广西南宁市2025届高三毕业班摸底测试-数学试卷答案

南宁市2025届普通高中毕业班摸底测试参考答案（含评分细则）（数 学）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案DBADBCAC二选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分。有两个 正确选项的仅选其中一个给 3 分；有三个正确选项的仅选其中一个给 2 分， 仅选其中两个给 4 分。题号91011答案ADBCBCD1.D z = i(1 — 7i) = 7 + i ，则 z = 7 — i ，故选 D .2.B 当x = 1 时x3 = x2 ，所以 p 为真命题；当x = 0 时x4 = 0 ，所以q 为假命题， 则 q 是真命题,故选 B .3.A 由 a — 2b = 2a — b = 2 得a2 — 4a b+ 4b2 = 4, 4a2 — 4a b+ b2 = 4 ，两式相减得，a = b = 1，所以 1— 4a b+ 4 = 4 ，则 ，故选 A .4.D 成绩在[70,80) 上频率为1 —10 (0.01+ 0.02 + 0.02 + 0.03) = 0.2 ，所以成绩在[70,80) 上有0.2 50 = 10 人，成绩在[50, 60),[60, 70),[80,90),[90,100] 的人数分别为 5， 10 ，15 ，10 人，所以成绩在[80,90) 上的人数最多，A 正确；成绩不低于 70 分的学生所占比例为1—10(0.01+ 0.02) = 0.7 ，B 正确；50 名学生成绩的平均分 为x = 55 0.1 + 65 0.2 + 75 0.2 + 85 0.3 + 95 0.2 = 78 ，成绩的中位数为 80 分，所以 50 名学生成绩的平均分小于其成绩的中位数，C 正确；50 名学生成绩 的极差在[30,50] 上，不一定为 50 ，D 错误，故选 D .5.B 设M ，则kAM = , kBM = , 由kAM .kBM = 整理得 , 故选 B .6.C 由题可 , 当x 时，f '< 0;当x 时，f ' 0,所以f(x)在（0，1）上递减，在（1 ，+ ) 上递增，则f (x)min =f(1)=1-lnm 0，所以 me ，又x 0 ，mx0,即 m0.则 0me,故选 C.7.A 由正三棱台ABC — A1B1 C1 的侧面积为 6 得，等腰梯形ABB1 A1由 = 2 得，A1B1 解得A1B1 = 1，则 AB = 3A1B1 = 3 ，将正三棱台ABC — A1B1 C1 补成正三棱锥P — ABC ，如图所示，则 所以PA1 = 则的面积为 2， , 过 P 作PO 丄平面 ABC ，则 O 为ABC 的中心，所以2AO = 则AO = 3 ，易知 上PAO 为AA1 与平面 ABC 所成的角， 在Rt PAO 中，cos 上PAO = ，故选 A .8.C 因为g 所以y = g(x) 关于点(1,1)对称.要使 AB = BC ，则 B(1,1) ,所以将B(1,1) 代入 f (x) = ax 得a = 1 , 当a = 1 时f (x) = x 关于点(1,1) 对称,显然 AB = BC ,故选 C .9.AD f sin x = sin = cos 2x ，在同一坐标系中作出f (x) 与g(x) 的图象，如图所示，由图知，x = 0 是f (x) 与g(x) 的图象相同的对称轴，A 正确；f (x) 的值域为[0,1] ， g(x) 的值域为[一1,1]，所以f (x) 与g(x) 的值域不同，B 错误；f (x) 与g(x) 没有 相同的零点，C 错误; f (x) 与g(x) 的最小正周期均为 , D 正确，故选 AD . 10 .BC 易知F(1, 0), 准线l 的方程为x = 1，则直线 x 一 y 一1 = 0 经过焦点F .由 整理得x2 一 6x +1 = 0 ，设A(x1, y1 ), B(x2, y2 ) ，则x1 + x2 = 6 ，根据抛物线的定义可知， AB = x1 + x2 + 2 = 8 ，A 错误；如图，过A, B 作AA, 丄 l, BB, 丄 l ，垂足为A,, B , ，则 KF = 2 ，又 上KFD = 45。