2024年10月绵阳南山中学集团学校高2022级10月联考数学试卷命题人:李沙桐 何先俊 审题人:冯新凯 邓燕莉一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.)1.已知集合A=xx2-3x-40,B={x|-20,>0)的图象如下,则其解析式可能是( )A.fx=2cos2x-23 B.fx=2cos2x-3C. fx=2cos2x+3 D.fx=2cos(2x+23)6.研究发现一种鸟类迁徒的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系式为:v1==a+blog3Q110(其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为v(单位:m/s),耗氧量单位数为Q2,统计发现:v2与 log3Q2100成正比.当v2=1 m/s时,Q2=900.若这种鸟类与鲑鱼的速度v1与v2相同时,则Q1与Q2的关系是( )A.Q22=9Q1 B.Q12=9Q2 C.Q22=3Q1 D.Q12=3Q27.已知x1,y1,x2,y2是函数y=log2x图象上两个不同的点,则下列4个式子中正确的是( )x1+x22<2y1+y22;x1+x22>2y1+y22;log22x1+x2<-y1+y22;log22x1+x2>-y1+y22A.B. C. D.8.设函数f(x)=ax+12-1,gx=cosx+2ax,当x-1,1时,曲线y=f(x)与y=g(x)交点个数的情况有( )种.A.1B.2C.3D.4二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)9.下列叙述正确的是( )A.若等差数列an的公差d>0,则数列an为递增数列B.若等比数列bn的公比q>1,则数列bn为递增数列C.若b2=ac,则a、b、c成等比数列D.若S2n-1是等比数列cn的前2n-1项和,则S2n-1=0无解10.设函数f(x)=-x+alnx+b,若f(x)0,则a2+b2的最值情况是( )A.有最大值B.无最大值C.有最小值D.无最小值11.定义在R上的函数fx的导函数为gx,且满足下列条件:f2x+f-2-2x=0,g2x=-g(2-2x),且f1=1.则下列正确的是( )A.函数y=gx的周期为8 B.函数y=g2x的图象关于点1,0对称C.函数y=fx的图象关于点-1,0对称 D.i=12024f(i)=0三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上.)12.若数列an的通项公式是an=2n,且等比数列bn满足b2=a1,b5=a8,则bn=_____.13.设函数f(x)=sinx>0,已知f(x1)=1,f(x2)=0,且x1-x2的最小值为2,则=_____.14.在如下图的44的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有1个方格被选中,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最小值是_____.8273262323376362738665263966四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(13分) 2021年8月,义务教育阶段“双减”政策出台,某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程.为了进一步了解学生选课的情况,随机选取了400人进行调查问卷,整理后获得如下统计表:喜欢奥数不喜欢奥数总计已选奥数课(A组)15050200未选奥数课(B组)90110200总计240160400(1)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人,则应在A组、B组各抽取多少人？(2)依据小概率值=0.005的独立性检验,能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？附:参考公式:,其中.16.(15分)阅读一元二次方程韦达定理的推导过程,完成下列问题:设一元二次方程ax2+bx+c=0a0,a,b,cR的两根为x1,x2,则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),展开得: ax2+bx+c=ax2-ax1+x2x+ax1x2,比较系数得: b=-ax1+x2,c= ax1x2,于是x1+x2=-ba,x1x2=ca.(1)已知一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0a0,a,b,c,dR的三个根为x1,x2,x3,类比于上述推导过程,求x1x2x3;(2)已知fx=x3-6x2+9x+1,若存在三个不相等的实数m,n,t,使得fm=fn=ft,求mnt的取值范围.17.(15分)如图所示,l1与l2之间的距离为2,l2与l3之间的距离为1,且点A、B、C分别在l1、l2、l3上运动,CAB=3,令CAF=.(1)判断ABC能否为正三角形？若能,求出其边长的值;若不能,请说明理由;(2)求ABC面积的最小值.18.(17分)已知函数fx=12ax2+4x-lnx(aR).(1)若函数y=fx在0,+上是减函数,求实数a的取值范围;(2)“若函数y=fx在(0,1)上只有一个极值点,求实数a取值的集合”,某同学给出了如下解法:由f'x=24ax+4-1x=24ax2+4x-1x=0在(0,1)上只有一个实数根,所以=16+96a=0,得a=-16,此时x=120,1.所以,实数a取值的集合为{-16}.上述解答正确吗？若不正确,说明理由,并给出正确的解答;(3)若函数fx有两个极值点x1,x2,证明:fx1+fx2>3+2ln2.19.(17分)设函数fx=ex.