第十二讲 圆锥曲线中的求值、证明与探索性问题（原卷版）

第十二节圆锥曲线中的求值、证明与探索性问题题型归纳题型一求值问题例1(2022新高考卷)已知点A(2，1)在双曲线C：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,a21)1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；(2)若tanPAQ2eq\r(2)，求PAQ的面积．感悟提升求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．训练1(2022北京卷)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，焦距为2eq\r(3).(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(2，1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当|MN|2时，求k的值．题型二证明问题例2(2023济南模拟)双曲线C：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(a0，b0)经过点(eq\r(3)，1)，且渐近线方程为yx.(1)求a，b的值；(2)点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，ABD的外接圆经过原点O.求证：直线AB与圆x2y21相切．感悟提升圆锥曲线中的证明问题常见的有：(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等．(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明．训练2如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于M，N两点(点M在点N的下方)，且|MN|3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆eq\f(x2,8)eq\f(y2,4)1相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：ANMBNM.题型三探索性问题例3(2023南阳模拟)已知O为坐标原点，椭圆：eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)1(ab0)的右顶点为A，离心率为eq\f(\r(3),2).动直线l：yeq\f(1,m)(x1)与相交于B，C两点，点B关于x轴的对称点为B，点B到的两焦点的距离之和为4.(1)求的标准方程；(2)若直线BC与x轴交于点M，OAC，AMC的面积分别为S1，S2，问：eq\f(S1,S2)是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．感悟提升此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．训练3(2023广州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(2，0)，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为eq\f(3,4)，点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)已知点F(1，0)，直线l：x4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数，使得MFDNFD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．课时训练一、单选题1．已知点是椭圆上非顶点的动点，，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，若是的平分线上一点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．2．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）．A．经过点B．经过点C．平行于直线D．垂直于直线3．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．4．祖暅(公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家).他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面的平面于距平面任意高处截得到及两截面，可以证明总成立据此，短轴长为，长轴为的椭球体的体积是（）.A．B．C．D．5．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（）A．B．C．D．6．运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等．现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）．A．B．C．D．二、填空题7．如图，F1、F2分别是双曲线C：y21的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A、B两点，若，0，则双曲线C的焦距|F1F2|为_____．8．设椭圆：，直线过的左顶点交轴于点，交于点，若是等腰三角形（为坐标原点），且，则的长轴长等于_________.9．已知直线与圆，则圆上各点到的距离的最小值为_____________.三、解答题10．已知曲线，过点作直线和曲线交于A、B两点．(1)求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离；(2)若，点在第一象限，轴，垂足为，连结，求直线倾斜角的取值范围；(3)过点作另一条直线，和曲线交于、两点，问是否存在实数，使得和同时成立？如果存在，求出满足条件的实数的取值集合，如果不存在，请说明理由．11．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于和两点，且．（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值．12．已知椭圆：()四个顶点恰好是边长为，一内角为的菱形的四个顶点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线交椭圆于、两点，在直线：上存在点，使得为等边三角形，求的值．13．已知抛物线和圆，抛物线的焦点为.（1）求的圆心到的准线的距离；（2）若点在抛物线上，且满足，过点作圆的两条切线，记切点为，求四边形的面积的取值范围；（3）如图，若直线与抛物线和圆依次交于四点，证明:的充要条件是“直线的方程为”14．已知双曲线的焦距为4，直线与交于不同的点D、E，且时l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.(1)求双曲线的方程；(2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围.15．已知椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆经过点.(1)求该椭圆的方程；(2)若A为椭圆的左顶点，直线AM、AN与椭圆分别交于点M、N，且，连接MN，试问：直线MN是否恒过x轴上的一个定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由.16．等轴双曲线是离心率为的双曲线，可建立合适的坐标平面使之为反比例函数．（1）在等轴双曲线上有三点，，，其横坐标依次是，，．设，，分别为，，的中点，试求的外接圆圆心的横坐标．（2）双曲线的渐近线为和，上有三个不同的点，，，直线、直线、直线与分别交于，，，过，，分别作直线、直线、直线的垂线，，．（i）当为等轴双曲线时，证明：，，三线共点．（ii）当不为等轴双曲线时，记，，分别是与，与，与的交点，类似地从另一条渐近线出发来定义，，．证明：．17．给出如下的定义和定理：定义：若直线l与抛物线有且仅有一个公共点P，且l与的对称轴不平行，则称直线l与抛物线相切，公共点P称为切点.定理：过抛物线上一点处的切线方程为.完成下述问题：如图所示，设E，F是抛物线上两点.过点E，F分别作抛物线的两条切线，，直线，交于点C，点A，B分别在线段，的延长线上，且满足，其中.(1)若点E，F的纵坐标分别为，，用，和p表示点C的坐标.(2)证明：直线与抛物线相切；(3)设直线与抛物线相切于点G，求.