， 所以|BF|=|BB1 |，所以| BD |= | BB' |= | BF | ,B 正确；以AF 为直径的圆的半径为 易知四边形AFOA,, 为直角梯形，其中位线长为 所以以AF 为直径的圆与y 相切，C 正确；当AEF 为等边三角形时， AF = AE ，由抛物线的定义可知AE 丄 l ，所以 上EAF = 45。，这与AEF 为等边三角形矛盾，所以 l 上不存在点 E，使得AEF 为等边三角形，D 错误，故选 BC .11．BCD 当a = 1 时，f , = 一3x2 + x + 2 ，令f , = 0 ，解得x1 = 1, x2 = 一 ， 当< 0 ，当x >0 ;所以f 在(一, 一 ) 和(1, +) 上单调递减，在(一 ,1) 上单调递增，所以x = 1 是f (x) 的极大值点，A 错误； = 一3ax2 + ax + 2a ，则 = a2 一 4 2a = 25a2 >0 ，所以f , 恒有两个根，结合二次函数的图象可知，f (x) 恒有两个相同的单调区间，B 正确；由上得f ’(x) = 一3ax2 + ax + 2a = 一a(3x + 2)(x 一 1) ，当a >0 时f (x) 在(一, 一 ) 和 (1, +) 上单调递减，在(一 ,1) 上单调递增，要使f (x) 有三个零点，则当a< 0 时，f 在 和 上单调递增，在(一 ,1) 上单调递减，要使f (x) 有三个零点，则 b >0, 解 a< b< 一 a, 即一<< .综上可知使得f (x) 有三个零点， 可取得的整数为 1 ，0 ，C 正确； 设g(x) = f ’(x) = 一3ax2 + ax + 2a ，则 g’(x) = 一6ax + a ，令g’(x) = 0 得x = 因为g’(x) = 一6ax + a 的零点为曲线f (x) 的对称中心的横坐标，所以点(1 , f ( 1 ))6 6为曲线y = f (x) 的对称中心，D 正确，故选 BCD .三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12 ．1 当n = 1 得a3 = a1 + a2 ，又 a1 = 2, a2 = 1, a3 = 一3得一3 = 2+1，解得 = 一2 . 则an+2 = 一2an + an+1 , a4 = 一2a2 + a3 = 一2 1 一 3 = 一5 , a5 = 一2a3 + a4 = 一2 (一3) 一 5 = 1 . 由 = 2 ,所以sincos = 2 cossin .则 = sincos 一 cossin = cossin = 一 ，所以sincos = 一 所以sin( + ) = sincos + cossin = 一 .14 . 24 （2 分） 216 （3 分） 若区域 A,B,C,D 涂 2 种颜色，区域 E,F,G,H 涂另外 2 种颜色，则AC, BD, EG, FH 同色，先选两种颜色涂 A,B,C,D 区域，则有CA种涂法，区域 E,F,G,H 有A种涂法， 故有CAA = 24 种涂法．区域 A,B,C,D 涂 4 种颜色有A = 24 种涂法，不妨设区域 A,B,C,D 分别 涂a, b, c, d 颜色,则区域 E,F,G,H 也涂这 4 种颜色有(a, b, c, d), (a, d , b, c), (a, d , c, b), (c, d, a, b), (c, a, b, d), (c, b, a, d), (d, a, b, c), (d, a, c, b), (d, b, a, c), 有 9 种涂法，共有24 9 = 216 种涂法.三、解答题：共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题 13 分) 设锐角ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知2 bcsin2A=b2+c2a2 . (1)求 A ;(2)若 a=2 ,且 ccosB=asinC 求ABC 的 面积.解: (1) 由 2 bcsin2A=b2+c2a2 得 2 2 bcsinAcosA=b2+c2a2 … …1 分 【备注 1】正确写出应用二倍角公式给 1 分。即 sinAcosA = = cosA … … … … … … … … … … … . … 1 分【备注 2】正确写出或体现应用余弦定理公式给 1 分。