数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的
5 1
2 倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的 ,女性喜爱足球的人数占女性人数的 ,若本次调查得出“在犯错误的概率不
6 3
超过 0.005 的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（ ）人
2
nad bc
2
a bc d a cb d
a 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xa 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．10 B．11 C．12 D．13
x2 2ax, x 1
2．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的增函数，则 a 的取值范围是（ ）
(3 a)x 2, x 1
A．1,3 B．1,2 C．2,3 D． 0,3
3．下列求导运算正确的是（ ）
2
A．sinx sin cosx sin B． (3x 1) 2 3x 1
6 6
1
． x x ．
C 2 2 D log2 x
xln2
4．为了研究某班学生的脚长 x （单位厘米）和身高 y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量
10 10
y
数据的散点图可以看出 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 y bx a ．已知 xi 225 ，yi 1600 ，
i1 i1
b 4 ．该班某学生的脚长为 24 ，据此估计其身高为
A．160 B．163 C．166 D．170
x2
2 1 ,x 0 2
5．已知函数 f x ，若关于 x 的方程 f (x) mf (x) 2 0 恰有 6 个不同的实数根，则 m 的取值范
log2 x , x 0
围是（ ）
11 11 11 11
A． , 3, 2 2 B．( , 2 2 C． , ( , 2 2 D． 3,2 2
3 3 3 3
答案第 1页，共 14页
4 2
6．已知某家族有 A 、 B 两种遗传性状，该家族某位成员出现 A 性状的概率为 ，出现 B 性状的概率为 ， A 、 B
15 15
7
两种遗传性状都不出现的概率为 ．则该成员在出现 A 性状的条件下，出现 B 性状的概率为（ ）
10
1 3 1 3
A． B． C． D．
4 8 2 4
7．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的
水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，
白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是
又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆
玻璃球落入格子的编号为 X ，则随机变量 X 的期望与方差分别为（ ）
1 1
A． 2, B．2，1 C．3，1 D． 3,
2 2
8．图是底面边长为 2 的正四棱柱，直线 l 经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线l 顺时针旋转 45 ，得图，
若BEF 为正三角形，则图所示几何体外接球的表面积为（ ）
A． (8 2 2) B． (8 4 2) C．12 D．16
二．多选题（共 3 小题，每题 6 分，共 18 分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部
分选对得 3 分，有选错的得 0 分。）
9．总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年
都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均 GDPx（单位：万元）
和总和生育率 y 以及女性平均受教育年限（z 单位：年）的关系，采用 2012~2022 近十年来的数据xi , yi , zi i 1,2,10
2 2
绘制了散点图，并得到经验回归方程 z 7.54 0.33x ， y 2.88 0.41x ，对应的决定系数分别为 R1 ， R2 ，则（ ）
答案第 2页，共 14页
A．人均 GDP 和女性平均受教育年限正相关．
B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关
2 2
C． R1 R2
D．未来三年总和生育率一定继续降低
10．甲箱中有 3 个黄球2 个绿球，乙箱中有 2 个黄球3 个绿球（这 10 个球除颜色外，大小形状完全相同），先从
甲箱中随机取出 2 个球放入乙箱，记事件 A，B，C 分别表示事件“取出 2 个黄球”，“取出 2 个绿球”，“取出一黄一
绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件 D 表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（ ）
A．A，B 是对立事件 B．事件 B，D 相互独立
16 1
C． P D D． P CD
35 35
1 1
11．已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 3 f 2024， f x f x 2 ，且 f ，则（ ）
2 4
A． f x 的最小正周期为 4 B． f 2 0
2024 1
C．函数 是奇函数 D． k f k 2024
k 1 2
三．填空题（共 3 小1 题，每题 5 分，共 15 分。）
1 2
x x2
12．已知直线 l 分别与曲线 f x ln x ， g x e 相切于点 x1,ln x1 ， x2,e ，则 的值为 .
x1 x2 1
2 3
13．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数： f1(x) x ， f2 (x) x ， f3 (x) x ，
f4 (x) sin x ， f5 (x) cos x， f6 (x) 2 | x | 1 ．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，
若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为 X，则 X 3的概率为 ．
14．已知函数 f x x3 ax2 b 在 x 2 时取得极大值 4，则 a b ．
四．解答题（共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过
的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可
1 1
获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为 ，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为 ，通过第
2 3
答案第 3页，共 14页
1
二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为 .
