是定义域为 $的奇函数#且当'3$时#&!'./:/' !若&!=8'.<#
则/.!!!!
!!已知相互垂直的两个平面分别截球 ( 的球得到两个圆(!#(%#其半径分别为
槡
3!#3若(!(%. 3!#3%.槡%3两圆的公共弦的中点为+#设3!.+(!#则.
%
!!!!
三$解答题#共9$分&解答应写出文字说明%证明过程或演算步骤&第!9%%!题为
必考题%每个试题考生都必须作答&第%%$%'题为选考题%考生依据要求作答&
!一必考题#共$分&
!9!!!%分
某公司为改进生产#现对近#年来生产经营情况进行分析!收集了近#年的利润
*!单位(亿元与年份代码 ' 共 # 组数据!其中年份代码 '.!#%#'#4## 分别指
#
%
%$!<%$%$年#,#%$%' 并得 到 如 下 值(*4.9$?## !*% 5*4 4 ##
5%4!
#
!*% 5*4!'% 5'64%#!
5%4!
!!若用线性回归模型拟合变量* 与' 的相关关系#计算该样本相关系数3#并判
断变量* 与' 的相关程度!3精确到$?$!'
!%求变量* 关于' 的线性回归方程#并求%$%4年利润* 的预报值!
附( 槡?#7%?##'
#若*3*.$?9##相关程度很强'$?',*3*3$?9##相关程度一般'*3*,$?'#相关
程度较弱'
7 7 7
$一组数据!'!#*!#!'%#*%#,#!'6#*6#其回归直线*./(0' 的斜率和截距的
6
! 4! 4
5 '% 5' *% 5*
7 %4! 7 4 74
最小 二 乘 估 计 分 别 为0. 6/4 * 50''相 关 系 数 3 4
%
!'% 5'4
%54!
6
! 4! 4
5 '% 5' *% 5*
%4! !
6 6
! 4% + ! 4%
5 '% 5' 5 *% 5*
槡%4! 槡%4!
数学!文科试题!第!4 页!共页
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}
!;!!!%分
8
已知数列$/6%的前6 项和为86#且%86.'/6/6%%!
!!求数列$/6%的通项公式'
6
!%若06.'=6@'/求数列$06%的前6项和96!
!
如在多面体 #$)-:1 四边 形 #$)- 为 矩 形#平
面 1)- ) 平 面 #$)平面 $) 平 面 #$)-#
2#:$#2)1- 是等腰直角三角形且9-1).9$:#.
!
##$.%槡%##-.%!
%
!!证明(平面 #$1(平面)-:'
!%求平面$1与平面)-: 的距离!
%$!!!%分
'% *% 槡'
已知椭圆)( ( .!!/+0+$的 离 心 率 是 #左&右 顶 点 分 别 为 #!##%#点
/% 0% %
!
槡'# 在椭圆) 上'
! %
!!求椭圆) 的方程'
!%若点 . 为直线;('.4上的动直线.#!#%分别交椭圆 ) 于 +,两
点#证明(直线 +, 过定点!
%!!!!%分
已知函数&!'.'=8'//'%/%'!
!!若&!'在!!#(A上单调递求/的取值范围'
!%若&!'有两个不同极值点'!#'%!
求/ 的取值范围'
% '
#当'!+4'% 时#证明('!'%+!: !
数学!文科试题!第!# 页!共页
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}
!二选考题#共!$分&请考生在第%%$%'题中任选一题作答%如果多做%则按
所做的第一题记分&
%%!-选修4/4(坐标系与参数方程.!!$分
在直角坐标系'(* 中#:) 的圆心为)!%#%#半径为以坐标原点( 为极点#'
轴正半轴为极轴建立极坐标系!
!!求:) 的极坐标方程'
!%过点 ( 的直线交:) 于.#< 两点#求*(.*(*(<*的最大值!
%'!-选修4/#(不等式选讲.!!$分
已知函数&!'.*%/'*(%*'(%*!
!!若对任意'%$#使得&!'./%/'/ 恒成求/的取值范围'
! ! 4
!%令&!'的最小值为 +!若正数/#0#=满足 ( ( .+#求证(/(0(=.4!
/ 0 =
数学!文科试题!第! 页!共页
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}
文科数学参考解答及评分参考
一!选择题
!!#答案$#
#解析$由!!$%&!!$&'(!$)&%对应的点位于第二象限%选择 #*
#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计复数运算问题%主要考查复数的乘法运算%复
数的几何意义等基础知识&数形结合思想%考查数学运算等数学核心素养'
%!#答案$+
解析$由#'((%%(!%%!%))%所$!#'(()%%)%所以选项 + 正确!