在锐角ABC 中 cosA0,所以sinA = ………………….…….....1 分 见“sinA = 分又0< A< ,所以A = . … … … … … … … … … … … … … … … … ...2 分(5 分)【备注 4】见“A = ”给 2 分(2) 由2CcosB = asinc及正弦定理得2sinccosB = sinAsinc … .1 分又 sinA0 所以cosB = sinA = 所以cosB = . … … … .. … .. … .1 分 见“cosB = ”给 1 分.又 0< B< ,所以B = … … … … … … … … … … … … … … … … .2 分(9 分) 见“B = 分则c = 所以sinc = sin …………...…1 分由正弦定理得 ……………...…….…1 分【备注 7】另解：写出“ c = 6 + 2 ”给 1 分。故ABC面积为 absinC = = 3 + . … ..2 分 【备注 8】结果正确即可给 2 分，若结果错误但正确写出面积公式可给 1 分。 【备注 9】无其他解答过程，只正确写出正弦定理、余弦定理公式各给 1 分。 16. (本题 15 分)已知函数f(x)=(4x+1)ex , 曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线为直线 l. (1)求直线 l 的方程; (2)求函数f(x)在闭区间[2,1]上的最值.解: (1)依题意,求导得f ' (x) =(4x+5)ex … … . … ...... …2 分(2 分)【备注 1】求导结果正确给 2 分f(0)= e0 =1 … … … … … … … … … … … … … . … … … … .. …… …... …1 分则f (0) = 5e0 = 5 …1 分(4 分)【备注 2】若不写“f(0)= e0 =1，则f (0) = 5e0 = 5 ”;只正确写出切点坐标 (0, 1)也给这 1 分。所以直线 l 的方程为y=5x+1………………………………….….2 分(6 分)【备注 3】直线方程结果正确给 2 分(2)由(1)可知f ' (x) =(4x+5)ex当 >0 ，则f 在 上单调递增； ………1 分当< 0 ，则f 在(一, 一 ) 上单调递减； ………1 分(8 分)【备注 4】正确写出“在x >一 时f (x) 单调递增 ”、“ 在x< 一 时f (x) 在上单 调递减 ”给 1 分;写成闭区间[一 , +) 、 、 也正确。因为f (一 ) = 一4e一 , f (一2) = 一7e一2 , f (1) = 5e ………………………3 分(11 分)【备注 5】正确写出结果,每对一个给 1 分.则f (x) 在闭区间[-2,1]上最大值为 5e, ……… ……… … .. … …2 分5最小值为一4e一 4 . … …2 分(15 分)【备注 6】正确写出结果,每对一个给 2 分.17. (本题 15 分)如图, 四棱锥P-ABCD 中,AB丄BC , CD丄BC, BC=CD= ,AB= 2 ,平面 PBD丄平面 ABCD(1)证明: AD丄平面 PBD ;(2)若 PB=PD,四棱锥 P-ABCD 的体积为 2 , 求二面角 A-PB-D 的正弦值.解：(1)取AB中点E, 连接DE. … … … … … . … … … .. …1 分【备注 1】只要体现有作图过程,可给 1 分PD C因为AB丄BC, CD丄BC, BC = CD = , AB = 2 则BCDE为正方形.则匕DEA = 匕DEB = 90。, 匕EDB = 45。. A - s E B 在AED中, AE = DE = 所以匕EDA = 45。则匕ADB = 90。即AD丄BD. …… . …… . …2 分(3 分)【备注 2】本段 2 分中,若出现写出“AD丄BD ”或“匕ADB = 90。”且前面 有必要的证明过程,就给 2 分; 若前面没有证明过程而直接写出“AD丄BD ” 或“匕ADB = 90。”,统一给 1 分.因为平面PBD丄平面ABCD, 平面PBD 平面ABCD = BD所以AD丄平面PBD. 2 分(5 分)【备注 3】本段 2 分中,若不写出“平面PBD 平面ABCD = BD”而直接得结 果,则只给 1 分（即扣 1 分）.