2
(1)求学生小杰获得奖品的概率；
(2)已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；
(3)求学生小杰通过的比赛轮数 X 的分布列与数学期望.
1
16．如图， AE 平面 ABCD ， E, F 在平面 ABCD 的同侧， AE//DF ， AD//BC ， AD AB ， AD AB BC 1.
2
(1)若 B, E, F,C 四点在同一平面内，求线段 EF 的长；
(2)若 DF 2AE ，平面 BEF 与平面 BCF 的夹角为 30o ，求线段 AE 的长.
3 a
17．已知函数 f (x) ln x .
x 2x2
(1)若 a 0 ，求 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
f x1 f x2 3
(2)若 x1, x2 x1 x2 是 f (x) 的两个极值点，证明： .
x1 x2 2a
18．已知在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PAD 是正三角形，E、F、M、O 分别是 PC 、
PD 、 BC 、 的中点， PO 平面 ABCD ．
(1)求证： EF PA ；
(2)求点 B 到平面 的距离；
3 3
(3)在线段 PA 上是否存在点 N，使得直线 MN 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求线段 PN 的长度，若
14
不存在，说明理由．
19．2023 年 11 月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有 16 个学科 900 多
项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师
建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走
出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘
到.假设小明在果园中一共会遇到 n 颗番石榴（不妨设 n 颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个
答案第 4页，共 14页
位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前
k(1 k n) 颗番石榴，自第 k 1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一
颗.设 k tn ，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为 P .
(1)若 n 4, k 2 ，求 P ；
(2)当 n 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 P 的最大值及 P 取最大值时 t 的值.
1 1 1 n
（取 ln ）
k k 1 n 1 k
数学答案
1．C【详解】设被调查的男性为 x 人,则女性为 2x 人,依据题意可得列联表如下表:
男性 女性 合计
5x 2x 3x
喜爱足球
6 3 2
x 4x 3x
不喜爱足球
6 3 2
合计 x 2x 3x
2
5x 4x 2x x
3x
6 3 3 6 2x
2 ,
3x 3x
x 2x 3
2 2
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,所以有
2x
2 7.879,即 7.879 ,
3
解得 x 11.8185 ,又因为上述列联表中的所有数字均为整数,故 x 的最小值为 12.
x2 2ax, x 1
2．B【详解】因为 f (x) 是定义在 R 上的增函数，
(3 a)x 2, x 1
2a
1
2
所以 3 a 0 ，解得1 a 2.
1 2a 3 a 2
答案第 5页，共 14页
1
． 【详解】 ， 2 ， x x ， log x
3 D sinx sin cosx 0 cos x (3x 1) 2 3x 1 3 6 2x 1 2 2 ln 2 2 .
6 xln2
4．C【详解】由已知 x 22.5, y 160 ,
a 160 4 22.5 70, y 4 24 70 166 ， 故选 C.
x2
2 1 , x 0
5．A【详解】根据 f x ，作出 f x 的大致图象如下：
log 2 x , x 0
由图可知：当 f x 0 时，此时由两个根，分别为 2,1，
当 0 t 1时，此时 f x t 有 4 个交点，
当1 t 3 时，此时 f x t 有 3 个交点，
当 t 3 时，此时 f x t 有 2 个交点，
2
故要使得 f (x) mf (x) 2 0 由 6 个不同的零点，则令 f x t ， t 2 mt 2 0 有 6 个不同的实数根，
2
f x 0 显然不是 f (x) mf (x) 2 0 的根，
2
设 g t t mt 2 的两个零点分别为 t1,t2 ，且 t1 t2 ，
故当 0 t1 1,t2 3时，此时 f x t1 有 4 个交点， f x t2 有 2 个交点，满足题意，
g 0 2 0
11
故需要满足 g 1 3 m 0 ，解得 m ，
3
g 3 11 3m 0
当1 t1 t2 3时，此时 f x t1 有 3 个交点， f x t2 有 3 个交点，满足题意，
m
1 3
2
2
故需要满足 m 8 0 ，解得 3 m 2 2 ，
g 1 3 m 0
g 3 11 3m 0
11
综上可得 3 m 2 2 或 m
3
6．B【详解】记事件 E :该家族某位成员出现 A 性状，事件 F :该家族某位成员出现 B 性状，
4 2 7 3
则 PE ， PF ， P E F ，则 P E F 1P E F ，
15 15 10 10
答案第 6页，共 14页
1
又因为 P E F P E P F P EF ，则 P EF P E P F P E F ，
10
P EF 1 15 3
故所求概率为 P F E .
