高二数学
注意事项：
1．本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120
分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答
题卡上，写在本试卷上无效．
第卷（选择题）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1． a 1,1,2,b 0,1,1,c 3,5,k ，若 a,b,c 共面，则实数 k 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．某学生的 QQ 密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生
在登录 QQ 时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对
密码的概率为（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
10 5 5 2
3．水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛．规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判．每局比赛结
束时，负方在下一局比赛中担任裁判．如果第 1 局甲担任裁判，则第 3 局甲还担任裁判的概率为（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
4．两平行平面 a, 分别经过坐标原点 O 和点 A2,1,1 ，且两平面的一个法向量 n 1,0,1 ，则两平面
间的距离是（ ）
3 2
A． B． C． 3 D． 3 2
2 2
5．袋子中装有 5 个形状和大小相同的球，其中 3 个标有字母 a,2 个标有字母 b ．甲先从袋中随机摸一个
球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲、乙两人摸到标有字母 a 的球的概率分别为
p1, p2 ．则（ ）
A． p1 p2 B． 2 p1 3p2
C． p1 3p2 D． 2 p1 p2
1
6．已知事件 A, B 互斥，它们都不发生的概率为 ，且 P A 2PB ，则 P A （ ）
7
1 3 5 6
A． B． C． D．
7 7 7 7
7．在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形， PA 底面 ABCD, PA 6 ，点 G 在侧棱
PB 上．且满足 2PG GB ，则异面直线 PC 和 DG 的距离为（ ）
3 14 3 15 3 21 3 77
A． B． C． D．
14 15 7 77
P A PBA
．托马斯 贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式： i i ，这
8 P Ai B n
P A P BA
j1 j j
n
个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中 称为 的全概率．春夏换季是流行性
P Aj PB Aj B
j1
感冒爆发期，已知 A, B,C 三个地区分别有 3%,6%,5% 的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是
9 : 8 : 5 ，现从这三个地区中任意选取 1 人，若选取的这人患了流感，则这人来自 B 地区的概率是
（ ）
A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．）
3
9．对于函数 f x ex x 1 ，下列说法错误的是（ ）
A． f x 有最小值但没有最大值
B．对于任意的 x ,1 ，恒有 f x 0
C． f x 有两个零点
D． f x 有两个极值点
10．“新高考”后，普通高考考试科目实行“3+1+2”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化
学、生物学这 4 门科目中选择 2 门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这 4 门科目中任意挑选 2 门科目
学习．记事件 A 表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件 B 表示“甲、乙两人都选择了生物学”，
事件 C 表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件 D 表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则
（ ）
3
A． B 与 C 相互独立 B． P AD
5
1 11
C． PBD D． PB D
5 12
11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案
（如图 1）把三片这样的达芬奇方砖拼成图 2 的组合，这个组合再转换成图 3 所示的几何体．若图 3 中每
个正方体的棱长为 1，则（ ）
A． QC AD 2AB 2AA1
34
B．异面直线 CQ 与 AD 所成角正弦值为
1 6
19
C．点 P 到直线 CQ 的距离是
3
D． M 为线段 CQ 上的一个动点，则 ME MC 的最大值为 3
第卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
i
1