(2)连接CE, 设CE BD = O, 则O为BD的中点, 连接PO.因为PB = PD, 所以PO丄BD. 1 分(6 分)【备注 4】见“PO丄BD ”给 1 分。面 PBD丄面ABCD, 面PBD 面ABCD = BD, PO C面PBD,所以PO丄平面ABCD. 1 分(7 分)【备注 5】见“PO丄平面ABCD”给 1 分。由四棱锥P — ABCD体积为 . BC . PO = 2即 PO = 2, 解得PO = 2. … … … … … … …2 分【备注 6】见结果正确“PO = 2”给 2 分。由 OEAD 可知OE, OB, OP两两垂直, 以O为原点, OE, OB, OP所在直线分别为x轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系O — xyZ, 1 分(10 分)【备注 7】见建系结果正确或图中正确标出建系结果，即可给 1 分。 则A(2, —1, 0), E(1, 0, 0), B(0, 1, 0), P(0, 0, 2),– – –PA = (2, —1, —2), AB = (—2, 2,0), OE = (1, 0, 0). 设平面PAB的法向量为m = (x, y, Z),由, 令x = 2, 则m = 由OE//AD可知, OE丄平面PBD, 所以–E– 是平面PBD的法向量,记为n = –E– = (1, 0, 0) … … … … … … … … … … … … … … … .. … …3 分(13 分)【备注 8】本段 3 分,求两个法向量,对一个给 2 分，对两个给 3 分;若法向量都不对，但写有数量积等于 0 如 或外积法)，表示方法正确，统一给 1 分则,故二面角A — PB — D正弦值为 . …… ....2 分(15 分)【备注 9】结果正确即可给 2 分;若结果错误,但前面能正确写出求夹角原始公式“cos ” 可给 1 分. 其他解法如下：第一问解法二： 第二问解法二：第二问解法三： 第二问解法四：第二问解法五：第二问解法六18.(本题 17 分) 我省某市为吸引游客, 推出免费门票项目. 该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机, 自然风光类抽中的概 率为, 历史文化类、特色体验类抽中的概率均为,这三类抽奖之间互不影响. 规定凡在该市的景区游玩的游客, 每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一 次，每次抽奖至多抽中一个免费票景点.(1)若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次, 设X表示甲获得免费票景点个数, 求X的分布列和数学期望；(2)乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖, 已知乙抽中 (至少抽中一 个), 求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率.解: (1) X表示甲获得免费票景点个数, 则X = 0,1,2,3, 1 分则 ; ……………………… 1 分P(X = 1) = (1 (1 + (1 C (1 = . …..1 分P(X = 2) = C (1 + (1 2 = . 1 分故 X 的分布列为P(X = 3) = = …………………………………….………1 分(5 分)X0123P165 12131 12【备注 1】若仅给出分布列而没有前面的求解过程：表中数字全对时本 5 分 段共给 4 分（即扣掉过程分 1 分）；当表中概率数字不全对时，若表头第一 行数字全对给 1 分，第二行每个概率值对一个给 1 分（共不超过 3 分）E(X) = 0 + 1 + 2 + 3 = .. … … … … ........... … …3 分(8 分)【备注 2】体现数学期望公式（乘积和，至少写有两项）给 1 分,结果正确 给 2 分；如果没有过程只写正确结果 E(X)=4/3 给 2 分(扣求数学期望过程分). （2）设“ 乙抽中 ”为事件M, “ 乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽 奖与抽中 ”分别为事件 N1, M1 , “ 乙在自然风光类、历史文化类抽奖机中抽 奖与抽中 ”分别为事件N2, M2 , “ 乙在历史文化类、特色体验类抽奖机中抽奖与抽中 ”分别为事件N3, M3 .. 