P E 10 4 8
1
7．C【详解】白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了 4 次，向左或向右的概率均为 ，
2
1
则向左的次数服从二项分布 B 4, .
2
4 4
因为 4 1 1 3 1 1 ，
P(X 1) C4 , P(X 2) C4
2 16 2 4
4 4 4
2 1 3 1 1 1 0 1 1 ，
P(X 3) C4 , P(X 4) C4 , P(X 5) C4
2 8 2 4 2 16
1 1 3 1 1
所以 E(X ) 1 2 3 4 5 3，
16 4 8 4 16
1 1 3 1 1
D(X ) (1 3)2 (2 3)2 (3 3)2 (4 3)2 (5 3)2 1.
16 4 8 4 16
8．A【详解】
如图，设正四棱柱的上下底面中心分别为点 M , N ,过点 M 作 MH EF 于点 H ，连接 BH , BN ，
3
依题意，易得直角梯形 MNBH ,因BEF 为边长为 2 的正三角形,则 BH EF ，且 BH = 2 = 3 ,
2
又 MH 1,BN 2 ，则 MN ( 3)2 ( 2 1)2 2 2 .
2 2 2
设该几何体外接球球心为点 O ,半径为 R ,则点 O 为 MN 的中点，则OM ,
2 2
2
在 RtOME 中， R2 OM 2 ME 2 2 ,
2
2
于是该几何体外接球的表面积为 4R2 4( 2) (8 2 2) .
2
9．AB 【详解】由回归方程 z 7.54 0.33x 知人均 GDP 和女性平均受教育年限正相关，故 A 正确；因为 z 7.54 0.33x ，
y 2.88 0.41x ，
z 7.54
可得女性平均受教育年限 z 和总和生育率 y 的关系式为 y 2.88 0.41 ，
0.33
所以女性平均受教育年限 z 和总和生育率 y 负相关，故 B 正确；
2 2
由散点图可知，回归方程 z 7.54 0.33x 相对 y 2.88 0.41x 拟合效果更好，所以 R1 R2 ，故 C 错误；
答案第 7页，共 14页
根据回归方程 y 2.88 0.41预测，未来总和生育率预测值有可能降低，
但实际值不一定会降低，故 D 错误．
10．ABD【详解】对于 A，事件 A，B 不能同时发生，但能同时不发生，故 A，B 是互斥事件，但不是对立事件，
故 A 错误；对于 B，事件 B 发生与否，影响事件 D，所以事件 B，D 不是相互独立事件，故 B 错误；
对于 C， P D P A P D A P B P D B P C P D C
2 1 2 1 1 1 1
C3 C4 C2 C2 C2C3 C3 16
2 1 2 1 2 1 ，故 C 正确；
C5 C7 C5 C7 C5 C7 35
1 1 1
C2C3 C3 9
对于 D， P CD P C P D C 2 1 ，故 D 错误.
C5 C7 35
11．AB【详解】对于 A，因为 f x 1 f x 3 f 2024，
所以 f x f x 2 f 2024 ， f x 2 f x 4 f 2024，
所以 f x 4 f x ，故 f x 的最小正周期为 4，A 正确；
对于 B，因为 f x 1 f x 3 f 2024，
令 x 2021，则 f 2022 f 2024 f 2024 ，
所以 f 2022 0 ，
由 A 可知， f 2022 f 4505 2 f 2 0，故 B 正确；
对于 C， 因为 f x f x 2 ，
令 x 0 ，则 f 0 f 2 0，
所以 f 2024 f 4506 f 0 0 ，
所以 f x f x 2 f 2024 0，
由，所以 f x f x 0 ，即 ，故 f x 为奇函数，
=
若函数 是奇函数，则 f x 1 f x 1 ，
1
所以 f x 1 f x 1 f x 1 ，即 f x 1 f x 1 ，
所以 f x 2 f x 1 1 f x 1 1 f x ，
所以 f x 的最小正周期为 2，与选项 A 矛盾，故 C 错误；
1 1 1 1
对于 D，因为 f x 为奇函数，且 f ，所以 f ，
2 4 2 4
答案第 8页，共 14页
7 1 1
又因为 f x 的最小正周期为 4，所以 f f ，
2 2 4
因为 f x f x 2
3 1 1 1 5 3 3 1
所以 f f 2 f ， f f f ，
2 2 2 4 2 2 2 4
4 1 1 3 5 7 1 1 1 1
所以 k f k 1 f 2 f 3 f 4 f 1 2 3 4 1 ，
k 1 2 2 2 2 2 4 4 4 4
8 1 9 11 13 15
k f k 5 f 6 f 7 f 8 f
k 5 2 2 2 2 2
1 3 5 7
5 f 6 f 7 f 8 f
2 2 2 2
1 1 1 1
5 6 7 8 1，
4 4 4 4
以此类推，
2024 1
所以 k f k 506 1 506 ，故 D 错误.