#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计集合运算问题%主要考查集合的并集%补集运
算等基础知识&考查运算求解能力%数学运算等数学核心素养'
)!#答案$#
解析$根据图表可知%各月,-.的中位数小于/)0%1 错误&%%)年各月%%%) 年我国综合
,-.产出指数均大于/0%表明我国企业生产经营活动总体持续扩张%2 错误%# 正确&%%)
年上半年各月 ,-.比下半年各月 ,-.的波动大%则方差也大%故 + 错误!
#考查意图$本小题设置数学应用情境%主要考查统计图表的应用等基础知识%考查概率统计等
思想方法%考查数据分析等数学核心素养'
3!#答案$1
#解析$由!('!%%(!()%(槡)'!/%槡)%#('!!%槡)(!()%(槡)'!3%%槡)%所以
!!(,!#( !/%)!3%% ) !)
456*!(%#(+' ' 槡 槡 ' !
$!($$#($ 槡%7, 槡%7 !3
#命题意图$本小题设置课程学习情境%设计平面向量运算问题%主要考查向量的坐标运算%数
量积%夹角公式等基础知识&考查运算求解能力%数形结合思想%考查数学运算-直观想象等数
学核心素养'
/!#答案$#
%槡/
#解析$6&8!'%456!%即9:8!'%%而!%!!%%!%从而6&8!'( !
/
#命题意图$本小题设置课程学习情境%设计三角恒等变换求值问题%主要考查诱导公式%同角
三角函数关系等基础知识&考查化归与转化思想%数学运算-逻辑推理等数学核心素养'
数学!文科试题答案 第!! 页!共!页
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}
书
;!#答案$2
#解析$%'!%%!'%'!
%'%%%%'3&%
%')%%)'7&)
%'3%%3'!;&3
%'/%%/')%'/
#命题意图$本小题设置课程学习情境%设计程序框图问题%主要考查乘方与乘法运算%数据的
大小比较%循环条件的程序框图运算等基础知识&考查运算求 解 能 力%数 据 处 理 能 力%应 用 意
识&考查数学运算-逻辑推理等数学核心素养'
=!#答案$2
#解析$根据图象可知%&!'的图象关于( 轴对称%&!'为偶函数%且&!''!对于 1%#%均满
足&!(''(&!'%&!'为奇函数%不合题意&对于选项 2 和 +%&!(''&!'%&!'为偶函
'3('(3
数%当&'&!时%&!'' ' (' &%+ 选项不符题意%可验证 2 项满足条件!
>$>
#命题意图$本小题主要考查函数的图象和性质等基础知识%考查化归与转化等数学思想%考查
数学抽象-逻辑推理-直观想象等数学核心素养'
7!#答案$1
% %
解析$设)!'!%(!%*!'%%(%%直线 )* 的 方 程 为.''+($%%联 立 方 程 ( '3' 得%( (
%
!(!(% ) ( ) (
3+((7'%故(!(%'(7%'!'%' '3%从而,),,*''!'%$(!(%'(3%故选 1*
!;
#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计直线与抛物线相交问题%主要考查抛物线的弦
与向量运算%抛物线方程等基础知识&考查运算求解能力%化归与转化思想%方程思想%应用意
识%考查数学抽象-逻辑推理-数学运算等数学核心素养'
?!#答案$2
解析$如图%因为-! '-.! '%%!.! '%槡%%,.'..! '槡%%
!
在平面 ..!-! 中 有 *-!.! ' *!.!,' *.!,.' %所
3
以 -!+,.!%-!+平面/.!%-!不平行于平面 #.!/!&
同理 -#!+,/!%!不平行于平面 #.!/!&易得 -,'%槡%%
-.!'.!,'%%所以 -.!,.!,%又 -.!,#/%#/-.!,',%所
以 -.!,平面 #/.!!
#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计正四棱柱与正四棱锥的组合体问题%主要考查
空间线线平行%线面垂直的判定等基础知识&考查运算求解能 力%空 间 想 象 能 力%推 理 论 证 能
力%化归与转化思想&考查直观想象-逻辑推理等数学核心素养'
数学!文科试题答案 第!% 页!共!页
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}
!!#答案$#
解析$对于由 &!''456$'$'456'%最小正 周 期为 %!%结 论 不 正确&对 于%由'%
! ! ! ! !
% %有%'% %! %456%'&%此时&!''$456%'$'(456%' 在区间 % 单调递
!3 % !% !3 %
!$456%' ! !
增%结论#正确&对于$%&!''456%'' ' 456%'$ %对称轴由%''0!%0%! 确
% % %
!
定%当0'!时%'' %结论$正确!
