数 学（ 文科）
． 本试卷包括第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 页。全卷满分 分，考试
时间 分钟。
． 答第卷时，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其它答案标号；答第卷时，用． 毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工
整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
． 考试结束后，监考员将答题卡收回。
第卷（选择题，共 分）
一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分． 在每个小题所给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的． ）
．
集合 ， 的子集个数是
． ． ． ．
． 珋
已知是虚数单位， ，则
． ． ． ． 槡
． 珗 珒 珗珒
已知向量 （， ）， （ ， ），若 ，则 的值为
． ． ．
． 三个不互相重合的平面将空间分成 个部分，则 的最小值与最大值之和为
． ．
． ．
． 如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为
．
．
．
．
． 在等比数列 中， 为其前 项和，若 ， ，则 的值为
． ．
． ．
．
设 、 是椭圆： 的两个焦点，点在椭圆上，若 为直角三角形，则
的面积为
． 槡 ． ． ． 槡
或槡 槡 或
． 口袋中装有质地和大小相同的 个小球，小球上面分别标有数字，，，，，，从中任取两
个小球，则两个小球上的数字之和大于 的概率为
． ． ． ．
高三三模考试数学（文科）试卷第 页（共 页）
{#{QQABAYCUogggAIBAABgCQQ3CCAGQkAEACAoGBFAMMAABSRNABAA=}#}{#{QQABCYS95ggwgITACB5qQU22CAiQkJKgLEoMAVCGqAwDCZNABIA=}#}
． 已知正方体 的棱长为，点、、 分别为棱、 、 的中点，则平
面 截正方体所得截面的面积为
． 槡 ． ． ．
槡 槡 槡
．
若函数（） 有两个零点，则实数的取值范围为
． （，） ． （， ） ． （，） ． （， ）
．
已知双曲线： （ ， ），以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆
与双曲线的一条渐近线交于、 两点，若 ，则双曲线的离心率为
． ． ． 槡 ． 槡
槡 槡
． 已知函数（）的定义域为，对， 都有（ ）（ ） （ ） （ ）成
立，若（），则（）
． ． ． ．
第卷（非选择题，共 分）
二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分． ）
． 已知函数（） ，则函数（）在 处的切线方程为 ．
，
． 已知实数， 满足 ，则 的最大值为 ．
{ ．
，，
． 若函数（） 是奇函数，则 ．
{ ， ．
．
在 中，角的平分线 与 边相交于点，若 ，则 的最小值为
．
三、解答题（本大题共 小题，共 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第
题为必考题，每个试题考生都必须作答，第、 题为选考题，考生根据要求作答． ）
． （本小题满分 分）
年 月 日至 日（正月初一至初八），“内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”
在川南大草原举行，共举行了 场精彩的烟花秀节目． 前 场的观众人数（单位：万人）与场次的统
计数据如表所示：
场次编号
观众人数 ． ． ． ．
（）已知可用线性回归模型拟合 与 的关系，请建立 关于 的线性回归方程；
（）若该烟花秀节目分、、 三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场 位
观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将 列联表补充完整，并判断能否有
的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买 等票与性别有关．
高三三模考试数学（文科）试卷第 页（共 页）
{#{QQABAYCUogggAIBAABgCQQ3CCAGQkAEACAoGBFAMMAABSRNABAA=}#}{#{QQABCYS95ggwgITACB5qQU22CAiQkJKgLEoMAVCGqAwDCZNABIA=}#}
购买 等票 购买非 等票 总计
男性观众
女性观众
总计
参考公式及参考数据：回归方程 中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为
珋 珋
（ ）（ ）
珋 珋 （ ）
， ， ，其中 ．
珋 （ ）（ ）（ ）（ ）
（ ）
（ ） ． ． ．
． ． ．
． （本小题满分 分）
已知等差数列 的公差为，且 ， ， 成等比数列，数列 的前 项和为 ，
且 （）．
（）求数列 、 的通项公式；
（）设 （ ），求数列 的前 项和 ．
． （本小题满分 分）
如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，且 ， ，
槡，平面平面．
（）求证：平面平面；
（）若 与平面 所成的角为，求三棱锥
的体积．
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． （本小题满分 分）
．
已知函数（） （ ），
（）若（） 恒成立，求 的取值集合；
．
（）证明： … （ ）
． （本小题满分 分）
已知抛物线 的准线方程为： ，过焦点 的直线与抛物线 交于、 两点，分别过、
两点作抛物线 的切线，两条切线分别与 轴交于、 两点，直线 与抛物线 交于、 两点，
直线 与抛物线 交于、 两点．
（）求抛物线 的标准方程；
．
（）证明： 为定值
请考生在第， 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 作答时，用 铅笔
将所选题号涂黑．
． （本小题满分 分）
，
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，
槡．
{
．
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 槡
（）求曲线 和 的普通方程，并指出曲线 和 所表示的曲线类型；
槡
（）若曲线 和 交于点、，点在曲线 上，且 的面积为 ，求点的直角坐
标．
． （本小题满分 分）
已知函数（） ．
（）求不等式（） 的解集；
（）将函数（）的图象与直线 围成的封闭图形的面积记为，若正数、、 满足
，求证： 槡 槡．
槡
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内江市高中 届第三次模拟考试
数学（ 文科） 参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分． ）
． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分． ）
． ． ． ． 槡
三、解答题（本大题共 小题，共 分）
． 珋 !!!!!!!!!!!!!!!!!!