k 1 2
12．1
1
【详解】由 f x ln x ， g x ex ，有 f x ， g x ex ，
x
1
f x 在点 x1,ln x1 处的切线方程为 y ln x1 x x1 ，
x1
x2 x2 x2
g x 在点 x2,e 处的切线方程为 y e e x x2 ，
1
ex2
x2 x2
则有 x1 ，得 ln x1 1 ln e 1 x2 1 e 1 x2 ，
x2
ln x1 1 e 1 x2
x 1 x 1 x 1 2 2 2 1 2
所以 e 2 2 2 1 1 ，可得 1.
x1 1 x2 1 x2 1 x 2 x2 1 x1 x2 1
13． /0.8
4
5
2
【详解】易判断 f2 x x ， f5 x cos x ， f6 (x) 2 | x | 1为偶函数，所以写有偶函数的卡片有 3 张， X 的取值范
围是1,2,3,4．
C1 1 C1C1 3
3 3 3
P X 1 1 ， P X 2 1 1 ，
C6 2 C6C5 10
1 3 8 4
所以 P X 3 P X 1 P X 2 ．
2 10 10 5
14． 3
【详解】由题意可知 f x 3x2 2ax ，
答案第 9页，共 14页
f 2 4a b 8 4
因为函数 f x x3 ax2 b 在 x 2 时取得极大值 4，所以 ，
f 2 12 4a 0
a 3
解之得 ，
b 0
检验，此时 f x 3xx 2，令 f x 0 x 0或 x 2 ，
令 f x 0 0 x 2 ，
a 3
即 f x 在 ,2,0,上单调递增，在 2,0 上单调递减，即 满足题意，
b 0
故 a b 3.
7 3 17
15．(1) (2) (3)分布列见解析， .
24 7 24
【详解】（1）记事件 Ai ：学生通过第 i 轮，事件 Bi ：学生通过第 i 轮就选择奖品离开，
事件 Ci ：学生通过第 i 轮且继续答题，i 1,2,3），
1 1 2 1 1 1 1
由题意得 P A , P B | A , P C | A , P A | C , P B | A ， P C | A , P A | C .
1 2 1 1 3 1 1 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2
记事件 B ：学生获得奖品.则 B B1 B2 B3 ，
1 1 1
P B P A B P A P BA ，
1 1 1 1 1 1 2 3 6
1 2 1 1 1
P B P A P CA P AC P BC ，
2 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 2 12
1 2 1 1 1 1
P B P A P CA P AC P CA P AC ，
3 1 1 1 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 24
1 1 1 7
P B P B P B P B .
1 2 3 6 12 24 24
（2）学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：
1 1
P B B P B B P B P B
2 3 2 3 12 24 3
P B2 B3 B .
P B P B 7 7
24
（3）由题意，随机变量 X 可取 0,1,2,3，
1
可得 P X 0 P A1 ， P(X 1) P A1B1 C1A2 P A1B1 P C1A2
2
1 1 1 2 1 1
P A1 P B1 A1 P A1 P C1 A1 P A2 C1 ，
2 3 2 3 2 3
1 2 1 1 1 1
P X 3 P A PCA P AC PCA P AC ，
1 1 1 2 1 2 2 3 2 2 3 2 2 2 24
1 1 1 1
P X 2 1 P X 0 P X 1 P X 3 1 ，
2 3 24 8
答案第 10页，共 14页