高三数学
本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
命题人：陈建骐、张梅宁、陈鑫 校题人：林晓萍、罗鑫、黄伟
第卷 选择题（共 58 分）
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的）
A x Z x 2 B x y ln(1 x)
1. 已知集合 ， ，则 A B 中的元素个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 已知1 2i 是方程 x2 mx 5 0(m R) 的一个根，则 m （ ）
A. 2 B. 2 C. i D. 1
3. 不等式 x2 3x 2 0 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. (1,) B. [1， )
C. ( ， 2][1 ， ) D. (1 ， ) ( ， 2)
cos 2 7 2
4. 已知 0, ，且 5 ，则 tan 2 （ ）．
2 sin
4
7 24 7 24
A. B. C. D.
24 7 24 7
5. 若 a ， b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
2 2
A. a b B. ab C. a b 1 D. a b
6. 如图，在直角梯形 ABCD 中， AD ， AB BC ， BC 2AD 2AB 2 ，将直角梯形 ABCD 沿对角
线折起，使平面 ABD 平面 BCD，则异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为（ ）
6 3 6
A. 0 B. C. D.
6 3 3
7. 设正实数 x, y 满足 x 2 y 3，则下列说法错误的是（ ）
y 3 9
A. 的最小值为 4 B. xy 的最大值为
x y 8
9
C. x 2y 的最大值为 2 D. x2 4y2 的最小值为
2
8. 定义在 0, 上的单调函数 f x ，对任意的 x 0, 有 f f x lnx 1 恒成立，若方程
f x f x m 有两个不同的实数根，则实数 m 的取值范围为（ ）
A. ,1 B. 0,1 C. 0,1 D. ,1
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题所给的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 以下是真命题的是（ ）
A. 已知 a ， b 为非零向量，若 a b a b ，则 a 与 b 的夹角为锐角
B. 已知 a ， b ， c 为两两非共线向量，若 a b a c ，则 a b c
C. 在三角形 ABC 中，若 a cos A bcos B ，则三角形 ABC 是等腰三角形
D. 若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心
10. 八一广场位置处于解放碑繁华地段，紧挨着得意世界、大融城、八一好吃街等．重庆解放碑是抗战胜
利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念
碑．现某兴趣小组准备在八一广场上对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图， A 为解放碑的
最顶端， B 为解放碑的基座（即 B 在 A 的正下方），在广场内（与 B 在同一水平面内）选取 C ， D 两点，
则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度 AB 的是（ ）
A. CD ， ACB ， BCD ， BDC B. CD ， ACB ， BCD ， ADC
C. CD ， ACB ， BCD ， ACD D. BC ， BD ， ACB ADB
2
11. 设定义在 R 上的函数 f x 与 g x 的导函数分别为 f x 和 g x ．若 f x g 4 x 2 ，
g x f x 2 ，且 f x 2 为奇函数，则（ ）．
A. x R ， f 4 x f x 0 B. g 3 g 5 4
2023 2023
C. f k 0 D. g k 0
k 1 k 1
第卷 非选择题（共 92 分）
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 设函数 f x loga x （ a 0 且 a 1），若 f x1x2 x2021 1010 ，则
2 2 2
f x1 f x2 f x2021 ______．
13. 如图，在VABC 中， AB 4 ， AC 3 ， A 90 ，若 PQ 为圆心为 A 的单位圆的一条动直径，则
BP CQ 的取值范围是__．
14. 已知棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M 为 AB 的中点，P 是平面 ABCD 内的动点，且满足
条件 PD1 3PM ，则动点 P 在平面 ABCD 内形成的轨迹是______．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
15. 在 an1 an 2( an1 1 an 1) ； an an1 8n 4 ( n 2 )两个条件中，任选一个，补充在下
面问题中，并求解.
问题：已知数列{an}中， a1 3 ，__________.
（1）求 an ；
1 1 1
（2）若数列 的前 n 项和为Tn ，证明： Tn .
an 3 2
16. 已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos2 x 1 a （ a 为 常数）.
（1）求 f x 的单调递增区间；
（2）若 f x 在 0, 上有最小值1，求 a 的值.