12．设随机变量 的分布列为 P i a ,i 1,2,3 ，则 a 的值为______．
2
13．写出曲线 y ln x 过坐标原点的切线方程：______，______．
14．已知四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面是正方形， AB 4, AA1 4 2 ，点 B1 在底面 ABCD 的射影为
BC 中点 H ，则直线 AD1 与平面 ABCD 所成角的正弦值为______．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．）
15．（本题满分 13 分）
已知口袋中有 2 个白球和 4 个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取 1 个．
（1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；
（2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求两次至少有一次取得白球的概率；
（3）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率
16．（本题满分 15 分）
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， D, E 分别是 AB, BB1 的中点，已知 AB 2, AA1 AC CB 2
．
（1）证明： BC1平面 A1CD ；
（2）求 D 到平面 A1CE 的距离．
17．（本题满分 15 分）
在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”
P ABCD 中，侧棱 PD 底面 ABCD ，且 PD CD ．
（1）若 PB 4 ，试计算底面 ABCD 面积的最大值；
（2）过棱 PC 的中点 E 作 EF PB ，交 PB 于点 F ，连 DE, DF, BD ，若平面 DEF 与平面 ABCD 所
成锐二面角的大小为 ，
3
DC
（i）证明： PB 平面 DEF （ii）试求 的值．
BC
18．（本题满分 17 分）
教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平
而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源
匮乏的问题，某市教育局拟从 5 名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分 3 批次进行，
每次支教需要同时派送 2 名教师，且每次派送人员均从这 5 人中随机抽选．已知这 5 名优秀教师中，2 人
有支教经验，3 人没有支教经验．
（1）求 5 名优秀教师中的“甲”，在第一批次支教活动中就被抽选到的概率；
（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数 X 的分布列；
（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
19．（本题满分 17 分）
对于函数 y f x 的导函数 y f x ，若在其定义域内存在实数 x0 和 t ，使得
f x0 t t 1 f x0 成立，则称 y f x 是“跃点”函数，并称 x0 是函数 y f x 的“ t 跃
点”．
（1）若函数 y sinx m x R 是“ 跃点”函数，求实数 m 的取值范围；
2
（2）若函数 y x2 ax 1 是定义在 1,3 上的“1 跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1 跃
点”，求实数 a 的取值范围；
（3）若函数 y ex bx x R 是“1 跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1 跃点”，求实数 b 的取值
范围．
兰州一中 2023—2024—2 学期 5 月月考试题参考答案
高二数学
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C B A B A C
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．全部选对的得 6 分，部分选对的得
部分分，第 10 题答对一个选项得 2 分；第 9、11 题答对一个选项得 3 分，有选错的得 0
分．）
题号 9 10 11
答案 CD BCD BD
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
8 1 1 7
12． ； 13． y x, y x ； 14．
7 e e 4
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．）
2 2 1
15．（1）采取放回的方法，两次都取得白球的概率 P ；
6 6 9
4 3 3
（2）采取不放回的方法，两次至少有一次取得白球的概率 p 1 ；
6 5 5
（3）记事件 A ：第一次取出的是红球；事件 B ：第二次取出的是红球，
45 2 43 2
则 P A , P AB ，
65 3 65 5
P AB 2 3 3
利用条件概率的计算公式，可得 PBA ．
P A 5 2 5
16．（1）证明：连接 AC1 交 A1C 于点 F ，则 F 为 AC1 中点，连接 DF ，又 D 是 AB 中点，则 BC1DF
，
DF 平面 A1CD, BC1 平面 A1CD ，
BC1平面 A1CD ；