%
#命题意图$本小题设置课程学习情境%设计三角函数图象性质问题%主要考查含绝对值的余
弦函数图象%降幂公式%余弦函数的最小正周期%单调区间%图象的轴对称等基础知识&考查逻
辑推理能力%数形结合思想%化归与转化思想&考查数学运算-逻辑推理等数学核心素养'
!!!#答案$+
#解析$设$1%$'%+%则$#$')+%$#1%$'/+%由 于 1!%1% 关 于 ( 轴 对 称%故$#1!$'
) ( ) (
$#1%$'/+%又因为1!,#%所以$1!$'3+%$1!1%$'%槡/+%所以%2'%+%%3'%槡/+%
所以4'槡/%故选 +*
#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计双曲线问题%主要考查双曲线的方程与性质%
焦点弦的性质%向量%双曲线的离心率等基础知识&考查运算求解能力%数形结合思想%应用意
识%考查数学运算-直观想象等数学核心素养'
!%!#答案$2
@8'$! 5 @8'$!
#解析$依题意%2.%''%不 等式化为 % /2 '( !设 &!'' % %则 &6!''
' ! 2 '
!
,'%(%'!@8'$!
!
' (!(%@8' ( %
3 ' ) %当 '% !%>时%&6!''%&!'单 调 递 增&当 '%
' '
! !
( (
!>% %$A时%&6!'&%&!'单调递减%所以%&!'在 ''>% 处取得极大值%也即最大值
!
>( % @8'$! 5 5
!又''>时%&!''!由题知不等式 % /2 '( 恒成立%所以('2 '( 的
% ' ! 2 ! 2
5 5
图象恒在&!'的图象的上方%显然2&不符题意&当2'时% 为直线('2 '( 的横
2 ! 2
! 5
截距%其最大值为&!'的横截距%再令&!''%可得'' %且当直线('2 '( 与&!'
>! 2
! 5 !
在点 % 处相切时%横截距 取得最大值!此时%切线方程为('>) '( %2'>)%5'>%%
!>2 ! >
5 !
所以 取得最大值为 !
2 >
数学!文科试题答案 第!) 页!共!页
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}
#命题意图$本小题设置课程学习情境%主要考查导数的应用等基础知识%考查化归与转化等
数学思想%考查数学抽象-逻辑推理-数学运算-直观想象等数学核心素养'
二!填空题
!)!#答案$(;
解析$作出约束条件表示的可行域为以!3%;%#!%%%.!!%三点为顶点的.及其
内部%作出直线()'$('并平移%当直线(')'$7 经过点!3%;时%在( 轴上的截距最
小%此时目标函数7'()'$( 取得最小值7B&8'()<3$;'(;!
#命题意图$本小题设置课程学习情境%设计简单的线性规划问题%主要考查不等式组的解法%
约束条件表示的可行域%直线平移及几何意义等基础知识&考 查运 算 求 解 能 力%数 形 结 合 思
想%化归与转化思想&考查数学运算-直观想象等数学核心素养
) !/
!3答案$槡
3
#%$.%.%3%$)%(%% = !/
解析$由余弦定 理 有 456' ' ' %所 以 6&8' 槡 %所 以
,.%<3<) 7 7
! ! 槡!/ )槡!/
.的面积8' #,.,6&8'<3<)< ' !
% % 7 3
#命题意图$本小题设置课程学习情境%设计解三角形问题%主要考查余弦定理%同角间的三角
函数关系%三角形面积等基础知识&考查数形结合思想%化归与转化思想&考查数学运算-逻辑
推理等数学核心素养'
!/!#答案$(%
#解析$函数&!'是 定 义 域 为 的 奇 函 数%且 当 '& 时%&!'' (>2' %由 于@8)'%所 以
(2
&!@8)'(&!(@8)'>(2@8)'>@8) ')(2'?%所以2'(%!
#命题意图$本小题设置课程学习情境%主要考查函数奇偶性等基本性质-考查化归与转化等
数学思想&考查数学抽象-逻辑推理-数学运算等数学核心素养'
槡;
!;解析$如图%设 ,,! ',%) '9%,) ',!,% ' :!%则 在
%
) % % % % %
0,!), 中% :! ' ),! $9 %在 0,%)* 中%%:! '9 $
%
%
% % :! % %
)* %两式相 减%得 )* ' $),!%在 0,!)* 中%:! '
%
%
% % % :! %
)* $),!%所以:!' $%),!%可得'%!
%
#命题意图$本小题设置数学课程学习情境%设计球与截面问
数学!文科试题答案 第!3 页!共!页
{#{QQABbYaEgggAAoBAABhCAwUiCAOQkAAACAoOBEAAoAAAiBNABAA=}#}