2
17. 已知圆 x2 y2 9 ，A（1，1）为圆内一点，P，Q 为圆上的动点，且PAQ 90 ，M 是 PQ 的中点．
（1）求点 M 的轨迹曲线 C 的方程；
9 1 1 1 HE
（2）设 E( , ), D( , ) 对曲线 C 上任意一点 H，在直线 ED 上是否存在与点 E 不重合的点 F，使 是
2 2 2 2 HF
常数，若存在，求出点 F 的坐标，若不存在，说明理由
an
18. 已知数列an 与等比数列bn 满足 bn 3 (n N ) ．
（1）试判断an 是 何种数列；
（2）若 a8 a13 m ，求 b1b2 b20 .
f x 1
19. 已知函数 f x x ln x ， g x .
x
（1）求函数 f x 的单调区间；
（2）当 x1 x2 ，且 g x1 g x2 时，证明： x1 x2 2 .
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高三数学
本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
命题人：陈建骐、张梅宁、陈鑫 校题人：林晓萍、罗鑫、黄伟
【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】
第卷 选择题（共 58 分）
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且
只有一项是符合题目要求的）
A x Z x 2 B x y ln(1 x)
1. 已知集合 ， ，则 A B 中的元素个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】先求集合 A、B，再根据交集的定义求出 A B 即可求解.
【详解】解:因为集合 A x Z x 2 2,1,0,1,2 ， B x x 1 ，
所以 A B 2,1,0 ，
故选：A.
2. 已知1 2i 是方程 x2 mx 5 0(m R) 的一个根，则 m （ ）
A. 2 B. 2 C. i D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】法一:将复数代入二次方程，利用复数相等求解；法二：利韦达定理求解.
【详解】方法 1：由题意知 (1 2i)2 m(1 2i) 5 0 ，即 2 m (4 2m)i 0 ，解得 m 2 .
方法 2：根据虚根成对知 12i 也是方程的根，由韦达定理得 (1 2i) (1 2i) m ，所以 m 2 .
故选:A.
3. 不等式 x2 3x 2 0 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. (1,) B. [1， )
C. ( ， 2][1 ， ) D. (1 ， ) ( ， 2)
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，根据集合的包含关系求出答案即可．
2
【详解】 x 3x 2 0 ，
(x 1)(x 2) 0 ，
解得： x 1 或 x 2 ，
故不等式 x2 3x 2 0 成立的一个充分不必要条件是 (1,) ，
故选： A ．
【点睛】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．
cos 2 7 2
4. 已知 0, ，且 5 ，则 tan 2 （ ）．
2 sin
4
7 24 7 24
A. B. C. D.
24 7 24 7
【答案】D
【解析】
7
【分析】由余弦的二倍角公式和两角差正弦公式可得 cos sin ，
5
结合 cos2 sin2 1 求出 tan 的值，再根据正切的二倍角公式即可.
cos2 cos2 sin2 7 2
2 cos sin
【详解】 2 5 ，
sin sin cos
4 2
7
故 cos sin ，
5
又因为 0, ，且 cos2 sin2 1 ．
2
3 4 4 3 4 3
故 cos ， sin 或 cos ， sin ，则 tan 或 ，
5 5 5 5 3 4
2 tan 24
故 tan2 ，
1 tan2 7
故选：D．
5. 若 a ， b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
2 2
A. a b B. ab C. a b 1 D. a b
【答案】D
【解析】
【分析】 a ， b 是两个单位向量，则 a b 1，但 a ， b 方向不能确定，即可判断 AB；利用数量积的定
义与性质可判断 CD．
【详解】 a ， b 是两个单位向量，则 a b 1，但 a ， b 方向不能确定，故选项 AB 错误；
a b a b cos a,b cos a,b ，只有 a ， b 同向共线时，才有 cos a,b 1，故选项 C 错误；
2 2 2 2 2 2
a a 1， b b 1，a b ，选项 D 正确.
故选：D.
6. 如图，在直角梯形 ABCD 中， AD ， AB BC ， BC 2AD 2AB 2 ，将直角梯形 ABCD 沿对角
线折起，使平面 ABD 平面 BCD，则异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为（ ）
6 3 6
A. 0 B. C. D.
6 3 3
【答案】B
【解析】
【分析】取 BD 的中点 F，连接 AF，则 AF BD ，通过面面垂直的性质定理可得到 AF 平面 BCD．
1
过 C 作 CE ，且使 CE BD ，连接 AE，EF，BE，FC 则 ACE 为所求的角，
2
在AEC 分别求出 CE，AC 的大小，即可求出答案.
【详解】在直角梯形 ABCD 中，因为 BC 2AD 2AB 2 ， AD ， AB BC ，所以，
BD CD 2 ，取 BD 的中点 F，连接 AF，则 AF BD ．
又因为平面 ABD 平面 BCD 且交于 BD，所以 AF 平面 BCD．
1
过 C 作 CE ，且使 CE BD ，连接 AE，EF，BE，FC 则 ACE 为所求的角．
2
10
在 RtAFC 中， AC 3 ，在 RtAFE 中， AE ．
2
2
因为 CE ，所以AEC 为直角三角形．
2
CE 6 6
所以 cosACE ，所以异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为 ．
AC 6 6
故选：B.