解：（）由表格知 ， 分
． ． ． ．
珋 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
， 分
珋
所以（ ） （ ） （ ） ，
珋 珋
（ ）（ ） （ ） （ ． ） （ ） （ ． ） ． ． ． ，
珋 珋
（ ）（ ）
．
则 ． ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
珋
（ ）
． ． ， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
故 关于 的线性回归方程为 ． ． ． !!!!!!!!!!!!!!!!! 分
（）依题意，补充 列联表如下：
购买 等票 购买非 等票 总计
男性观众
女性观众 !!!!!!!!!!! 分
总计
（ ）． ． !!!!!!!!!!!!!!!!!
分
故没有 的把握认为该节目的观众是否购买 等票与性别有关． !!!!!!!! 分
． 解：（）依题意，设等差数列 的首项为 ，因为 ， ， 成等比数列，
所以 （ ）（ ），又 ，即（ ） （ ）（ ），解得 ， ! 分
故 （ ） （ ） ， !!!!!!!!!!!!!!!!! 分
由已知 （），
故 ，
两式相减，得 （），!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
又 ，解得 ，所以 ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故 !!!!!!! 分
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（）由（）得 （ ） ，故 … （ ） ，
则 … （ ） !!!!!!!!!!!!!! 分
两式相减得 （ … ） （ ） !!!!!!!!!! 分
（ ） !!!!!!!!!!!
（ ） 分
（ ） ， !!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
故 （ ） !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
． 解：（）证明：取 的中点，连接．
， ． !!!!!!!!!!!!!! 分
又平面平面，平面平面 ，平面
，
平面． !!!!!!!!!!!!!!!! 分
又平面，
． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
底面 是直角梯形，且
， ．
又， ，
平面． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
又平面，
平面平面． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
．
（）取 的中点，连接 、 ，则 ，
四边形 是平行四边形，则．
又平面， 平面，则 是 与平面 所成的角，
即 ， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
在 中，易知 槡 槡． !!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
在直角梯形 中，易知 槡， ， ，
槡 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
槡 槡， 分
在 中， 槡 槡，
． 槡!!!!!!!!!!!!!!!!!!
是等边三角形从而 分
槡 槡．
（ 槡）
槡!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
故所求三棱锥 的体积为 分
． 解：（）由题可知函数（）的定义域为 ，
（） ，
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当 时，（） ，（）递减，
当 时，（） ，（）递增，
（） （） ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
由已知（） 恒成立，所以 ，（， ）．
!!!!!!!!!!!!!!!!!
令（） ，则（） ， 分
当 时，（） ，（）递增，
当 时，（） ，（）递减，
（） （） !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
又 （，），（） （） ，
（， ），（） （） ，
，故 的取值集合为． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
!!!!!
（）由（）可知，当 时，（） ，即 ， ， 分
（ ） （当 时，“ ”成立），令 （ ），
!!!!!
（ ） ，则（ ） ，即（ ） ， 分
故（ ） （ ） ， （ ） （ ） ，…， （ ） （ ） ，
!!!!!!!!!!!!
由累加法可得（ ） …， 分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
即 … 分
． !!!!!!!!!!!!!
解：（）因为准线为： ，设 ，则 分
所以
故抛物线 的标准方程为 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
（）证明：易知抛物线 的焦点（，），
设直线 的方程为 ，（ ， ）、（ ， ），联立 可得 ，
{
由韦达定理可得 ， ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
接下来证明抛物线 在点 处的切线方程为 ，
联立 可得 ，即 ，即（ ） ，
{
所以，直线 与抛物线 只有唯一的公共点，
所以， 的方程为 ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
同理可知，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点（， ）， !!!!!! 分
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同理可得点（， ），所以，直线 的方程为 ，
即 ，
设点（ ， ）、（ ， ），联立 ，可得 ，
{
由韦达定理可得 ， ， !!!!!! 分
所以， （ ） （ ）
，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
同理可得 ，
（ ） （ ）
所以，
（ ）（ ）
（ ） （ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ）
（ ）
（ ）
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
故 为定值 分
，
． 解：（）将曲线 的参数方程 （ 为参数）中的参数消去，
槡．
{
槡 !!!!!!!!!!!!!!!!!!
得 的普通方程为（ ） （ ） ， 分
槡 !!!!!!!!!!!!!!!!
所以曲线 表示以（， ）为圆心，为半径的圆 分
将 ， 代入曲线 的极坐标方程 槡 ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
得曲线 的直角坐标方程为 槡 ， 分
槡 ． !!!!!!!!!!!!!!!
所以曲线 表示经过点（ ，），且斜率为 的直线 分
槡
槡
（）由（）得圆心到直线 的距离为 ，
所以 槡 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
槡
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槡
设点（ ， ），
（ ）
槡 ．
则点到直线 的距离
（ ）
槡 槡． !!!!!!!!!!
因为 的面积为 ，所以 槡 分
所以 （ ） ，则 （ ） 或 （ ） （舍去），
所以 ，或 ， ，所以 或 ， ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
槡!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
点的直角坐标为（ ，槡）或（， ） 分
． （）由 可得 ，!!!!!!!!!!!!!!! 分
即 （ ） ，解得 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
所以不等式的解集为 ， ） !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 分
，
（）（） ， ，其函数图象如下图，由图可
{ ，
!!!!!!!!!!!!
知： （ ） ， 分
又因为、、均为正数，则 槡 槡
!!!!!!!!
（当且仅当 时，等号成立） 分
即槡（槡 槡），即 槡 槡 !!!!!!! 分
槡
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