数学
命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组
时量：120 分钟 满分：150 分
一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，
A xx2 x 6 0 , B {xlg x 1 0}
1. 已知 ，则 A B （ ）
A. x 3 x 2 B. {x 3 x 2}
C. {x1 x 2} D. {x1 x 2}
2. 若复数 z 满足 z 1 i 3 i （ i 是虚数单位），则 z 等于（ ）
10 5 5
A. B. C. 5 D.
2 4 2
3. 已知平面向量 a 5,0,b 2,1 ，则向量 a b 在向量 b 上的 投影向量为（ ）
A. 6,3 B. 4,2 C. 2,1 D. 5,0
4. 记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 a3 a9 14,a6a7 63 ，则 S7 （ ）
A. 21 B. 19 C. 12 D. 42
5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为 150 分，90 分以上（含 90 分）为及格．阅卷结果显示，
全年级 1200 名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数 平均分/满分）为 0.49，
标准差为 22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若 X N , 2 ，记
pk P k X k ，则 p0.75 0.547, p1 0.683 ．
A. 136 人 B. 272 人 C. 328 人 D. 820 人
5
6. 已知, 0, ,cos , tan tan 4 ，则 （ ）
2 6
2
A. B. C. D.
6 4 3 3
x2 y2
7. 已知 F1, F2 是双曲线 1(a b 0) 的左右焦点，以 F2 为圆心， a 为半径的圆与双曲线的一条
a2 b2
第1页/共5页
渐近线交于 A, B 两点，若 3 AB F1F2 ，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
2 6 3 5
A. 1, B. 1, C. 1, 2 D. 1, 3
3 5
a 2x，x 0，
8. 已知函数 f x 若关于 x 的方程 f f x 0 有且仅有两个实数根，则实数 a 的取值
， ，
log2 x x 0
范围是（ ）
A. 0,1 B. ,0 0,1 C. 1, D. 0,1 1,
二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分
9. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D 中， E，F，M，N 分别为棱 AA1，A1D1，AB，DC 的中点，点 P
是面 B1C 的中心，则下列结论正确的是（ ）
A. E，F，M，P 四点共面 B. 平面 PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形
C. EF / / 平面 PMN D. 平面 MEF 平面 PMN
5
10. 已知函数 f x 2cos 2x ，则（ ）
4
3
A. f x 的一个对称中心为 ,0
8
3
B. f x 的图象向右平移 个单位长度后得到的是奇函数的图象
8
5 7
C. f x 在区间 , 上单调递增
8 8
5 13
D. 若 y f x 在区间 0,m 上与 y 1有且只有 6 个交点，则 m ,
2 4
11. 已知定义在 R 上的偶函数 f x 和奇函数 g x 满足 f 2 x g x 1，则（ ）
第2页/共5页
A. f x 的图象关于点 2,1 对称
B. f x 是以 8 为周期的周期函数
C. g 2024 0
2024
D. f (4k 2) 2025
k 1
三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. (x 3y 1)6 的展开式中 x2 y 的系数为______．
13. 已知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，当 x 0 时， f x 2 f x ，且 f 1 0 ，则不等式
f x 0 的解集为__________.
14. 已知点 C 为扇形 AOB 的 弧 AB 上任意一点，且 AOB 60 ，若 OC OA OB, R ，则
的取值范围是__________.
四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
15. VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2a b 2ccosB ．
（1）求角 C ；
（2）若角 C 的平分线 CD 交 AB 于点 D, AD 3 13, DB 13 ，求 CD 的长．
1
16. 已知 x 为函数 f x xalnx 的极值点．
e
（1）求 a 的值；
kx
（2）设函数 g x ，若对 x 0,,x R ，使得 f x1 g x2 0 ，求 k 的取值范围．
ex 1 2
17. 已知四棱锥 P ABCD 中，平面 PAB 底面 ABCD, AD
2
BC, AB BC, PA PB AB, AB BC 2AD, E 为 AB 的中点， F 为棱 PC 上异于 P,C 的点．
2
第3页/共5页
（1）证明： BD EF ；
70
（2）试确定点 F 的位置，使 EF 与平面 PCD 所成角的余弦值为 ．
14
2
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1 : y 2 px( p 0) 的焦点到准线的距离等于椭圆
2 2 2 2 2
C2 : x 16y 1的短轴长，点 P 在抛物线 C1 上，圆 E : (x 2) y r （其中 0 r 1）.