7. 设正实数 x, y 满足 x 2 y 3，则下列说法错误的是（ ）
y 3 9
A. 的最小值为 4 B. xy 的最大值为
x y 8
9
C. x 2y 的最大值为 2 D. x2 4y2 的最小值为
2
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.
y 3 y x 2 y y x yx
【详解】对于 A， 2 2 2 4 ，当且仅当 x y 1 时取等号，故
x y x y x y xy
A 正确；
2
1 1 x 2y 1 9 9 3 3
对于 B， xy x 2y ，当且仅当 x 2y ，即 x , y 时取等号，故
2 2 2 2 4 8 2 4
B 正确；
9
对于 C， ( x 2 y )2 x 2 y 2 2xy 3 2 2 3 3 6 ，
8
3 3
则 x 2y 6 ，当且仅当 x 2y ，即 x , y 时，故 C 错误；
2 4
9 9 3 3
对于 D， x2 4 y2 (x 2 y)2 4xy 9 4 ，当且仅当 x , y 时取等号，故 D 正确.
8 2 2 4
故选：C.
8. 定义在 0, 上的单调函数 f x ，对任意的 x 0, 有 f f x lnx 1 恒成立，若方程
f x f x m 有两个不同的实数根，则实数 m 的取值范围为（ ）
A. ,1 B. 0,1 C. 0,1 D. ,1
【答案】B
【解析】
【分析】由条件单调函数 f x ，对任意的 x 0, 都有 f f x lnx 1 ，故必有
f x lnx t ，且 f (t) 1，即可求得 f (x) ，再根据导数研究函数的性质，求得方程
f x f x m 有两个不同的实根满足的条件，求得 m 的取值范围.
【详解】由于函数 f x 为 单调函数，则不妨设 f x lnx t ，则 f (t) 1，
1
且 f t ln t 1 ln t t ，解得 t 1，所以 f x lnx 1, f x .
x
ln x 1
设 g x f x f x ，
x
ln x 1
则方程 f x f x m 有两个不同的实数根等价于函数 g x 与 y m 有两个不同的交点.
x
ln x 1 1 ln x 1 ln x
，
g x 2 2 2
x x x x x
易得当 x (0,1) 时， g(x) 0 ；当 x (1,) 时， g(x) 0 ，
所以函数 g x 在( 0, 1) 上单调递增，在 (1,) 上单调递减，
所以 g(x)max g(1) 0 .
1
又 g 0 ，且当 x 时， g x 0 .
e
ln x 1
故函数 g x 与 y m 有两个不同的交点则 m0,1 .
x
故选：B
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题所给的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 以下是真命题的是（ ）
A. 已知 a ， b 为非零向量，若 a b a b ，则 a 与 b 的夹角为锐角
B. 已知 a ， b ， c 为两两非共线向量，若 a b a c ，则 a b c
C. 在三角形 ABC 中，若 a cos A bcos B ，则三角形 ABC 是等腰三角形
D. 若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心
【答案】BD
【解析】
【分析】A：将已知条件两边同时平方，整理得到 a b 0 ，结合平面向量的数量积的定义得到
cos a,b 0 ，由平面向量的夹角范围可得 a,b 0, ，进而可以判断选项；B：将已知条件变形为
2
a b c 0 ，结合平面向量数量积即可判断选项；
C：结合正弦定理化简整理即可判断三角形的形状；
D：作出图形，证得PAO PBO PCO ，即可得到 AO BO CO ，结合三角形外心的性质即可判
断.
2 2
【详解】A：因为 a b a b ，两边同时平方，得 a b a b ，即
2 2 2 2
a b 2a b a b 2a b ，所以 a b 0 ，因此 cos a,b 0 ，因为 a,b 0, ，所以
a,b 0, ，因此 a 与 b 的夹角为锐角或零角，故 A 错误；
2
B：因为 a b a c ，所以 a b c 0 ，又因为 a ， b ， c 为两两非共线向量，则 a 0,b c 0 ，所
以 a b c ，故 B 正确；
C：因为 a cos A bcos B ，结合余弦定理得 sin Acos A sin B cos B ，所以 sin 2A sin 2B ，所以
2A 2B 或 2A 2B ，即 A B 或 A B ，所以角形 ABC 是等腰三角形或直角三角形，故 C 错
2
误；
D：