数学
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考场/座位号用 0.5 毫米黑色签字笔填
写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”.
2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后
再填涂其他答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区
域答题的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求.
1 i 2 2 1 i
1. 已知 i 为虚数单位，则 的值为（ ）
A. 4 B. 2 C. 0 D. 4i
2. 已知集合 A x 1 x 2， B x a x a 1 ，则“ a 1”是“ A B ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
x2 y2
3. 若双曲线 E ： 1a 0,b 0 的一条渐近线的斜率为 3 ，则 E 的离心率为（ ）
a2 b2
A. 2 2 B. 2 C. 3 D. 2
4. 如图，在VABC 中，点 D ， E 分别在 AB ， AC 边上，且 BD DA ， AE 3EC ，点 F 为 DE 中
点，则 BF （ ）
1 3 3 1 3 3 3 3
A. BA BC B. BA BC C. BA BC D. BA BC
8 8 4 2 8 8 8 4
5. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去 200 天的日销售量（单位：kg），将全部数据按
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区间[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成 5 组，得到如图所示的频率分布直方图：
根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是（ ）
A. 图中 a 的值为 0.005
B. 这 200 天中有140 天的 日销售量不低于80 kg
C. 这 200 天销售量的中位数的估计值为85 kg
D. 店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85% 地满足顾客的需要（在100 天中，大约有85 天可以满足顾客
的需求），则每天的苹果进货量应为 91kg
1
6. 函数 f x cosx ex ex ， x 4,4 的图象大致为（ ）
4
A. B.
C. D.
7. 已知正四棱锥 P ABCD 的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为 36 ，若正四棱锥 P ABCD 的
高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为（ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
a 1 a
8 已知 a,b,c 0,4 ，且满足 cos2 ， be2b 1 ， ln c 1 cosc ，则（ ）
. 2 2
A. c a b B. c b a
C. a c b D. a b c
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
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9. 已知函数 f x sinx 3cosx( 0) 的最小正周期为 ，则（ ）
A. f x 的最大值为 2
B. f x 在 , 上单调递增
3 6
C. f x 的图象关于点 ,0 中心对称
6
D. f x 的图象可由 y 2cos2x 的图象向右平移 个单位得到
12
x2 y2
10. 已知椭圆 E : 1 的左顶点为 A ，左、右焦点分别为 F1, F2 ，过点 F1 的直线与椭圆相交于 P,Q
4 3
两点，则（ ）
A. F1F2 1
B. PQ 4
C. 当 F2 , P,Q 不共线时， F2 PQ 的周长为8
D. 设点 P 到直线 x 4 的 距离为 d ，则 d 2 PF1
11. 已知函数 f x x 1ex x ，则下列说法正确的是（ ）
A. f x 的极小值一定小于 1
B. 函数 y f f x 有 6 个互不相同的零点
C. 若对于任意的 ， f x ax 1，则 a 的值为 1
D. 过点 0,2 有且仅有 1 条直线与曲线 = ()相切
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P1,2 ，则 cos2 ________.
{ } * { }
13. 已知数列 满足 a3 5 ， a2n 2an 1， 2an1 an an2 n N ，设 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn ________.
14. 条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到
日 常 生 产 生 活 中 .定 义 ： 设 X ， Y 是 离 散 型 随 机 变 量 ， 则 X 在 给 定 事 件 Y y 条 件 下 的 期 望 为
第3页/共5页
n n P X x，Y y
x i
E X Y y xi P X xi Y y i ，其中 x1, x2 ,, xn 为 X 的所有可
i1 i1 PT y
能取值集合， P X x,Y y 表示事件“ X x ”与事件“Y y ”都发生的概率.某商场进行促销活动，
凡在该商场每消费 500 元，可有 2 次抽奖机会，每次获奖的概率均为 p0 p 1 ，某人在该商场消费了
1000 元，共获得 4 次抽奖机会.设 表示第一次抽中奖品时的抽取次数， 表示第二次抽中奖品时的抽取次
数.则 E 4 ________.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知VABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 sin2 A sin2 B sin2C sinBsinC .
（1）求角 A ；
（2）若 BAC 的平分线交边 BC 于点 D ，且 AD 4 ， b 5 ，求VABC 的面积.
16. 如图，在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC ， AC BC .
（1）求证；平面 PAC 平面 PBC ；
（2）若 AC 5 ， BC 12 ，三棱锥 P ABC 的体积为 100，求二面角 A PB C 的余弦值.
17. 已知函数 f x xlnx ax2 1.
（1）若 f x 在 0, 上单调递减，求 a 的取值范围；
（2）若 a 0 ，证明： f x 0 .
2
18. 甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为 ，乙每次投篮命中
3
1
的概率为 ，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投 2 个球，每投进
2
一个球记1分，未投进记 1分.
（1）求甲在一轮投篮结束后的 得分不大于 0 的概率；
（2）记甲、乙每轮投篮得分之和为 X .
求 X 的分布列和数学期望；
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若 X 0 ，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续 nn 8 轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为Y
，当 n 为何值时， PY 8 的值最大？
2
19. 已知抛物线 C ： y 2 px p 0 的焦点为 F ，过点 F 的直线与 C 相交于点 A ， B ，VAOB 面积的
1 *
最小值为 （ O 为坐标原点）.按照如下方式依次构造点 Fn n N ： F1 的坐标为 p,0 ，直线 AFn ，
2
BFn 与 C 的另一个交点分别为 An ， Bn ，直线 An Bn 与 x 轴的交点为 Fn1 ，设点 Fn 的横坐标为 xn .
（1）求 p 的值；
（2）求数列xn 的通项公式；
（3）数列xn 中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；
若不存在，请说明理由.