1
（1）若 r ,Q 为圆 E 上的动点，求线段 PQ 长度的最小值；
2
（2）设 D1,t 是抛物线 C1 上位于第一象限的一点，过 D 作圆 E 的两条切线，分别交抛物线 C1 于点
M , N .证明：直线 MN 经过定点.
19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了 A 和 B 两个套餐服务，顾客可选择 A 和 B 两个套餐之一，并
在 App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在 App 平台 10 天销售优惠券情况．
日期 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
销售量 千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4
10 10 10
1 2
经计算可得： y yi 2.2,ti yi 118.73,ti 385
10 i1 i1 i1 .
（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第 10 天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减
少，已知销售量 y 和日期 t 呈线性关系，现剔除第 10 天数据，求 y 关于 t 的经验回归方程 结果中的数值
用分数表示 ；
1 3
（2）若购买优惠券的顾客选择 A 套餐的概率为 ，选择 B 套餐的概率为 ，并且 A 套餐可以用一张优惠
4 4
券，B 套餐可以用两张优惠券，记 App 平台累计销售优惠券为 n 张的概率为 Pn ，求 Pn ；
（3）记（2）中所得概率 Pn 的值构成数列Pnn N .
求 Pn 的最值；
数列收敛的定义：已知数列an ，若对于任意给定的正数 ，总存在正整数 N0 ，使得当 n N0 时，
an a ，（ a 是一个确定的实数），则称数列an 收敛于 a .根据数列收敛的定义证明数列Pn 收敛．
第4页/共5页
n n
xi x yi y xi yi nx y
参考公式： i1 i1 ,a y bx .
n 2 n
2 2
xi x xi nx
i1 i1
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大联考湖南师大附中 2025 届高三月考试卷（一）
数学
命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组
时量：120 分钟 满分：150 分
一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，
A xx2 x 6 0 , B {xlg x 1 0}
1. 已知 ，则 A B （ ）
A. x 3 x 2 B. {x 3 x 2}
C. {x1 x 2} D. {x1 x 2}
【答案】D
【解析】
【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合 A, B ，再求交集．
【详解】集合 A x 3 x 2, B {xlg x 1 0} {x1 x 2}，
则 A B {x1 x 2} ，
故选：D．
2. 若复数 z 满足 z 1 i 3 i （ i 是虚数单位），则 z 等于（ ）
10 5 5
A. B. C. 5 D.
2 4 2
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的除法运算计算可得 z 1 2i ，再由模长公式即可得出结果.
3 i 3 i1 i 2 4i
【详解】依题意 z 1 i 3 i 可得 z 1 2i ，
1 i 1 i1 i 2
所以 z (1)2 22 5 .
故选：C
3. 已知平面向量 a 5,0,b 2,1 ，则向量 a b 在向量 b 上的投影向量为（ ）
A. 6,3 B. 4,2 C. 2,1 D. 5,0
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【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.
2 2
【详解】 a b 7,1,a b b 15, b 2 (1) 5 ，
a b b
所以向量 a b 在向量 b 上的投影向量为 b 3b 6,3 .