(1)设g(x)=fx-ax-1,讨论g(x)的单调区间;(2)设曲线y=fx在点(n,fn)(n2,nN)处的切线与x轴、y轴围成的三角形面积为Sn,令cn=Snn2,求i=2nlncn;(3)若,faxsinx-cosx+2,求实数a的取值范围.绵阳南山中学集团学校高2022级10月联考数学参考答案一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.)D B D A A B B C二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.)9.AD 10.BC 11.ACD三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)12.2n-1 13.1 14.126四、解答题(本题共5小题,共77分.)15.(1)应在A组抽取人,应在B组抽取人.(2)零假设为H0：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联,根据列联表中的数据,经计算可得,根据小概率值=0.005的独立性检验,我们推断零假设不成立,即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.16.(1)由题意知ax3+bx2+cx+d= a(x-x1)(x-x2)(x-x3),展开得: ax3+bx2+cx+d=ax3-ax1+x2+x3x2+ax1x2+x2x3+x3x1 x-ax1x2x3,比较系数得d=-ax1x2x3,即x1x2x3=-da.(2) 令fm=fn=ft=s,则m,n,t是方程fx-s=0的三根,即为x3-6x2+9x+1-s=0的三个不等根,由上知mnt=s-1.f'x=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1),于是fx在-,1上递增,在1,3上递减,在3,+上递增,且f0=f3=1,f1=f4=5,函数fx的大致图象如下:为使得y=fx与y=s有三个不同的交点,则s1,5,故mnt=s-10,4.17.如下图所示,过C作CDl1,过B作BEl1,垂足分别为D、E.因CAF=,且CAB=3,所以0<<23,BAE=23-.在ACD中,AC=3sin,在ABE中,AB=2sin23-.(1)由ABC是正三角形,则AC=AB,即3sin=2sin23-,3sin23-=2sin,332cos=12sin,得tan=33,于是sin=3327,所以边长AC=3sin=2213.(2)由上知,SABC=12ABACsin3=3321sinsin23-=332132sincos+12sin2.而32sincos+12sin2=34sin2-14cos2+14=12sin(2-6)+14.因为0<<23,所以-6<2-6<76,所以当2-6=2,即=3时,32sincos+12sin2取最大值34.从而=3时,SABC取最小值33243=23,故SABC的最小值为23.18.(1)f'x=24ax+4-1x=24ax2+4x-1x,由条件知f'x0x>0恒成立,即24ax2+4x-1024a(1x)2-41x=(1x-2)2-4,因为=(1x-2)2-4-4,所以24a-4,则a-16.(2)上述解答不正确.由条件知,gx=24ax2+4x-1在(0,1)上只有一个变号零点.当a=0时,gx=0得x=140,1,且fx在(0,14)上是减函数,在(14,1)上是增函数,符合题意;当a>0时,为使gx在0,1上只有一个变号零点,则a>0g10,解得a>0;当a<0时,为使gx在0,1上只有一个变号零点,则a<0g10,解得-18a<0.综上,实数a取值的集合是[-18,+).(3)因为函数fx有两个极值点x1,x2,所以gx=24ax2+4x-1=0在(0,+)上的两个不等实根为x1,x2,于是=16+96a>0-112a>0-1614,于是fx1+fx2=1+8t-lnt.令ht=1+8t-lnt(t>14), h't=8-1t=8t-1t>0,所以ht=1+8t-lnt在(14,+)上是增函数,所以ht>h(14)=3+2ln2,即fx1+fx2>3+2ln2.19.(1)g(x)=ex-ax-1,则g'(x)=ex-a。若a0,则g'(x)>0,g(x)在(-,+)上单调递增;若a>0,令g'(x)=0,解得x=lna当x(-lna)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x(lna,+)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.综上,当a0时,g(x)的单调递增区间为(-,+);当a>0时,g(x)的单调递减区间为(-,lna),单调递增区间为(lna,+).(2)由题意易得曲线y=fx在点(n,fn)处的切线方程为y-en=en(x-n).设切线与x轴、y轴相交所得的横截距与纵截距分别为an,bn.则令y=0,解得an=n-1,令x=0,解得bn=-en(n-1).则所围成三角形的面积Sn=12anbn=12(n-1)2en则cn=Snn2=(n-1)2en2n2,lncn=ln(n-1)2en2n2=ln12+ln(n-1)2n2+lnen=2lnn-1n+n-ln2,i=2nlncn=i=2n2lnn-1n+n-ln2=i=2n2lnn-1n+i=2nn-i=2nln2=2ln1n+(2+n)(n-1)2-(n-1)ln2=n2+n-22-2lnn-(n-1)ln2.(3)faxsinx-cosx+2即,令,则,当时,因为,所以,,令,则,则函数单调递增,且,即;由(1)可知当a=1时,g(x)g(0)=0,即fxx+1,所以,则,所以函数在上单调递增,且,即恒成立.当时,,存在实数,使得均有,则函数在上单调递减,且,不符合题意,所以当时,不符合题意.综上,a的取值范围为.