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四川省大数据精准教学联盟 2022 级高三第一次统一监测
数学
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考场/座位号用 0.5 毫米黑色签字笔填
写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”.
2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后
再填涂其他答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区
域答题的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求.
1 i 2 2 1 i
1. 已知 i 为虚数单位，则 的值为（ ）
A. 4 B. 2 C. 0 D. 4i
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用复数运算法则及虚数单位的性质，即可求解.
2
【详解】因为 1 i 21 i 1 2i i2 2 2i=2
故选：B.
2. 已知集合 A x 1 x 2， B x a x a 1 ，则“ a 1”是“ A B ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.
【详解】当 a 1时， B x 1 x 2，此时 A B ，即 a 1可以推出 A B ，
a 1
若 A B ，所以 ，得到 a 1，所以 A B 推不出 a 1，
a 1 2
即“ a 1”是“ A B ”的充分不必要条件，
第1页/共 20页
故选：A.
x2 y2
3. 若双曲线 E ： 1a 0,b 0 的一条渐近线的斜率为 3 ，则 E 的离心率为（ ）
a2 b2
A. 2 2 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
b b
【分析】先求出双曲线的渐近线方程为 y x ，结合条件得到 3 ，即可求解.
a a
x2 y2 b b
【详解】因为双曲线 1 的渐近线方程为 y x ，由题知 3 ，
a2 b2 a a
c b2
所以离心率 e 1 1 3 2 ，
a a2
故选：B.
4. 如图，在VABC 中，点 D ， E 分别在 AB ， AC 边上，且 BD DA ， AE 3EC ，点 F 为 DE 中
点，则 BF （ ）
1 3 3 1 3 3 3 3
A. BA BC B. BA BC C. BA BC D. BA BC
8 8 4 2 8 8 8 4
【答案】C
【解析】
1
【分析】根据条件，结合图形，利用向量的中线公式，得到 BF (BD BE) ，再利用向量的线性运
2
算，即可求解.
1
【详解】因为点 F 为 DE 中点，所以 BF (BD BE) ，又 BD DA ， AE 3EC ，
2
1 1 1 1 1 1 1 3 3
所以 BF (BD BE) BA (BC CA) BA BC (BA BC) BA BC
2 4 2 4 4 2 8 8 8
第2页/共 20页
故选：C.
5. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去 200 天的日销售量（单位：kg），将全部数据按
区间[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成 5 组，得到如图所示的频率分布直方图：
根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是（ ）
A. 图中 a 的值为 0.005
B. 这 200 天中有140 天的日销售量不低于80 kg
C. 这 200 天销售量的中位数的估计值为85 kg
D. 店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85% 地满足顾客的需要（在100 天中，大约有85 天可以满足顾客
的需求），则每天的苹果进货量应为 91kg
【答案】D
【解析】
【分析】选项 A，利用频率分布直方图的性质，即可求解；选项 B，利用频率分布直方图，得到不低于80
kg 的频率为 0.7 ，即可求解；选项 C，设中位数为 x ，根据条件，建立方程 (x 80)0.4 0.2 ，即可求
解；选项 D，将问题转化成求第85% 分位数，即可判断出正误.
【详解】对于选项 A，由图知 (a a 0.02 0.04 0.03)10 1，解得 a 0.005 ，所以选项 A 正确，
对于选项 B，由图知日销售量不低于80 kg 的频率为 0.7 ，由 0.7 200 140 ，所以选项 B 正确，
对于选项 C，设中位数为 x ，由 (x 80)0.4 0.5 0.2 0.05 0.05，解得 x 85 ，所选项 C 正确，
对于选项 D，设第85% 分位数为 a ，则有 (100 a)0.03 0.15 ，得到 a 95 ，所以选项 D 错误，
故选：D.
1
6. 函数 f x cosx ex ex ， x 4,4 的图象大致为（ ）
4
第3页/共 20页
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
7
【分析】根据条件，得到 f (x) 为奇函数，从而可排除选项 A 和 B，再结合 cosx 与 ex ex 在 x ,4
2
上的正负值，即可求解.
1 1
【详解】因为定义域关于原点对称，又 f x cos( x)ex ex cosx ex ex f x
4 4
，
1
即 f x cosx ex ex 为奇函数，所以选项 A 和 B 错误，
4
7 7 7 7
又当 x 时， cosx cos 0 ，当 x ,4 时， x ( ,4) ，此时 cosx 0 ，
2 2 2 2
7
又易知当 x 0 时， ex ex 0 ，所以 x ,4 时， f x 0 ，结合图象可知选项 C 错误，选项 D 正
2
确，
故选：D.
7. 已知正四棱锥 P ABCD 的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为 36 ，若正四棱锥 P ABCD 的
高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为（ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据正四棱锥及球的特征、体积公式结合勾股定理计算即可.
第4页/共 20页
【详解】
如图所示，设 P 在底面的投影为 G，易知正四棱锥 P ABCD 的外接球球心在 PG 上，
不妨设球半径 r,OG h, AB 2a ，
4
该球的体积为 36 ，即 r3 36 r 3 OA OP ，
3
又正四棱锥 P ABCD 的高与底面正方形的边长相等，
2
则 AG 2a, PG 2a, AG2 OG2 r 2 PG OG ，
2
2a h 9 h 1
即 .
2 2
2a h 9 2a 4
故选：C
a 1 a
8. 已知 a,b,c 0,4 ，且满足 cos2 ， be2b 1 ， ln c 1 cosc ，则（ ）
2 2
A. c a b B. c b a
C. a c b D. a b c
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数 f x xe2x x 0, g x x ln x 1 x 0 ，利用导数研究其单调性，结合二
倍角公式及余弦函数图象计算即可.
【详解】
令 f x xe2x x 0, g x x ln x 1 x 0 ，
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