2
| b |
故选：A
4. 记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 a3 a9 14,a6a7 63 ，则 S7 （ ）
A. 21 B. 19 C. 12 D. 42
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.
a a
a 6 7 9,
【详解】an 是等差数列，a3 a9 2a6 14 ，即 a6 7 ，所以 7
a6
67
故公差 d a7 a6 2,a1 a6 5d 3 ，S 73 2 21，
7 2
故选：A
5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为 150 分，90 分以上（含 90 分）为及格．阅卷结果显示，
全年级 1200 名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数 平均分/满分）为 0.49，
标准差为 22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若 X N , 2 ，记
pk P k X k ，则 p0.75 0.547, p1 0.683 ．
A. 136 人 B. 272 人 C. 328 人 D. 820 人
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩 X ~ N(73.5,222 ) ， 再 根 据 所 给 条 件 求 出
P(57 X 90) ，即可求出 P(X 90) ，即可估计人数．
【详解】由题得 0.49150 73.5, 22 ，
pk P k X k , p0.75 0.547 ，
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P57 X 90
p0.75 0.547 ，
P X 90 0.51 0.547 0.2265 ，
该校及格人数为 0.22651200 272 （人），
故选：B．
5
6. 已知, 0, ,cos , tan tan 4 ，则 （ ）
2 6
2
A. B. C. D.
6 4 3 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即
可．
5
cos cos sin sin
6
【详解】由已知可得 ，
sin sin
4
cos cos
1
cos cos ，
6
解得
2
sin sin ，
3
1
cos cos cos sin sin ，
2
, 0, ，
2
0, ，
2
, ，
3
故选：D．
x2 y2
7. 已知 F1, F2 是双曲线 1(a b 0) 的左右焦点，以 F2 为圆心， a 为半径的圆与双曲线的一条
a2 b2
渐近线交于 A, B 两点，若 3 AB F1F2 ，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
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2 6 3 5
A. 1, B. 1, C. 1, 2 D. 1, 3
3 5
【答案】B
【解析】
2 2
【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长 AB 2 a b ，再根据不等式 3 AB F1F2 整理可得
5c2 9a2 ，即可求得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】设以 F2 c,0 为圆心， a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线 bx ay 0 交于 A, B 两点，
bc
2 2
则 F2 到渐近线 bx ay 0 的距离 d b ，所以 AB 2 a b ，
a2 b2
2 2 2 2 2 2 2
因为 3 AB F1F2 ，所以 3 2 a b 2c ，可得 9a 9b c a b ，
即 4a2 5b2 5c2 5a2 ，可得 5c2 9a2 ，
c2 9 3 5
所以 ，所以 e ，
a2 5 5
3 5
又 e 1，所以双曲线的离心率的取值范围是 1, .
5
故选：B
a 2x，x 0，
8. 已知函数 f x 若关于 x 的方程 f f x 0 有且仅有两个实数根，则实数 a 的取值
， ，
log2 x x 0
范围是（ ）
A. 0,1 B. ,0 0,1 C. 1, D. 0,1 1,
【答案】C
【解析】
【分析】利用换元法设 u f x ，则方程等价为 f u 0 ，根据指数函数和对数函数图象和性质求出
u 1，利用数形结合进行求解即可．
【详解】令 u f x ，则 f u 0 ．
当 a 0 时，若 u 0, f u 0 ；若u 0，由 f u log2u 0 ，得 u 1．
所以由 f f x 0 可得 f x 0 或 f x 1．
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如图所示，满足 f x 0 的 x 有无数个，方程 f x 1只有一个解，不满足题意；
u
当 a 0 时，若 u 0 ，则 f u a 2 0 ；若u 0，由 f u log2u 0 ，得 u 1．
所以由 f f x 0 可得 f x 1，当 x 0 时，由 f x log2 x 1，可得 x 2 ，
因为关于 x 的方程 f f x 0 有且仅有两个实数根，则方程 f x 1在 (,0 ]上有且仅有一个实数
根，
若 a 0 且 x 0, f x a 2x 0,a ，故 a 1；
若 a 0 且 x 0, f x a 2x 0 ，不满足题意．
综上所述，实数 a 的取值范围是1, ，
故选：C．
二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分
9. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D 中， E，F，M，N 分别为棱 AA1，A1D1，AB，DC 的中点，点 P
是面 B1C 的中心，则下列结论正确的是（ ）
A. E，F，M，P 四点共面 B. 平面 PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形
C. EF / / 平面 PMN D. 平面 MEF 平面 PMN
【答案】BD
【解析】
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