1 分（9 分）【备注 3】体现至少设出一个事件过程，可给 1 分。则P(M1 ) = P(N1 )P(M1 |N1 ) = [ 1 (1 1 = . …………1 分P(M2 ) = P(N2 )P(M2 |N2 ) = [ 1 (1 1 = .. ……………1 分P(M3 ) = P(N3 )P(M3 |N3 ) = [ 1 (1 1 = ….……1 分(12 分)因事件 M1,M2,M3 两两互斥,所以P(M) = P(M1 M2 M3 ) = P(M1 ) + P(M2 ) + P(M3 ). ……1 分 【备注 4】正确写出求互斥事件概率公式给 1 分...…………………………………………………….1 分【备注 5】结果正确给 1 分则 … … … .. … . …2 分【备注 6】计算结果正确,给 1 分；若结果不对，但写出几何条件公式 ”给 1 分.故乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率为 . ……… 1 分(17 分)【备注 7】作答正确给 1 分,若写出“为所求”也算作答正确.19. (本题 17 分) 已知椭圆 经过点 A1, A2为C的左、右顶点, M, N为C上不同于A1, A2 的两动点.若直线A1 M斜率与直线 A2 N斜率比值恒为常数, 按下面方法构造数列 {bn }: C的短半轴长为bn 时,直线MN与x轴交于点Qn (bn+1, 0).(1)求椭圆C的离心率; (2)证明: 数列{bn }是等比数列; (3)设顶点A1 到直线MN的最大距离为d, 证明: d b1 .解: (1)由椭圆C经过点得 = 1,故 . ………......1 分【备注 1】见“ = ”或“a2 = 4b2 ”或“a = 2b ”给 1 分。则所以椭圆C离心率为 . … … … … ....... …2 分(3 分)【备注 2】见结果正确给 2 分,若结果错误,但体现离心率公式正确给 1 分. (2)证明: 由(1)及题意可知 = 1, A1 分 写出“ = 1 ”给 1 分设M(X1 , y1 ), N(X2, y2 ), 当直线MN斜率为 0 时M, N关于y轴对称,所以A1 M斜率与A2 N的斜率之商为 1.不合题意. 1 分(5 分)设MN方程为X = ty + m, 1 分【备注 4】正确设出直线MN方程(可以其他形式)给 1 分. 因为MN不过顶点A1, A2 所以m 2bn.由,得 y 2 + 2tmy + m2 4b则= 4t2m2 4(t2 + 4)(m2 4b) = 16(t2 b m2 + 4b) >0y1 + y2 = , y1y2 = . ……………………………..……1 分【备注 5】至少正确写出韦达定理中一个式子,给 1 分.所以ty1y2 = ……………………………………..…1 分【备注 6】写出“y1 + y2 ”与“y1y2 ”关系，给 1 分则 . ………………………………………..….…1 分【备注 7】正确写出直线斜率公式给 1 分. . ……………………….…1 分【备注 8】见能化简到 并前面有必要的 化简过程才给 1 分.= 所以m = bn. ………………………………………………1 分(11 分)则直线MN方程为X = ty bn,即MN经过点( bn, 0)…….….1 分【备注 9】正确写出“MN经过点 ”给 1 分.因为MN与x轴交于点Qn (bn+1, 0),所以bn+1 = bn , 所以数列{bn }是以为公比的等比数列. ………………………….....1 分(13 分) 证明: 由 可知, bn = n1 b1 . 1 分所以{bn }是递减数列,则bn = n1 b1 b1 1 分 见“bn = n1 b1 b1 ”给 1 分.顶点A1 (2bn, 0)到直线MN: ty x bn = 0距离为 , 当t = 0时取等号; 1 分(16 分) 见“d = ”或“d ”给 1 分.故d b1 . …………………........................................................…1 分(17 分)