（2）如图，以点 C 为原点，射线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正半轴，
建立空间直角坐标系，
2 2
CD , ,0
2 2
平面 A1CE 的一个法向量为 n 2,1,2
3 2
CD n
2 2
D 到平面 ACE 的距离 d ．
1 n 4 1 4 2
17．（1）设 PD CD x, AD y ，
由已知可知 2x2 y2 16 ，而底面 ABCD 的面积为 xy ，
1 1 2x2 y2
则由均值不等式，可知 S xy 2x y, 4 2 ，
ABCD 2 2 2
当且仅当 2x y 时等号成立；
（2）如图，以点 D 为原点，射线 DA, DC, DP 分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正半轴，
建立空间直角坐标系，
（i）设 PD DC 1, AD ，则 D0,0,0, P0,0,1, B,1,0,C 0,1,0 ，
1 1 1 1
所以 PB ,1,1 ，由于 E 是 PC 的中点，则 E 0, , ，故 DE 0, , ，
2 2 2 2
于是 PB DE 0 ，即 PB DE ，
又已知 EF PB ，而 DE EF E ，
所以 PB 平面 DEF ；
（ii）由（i） PB ,1,1 是平面 DEF 的一个法向量，
而因为 PD 平面 ABCD ，所以 DP 0,0,1 是平面 ABCD 的一个法向量，
由已知平面 DEF 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小为 ，
3
BP DP 1 1 DC 1 2
则 cos ，解得 2 ，所以 ．
3 BP DP 2 2 2 BC 2
DC 2
故当平面 DEF 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小为 , ．
3 BC 2
C1C1 2
．（ ） 名优秀教师中的“甲”在第一批次支教活动中就被抽选到的概率； 1 4 ．
18 1 5 p 2
C5 5
（2） X 表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数， X 的可能取值有 0，1，2．
C2 1 C1 C1 6 C2 3
2 ； 2 3 ； 3 ．
P X 0 2 P X 1 2 P X 2 2
C5 10 C5 10 C5 10
所以分布列为：
X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
（3）设 表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数， 可能的取值有 0,1,2 ，则有：
2 2 1 1 2 2 2
C2 C2 C2 C3 C3 C3 C4 37
P 0 2 2 2 2 2 2 ,
C5 C5 C5 C5 C5 C5 100
2 1 1 1 1 1 1 2 1 1
C2 C2C3 C2 C3 C2C3 C3 C4C1 54
P 1 2 2 2 2 2 2 ,
C5 C5 C5 C5 C5 C5 100
2 2 1 1 2 2
C2 C3 C2 C3 C2 C3 9
P 2 2 2 2 2 2 0 ,
C5 C5 C5 C5 C5 100
因为 P 1 P 0 P 2 ，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是 1 人．
19、【解析】（1）函数 y sinx m 的导函数为 y cosx ，
因为函数 y sinx m, x R 是“ 跃点”函数，
2
则方程 有解，即 有解，
sin x0 m 1cosx0 m cosx0
2 2 2
而 cosx0 1,1 ，因此 m , ，解得 m , ，
2 2 2 2
所以实数 m 的取值范围是 , ．
2 2
（2）函数 y x2 ax 1, x 1,3 的导函数为 y 2x a ，
2 2
依题意，方程 x0 1 a x0 1 1 22x0 a ，即 x0 a 2 x0 a 2 0 ，
在 1,3 上有两个不等实根，
令 h x x2 a 2 x a 2, x 1,3 ，因此函数 h x 在 1,3 上有两个不同零点，
a 22 4a 2 0
h 1 2a 5 0
5 5
则 h3 2a 5 0 ，解得 a 2 或 2 a ，
2 2
a 2
1 3
2
5 5
所以实数 a 的取值范围是 ,2 2,
2 2
（3）函数 y ex bx, x R 的导函数为 y ex b ，
因为函数 y ex bx, x R 是“1 跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1 跃点”，
ex0 1 2ex0
则方程 x0 1 x0 ，显然 ，所以 在 上恰有一个实数根，
e b x0 1 2e b x0 1 b R
x0 1
ex1 2ex e 2ex e 2ex x 2
令 g x ，求导得 g x ，
x 1 x 1 x 12
由 g x 0 ，得 x 2 ；由 g x 0 ，得 x 2 且 x 1, g 2 e2 e 2 ，
于是函数 y g x 在 ,1 上单调递减， g x 0 恒成立，函数 y g x 的取值集合是 ,0 ，
2
在 1,2上单调递减，函数 y g x 的取值集合是 e e 2, ，
2
在2,）上单调递增，函数 y g x 的取值集合是 e e 2, ，函数 y g x 的图象，如图，
当 b,0 e2 e 2 时，直线 y b 与函数 y g x 的图象有唯一公共点，
ex1 2ex
即方程 b 恰有一个实数根，从而 b0, e2 2 e ，
x 1
所以 b 的取值范围为 0, e2 2 e ．