数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2 已知命题 ，则 ：（ ）
A. B. C. D.
3. 函数 在区间 上（ ）
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增
4. 已知函数 ，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. 6 C. 8 D. 9
6. 设 ，函数 ，则“关于 x 的不等式 的解集为 ”是“
恒成立”的（ ）条件
A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 不充分不必要
7. 已知直线 与曲线 相切，则 的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 5
8. 若函数 的 3 个零点由小到大排列成等差数列，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列曲线平移后可得到曲线 的是（ ）
A. B. C. D.
10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于 15%，且这个比值
越大，通风效果越好．（ ）
A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为 ，则窗户面积至少应该为
B. 若窗户面积和地面面积都增加原来的 10%，则教室通风效果不变
C. 若窗户面积和地面面积都增加相同 面积，则教室的通风效果变好
D. 若窗户面积第一次增加了 m%，第二次增加了 ,地面面积两次都增加了 ，则教室的通风效
果变差
11. 设函数 的定义域关于原点对称，且 不恒为 0，下列结论正确的是（ ）
A. 若 具有奇偶性，则满足 的奇函数 与偶函数 中恰有一个为常函数
，其函数值为 0
B. 若 不具有奇偶性，则满足 奇函数 与偶函数 不存在
C. 若 为奇函数，则满足 的奇函数 与偶函数 存在无数对
D. 若 为偶函数，则满足 的奇函数 与偶函数 存在无数对
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 设函数 的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个 ______．
13. 已知矩形 的周长为 24，将 沿 向 折叠，AB 折过去后与 DC 交
于 点 P． 设 ， 则 ______________（ 用 x 表 示 ） ， 当 的 面 积 最 大 时 ，
______________．
14. 已知 a 为常数，且 ．定义在 上的函数 满足： ，且当
时， ，则 ______________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱柱 中， 平面 ，E，F，G
分别是棱 AB，BC， 上的动点，且 ．
（1）求证： ；
（2）若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求 ．
16. 某学习小组研究得到以下两个公式： ；
．
（1）请你在和中任选一个进行证明；
（2）在 中，已知 ，求 的面积．
17. 分别过椭圆 的左、右焦点 作两条平行直线，与 C 在 x 轴上方的曲线分别交于点
．
（1）当 P 为 C 上顶点时，求直线 PQ 的斜率；
（2）求四边形 的面积的最大值．
18. 已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为 ，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率
分
别为 .现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空
中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为 1 轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标
两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在 1 轮对抗中，红方击中蓝方目标
为事件 A，蓝方击中红方目标为事件 B.求：
（1）概率 ；
（2）经过 1 轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差 X 的概率分布及数学期望；
（3）在 4 轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率．
19. （1）函数 与 图象有怎样的关系?请证明；
（2）是否存在正数 c，对任意的 ，总有 ？若存在，求 c 的最小值；若不存在，请
说明理由；
（3）已知常数 ，证明：当 x 足够大时，总有 ．
2025 届高三期初学业质量监测试卷
数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式求出集合 A，然后由交集运算可得.
【详解】解不等式 ，得 ，
所以 .
故选：B
2. 已知命题 ，则 ：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在题词命题的否定是全称量词命题，直接写出结论.
【详解】命题 是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以 ： .
故选：C
3. 函数 在区间 上（ ）
A 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.
【详解】 ，即 ，
设 ，则 单调递减，
且
故存在唯一一个 使
故在 上， ，此时 单调递减；
在 上， ，此时 单调递增；
故 在区间 上先减后增.
故选：D
4. 已知函数 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式代入验证即可.
【详解】因为 ，而 ，
所以 .
故选：C
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. 6 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得 ，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解.
详解】由 ，可得 ，则 ，
则 .
故选：D.
6. 设 ，函数 ，则“关于 x 的不等式 的解集为 ”是“
恒成立”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 不充分不必要
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数的性质确定不等式和函数成立的条件，再由充分必要条件得出结果即可；
【详解】因为关于 x 的不等式 的解集为 ，则 ，
可得 恒成立，故充分性成立；
取 ，满足 恒成立，
但 的解集为 ，故必要性不成立；
所以“关于 x 的不等式 的解集为 ”是“ 恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 已知直线 与曲线 相切，则 的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设切点切点横坐标为 ，由题意列出 的关系，进而得到 ，再由二次函数求
最值即可.
【详解】设切点横坐标为 ，求导： 得 ，
由题意可得 解得： ，
所以 ，
所以 时， 的最大值为 .
故选:C
8. 若函数 的 3 个零点由小到大排列成等差数列，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将问题转化为 和 的交点，结合函数图象以及一元二次方程的根可得
， ，即可利用等差中项求解.
【详解】令 可得 ，
在同一直角坐系中作出 和 的图象如下：
要使 有 3 个零点，则 ，
由图可知： 有一个零点 ， 有 2 个零点 ，且 ，
即 有一个零点 ， 有 2 个零点 ，且
故 ， ，
由于 ，故 ，
化简可得 ，平方解得 ，
由于 ，故 ，
故选：D
【点睛】方法点睛：判断函数 零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令 则方程实根的个
数就是函数零点的个数；
(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间 上是连续不断 曲线，且 再结合函数的图
象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；
(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数
零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要
利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题
.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列曲线平移后可得到曲线 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据图像的平移变换可判断 ABD，根据图像的伸缩变换可判断 C.
【详解】对于 A，曲线 向右平移 3 个单位可得到曲线 ，故 A 正确；
对于 B，曲线 向上平移 3 个单位可得到曲线 ，故 B 正确；
对于 C，曲线 横坐标伸长为原来的 3 倍可得到曲线 ，故 C 错误；
对于 D，曲线 ，向左平移 个单位可得到曲线 ，故 D 正确；
故选：ABD
10. 一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于 15%，且这个比值
越大，通风效果越好．（ ）
A. 若教室的窗户面积与地面面积之和为 ，则窗户面积至少应该为
B. 若窗户面积和地面面积都增加原来的 10%，则教室通风效果不变
C. 若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好
D. 若窗户面积第一次增加了 m%，第二次增加了 ,地面面积两次都增加了 ，则教室的通风效
果变差
【答案】BC
【解析】
【分析】设该公寓窗户面积为 x，依题意列出不等式组求解可判断 A；记窗户面积为 a 和地板面积为 b，
同时根据 B，C，D 设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断 B，C，D.
【详解】对于 A，设该公寓窗户面积为 ，则地板面积为 ，
依题意有 ，解得 ，
所以，这所公寓的窗户面积至少为 ，故 A 错误；
对于 B，记窗户面积为 a 和地板面积为 b，同时窗户增加的面积为 ，同时地板增加的面积为
，
由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为 ，
所以公寓采光效果不变，故 B 正确；
对于 C，记窗户面积为 a 和地板面积为 b，同时增加的面积为 c.
由题可知， ，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为 ，
因为 ，且 ，
所以 ，即 ,
所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了， 故 C 正确；
对于 D，记窗户面积为 a 和地板面积为 b，则窗户增加后的面积为 ,地板增加后的面
积为 ，
由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为 ，
因为 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ,