专题 08 计数原理、概率及统计
考点一 众数、中位数、平均数
1．【多选】（2023新高考）有一组样本数据 x1 ， x2 ， ， x6 ，其中 x1 是最小值， x6 是最大值，则 (
)
A． x2 ， x3 ， x4 ， x5 的平均数等于 x1 ， x2 ， ， x6 的平均数
B． x2 ， x3 ， x4 ， x5 的中位数等于 x1 ， x2 ， ， x6 的中位数
C． x2 ， x3 ， x4 ， x5 的标准差不小于 x1 ， x2 ， ， x6 的标准差
D． x2 ， x3 ， x4 ， x5 的极差不大于 x1 ， x2 ， ， x6 的极差
2．（2023上海）现有某地一年四个季度的 GDP （亿元），第一季度 GDP 为 232（亿元），第四季度 GDP
为 241（亿元），四个季度的 GDP 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的 GDP 为 ．
3．（2020上海）已知有四个数 1，2， a ， b ，这四个数的中位数是 3，平均数是 4，则 ab ．
考点二 极差、方差与标准差
4．【多选】（2021新高考）下列统计量中，能度量样本 x1 ， x2 ， ， xn 的离散程度的有 ( )
A．样本 x1 ， x2 ， ， xn 的标准差 B．样本 x1 ， x2 ， ， xn 的中位数
C．样本 x1 ， x2 ， ， xn 的极差 D．样本 x1 ， x2 ， ， xn 的平均数
5．【多选】（2021新高考）有一组样本数据 x1 ， x2 ， ， xn ，由这组数据得到新样本数据 y1 ， y2 ，
， yn ，其中 yi xi c(i 1 ，2， ， n) ， c 为非零常数，则 ( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
考点三 古典概型及其概率计算公式
6．（2022新高考）从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为 ( )
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 3
7．（2022上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类 1 项，球类 3 项，田径类 4 项共 8 项项目中随
机抽取 4 项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．
8．（2021上海）已知花博会有四个不同的场馆 A ， B ， C ， D ，甲、乙两人每人选 2 个去参观，则他们
的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ．
9．（2019上海）某三位数密码，每位数字可在 0 9 这 10 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两
位数字相同的概率是 ．
考点四 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
10．（2021新高考）有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每
次取 1 个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙
表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则 ( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
11．【多选】（2023新高考）在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立．发送 0 时，收到 1 的概率
为 (0 1) ，收到 0 的概率为1 ；发送 1 时，收到 0 的概率为 (0 1) ，收到 1 的概率为1
．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送 1 次，三次传输是指每个信号
重复发送 3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，
收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到 1，0，1，则译码为1)( )
A．采用单次传输方案，若依次发送 1，0，1，则依次收到 1，0，1 的概率为 (1)(1 )2
B．采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到 1，0，1 的概率为 (1 )2
C．采用三次传输方案，若发送 1，则译码为 1 的概率为 (1 )2 (1 )3
D．当 0 0.5 时，若发送 0，则采用三次传输方案译码为 0 的概率大于采用单次传输方案译码为 0
的概率
考点五 频率分布直方图
12．（2023新高考）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差
异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c ，将该指标大于 c 的人判定为阳性，小于或等于 c 的人
判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p （c）；误诊率是将未患病者判定
为阳性的概率，记为 q （c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率 p （c） 0.5% 时，求临界值 c 和误诊率 q （c）；
（2）设函数 f （c） p （c） q （c）．当 c [95 ，105]，求 f （c）的解析式，并求 f （c）在区间[95 ，
105]的最小值．
13．（2022新高考）在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100
位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20 ， 70) 的概率；
（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为 0.1% ，该地区年龄位于区间[40 ， 50) 的人口占该地区总人口的
16% ．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40 ， 50) ，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中
患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001 ) ．
考点六 分类加法计数原理
14．（2020上海）已知 A {3 ， 2 ， 1，0，1，2， 3}， a 、 b A ，则| a || b | 的情况有种．
考点七 排列、组合及简单计数问题
15．（2023新高考）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样
调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学
生，则不同的抽样结果共有 ( )
45 15 20 40
A． C400 C200 种 B． C400 C200 种
30 30 40 20
C． C400 C200 种 D． C400 C200 种
16．（2022新高考）甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同的排列方式共有 ( )
A．12 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种
17．（2020海南）要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一
名志愿者，则不同的安排方法共有 ( )
A．2 种 B．3 种 C．6 种 D．8 种
18．（2020山东）6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1
名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有 ( )
A．120 种 B．90 种 C．60 种 D．30 种
19．（2023新高考）某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课，学生需从这 8 门课中选修 2
门或 3 门课，并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
20．（2020上海）从 6 个人挑选 4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排 1 个人，第二天安排 1 个人，
第三天安排 2 个人，则共有种安排情况．
21．（2019上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其
中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示）
考点八 二项式定理
100 100 2 99 100
22．（2023上海） 已知 (1 2023x) (2023 x) a0 a1x a2 x a99 x a100 x ，若存在 k {0 ，
1，2， ，100}使得 ak 0 ，则 k 的最大值为 ．
23．（2022上海）二项式 (3 x)n 的展开式中， x2 项的系数是常数项的 5 倍，则 n ．
4 2 3 4 5
24．（ 2022浙江） 已 知 多 项 式 (x 2)(x 1) a0 a1x a2 x a3 x a4 x a5 x ， 则 a2 ，
a1 a2 a3 a4 a5 ．
y
25．（2022新高考） (1 )(x y)8 的展开式中 x2 y6 的系数为 （用数字作答）．
x
3 4 4 3 2
26．（ 2021浙江） 已 知 多 项 式 (x 1) (x 1) x a1x a2 x a3 x a4 ， 则 a1 ； a2 a3 a4
．
27．（2021上海）已知二项式 (x a)5 展开式中， x2 的系数为 80，则 a ．
28．（2021上海）已知 (1 x)n 的展开式中，唯有 x3 的系数最大，则 (1 x)n 的系数和为．
5 2 3 4 5
29．（ 2020浙江） 二 项 展 开 式 (1 2x) a0 a1x a2 x a3 x a4 x a5 x ， 则 a4 ， a1 a3 a5
．
30．（2020上海）已知二项式 (2x x)5 ，则展开式中 x3 的系数为．
31．（2019上海）已知二项式 (2x 1)5 ，则展开式中含 x2 项的系数为．
32．（2019浙江）在二项式 ( 2 x)9 展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．
1
33．（2019上海）在 (x )6 的展开式中，常数项等于 ．
x
考点九 离散型随机变量及其分布列
34．（2019浙江）设 0 a 1 ．随机变量 X 的分布列是
X 0 a 1
P 1 1 1
3 3 3
则当 a 在 (0,1) 内增大时， ( )
A． D(X ) 增大 B． D(X ) 减小
C． D(X ) 先增大后减小 D． D(X ) 先减小后增大
考点十 离散型随机变量的期望与方差
35．（2022浙江）现有 7 张卡片，分别写上数字 1，2，2，3，4，5，6．从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，
记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 P( 2) ， E( ) ．
36．（2021浙江）袋中有 4 个红球， m 个黄球， n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，若
1 1
取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 m n ， E( ) ．
6 3
37．（2020浙江）盒中有 4 个球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球．从盒中随机取球，每次取 1 个，
不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为 ，则 P( 0) ， E( ) ．
38．（2023上海）2023 年 6 月 7 日，21 世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有 25 个汽车
模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件 A 为小明取到红色外观的模型，事件 B 为小明取到棕
色内饰的模型，求 P （B）和 P(B | A) ，并判断事件 A 和事件 B 是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，
给出以下假设：
假设 1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅
内饰同色；
假设 2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设 3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖 600 元，二等奖 300 元、三等奖 150 元；
请你分析奖项对应的结果，设 X 为奖金额，写出 X 的分布列并求出 X 的数学期望．
39．（2023新高考）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未
命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为
0.8．由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5．
（1）求第 2 次投篮的人是乙的概率；
（2）求第 i 次投篮的人是甲的概率；
（ 3） 已 知 ： 若 随 机 变 量 X i 服 从 两 点 分 布 ， 且 P(X i 1) 1 P(X i 0) qi ， i 1 ， 2， ， n ， 则
n n
．记前 次（即从第 次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
E( X i ) qi n 1 n Y E(Y )
i1 i1
40．（2021新高考）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经
过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代，，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有
相同的分布列，设 X 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数， P(X i) pi (i 0 ，1，2， 3) ．
（）已知 p0 0.4 ， p1 0.3 ， p2 0.2 ， p3 0.1，求 E(X ) ；
（ ） 设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率， p 是 关 于 x 的 方 程 ：
2 3
p0 p1x p2 x p3 x x 的一个最小正实根，求证：当 E(X ) 1时， p 1 ，当 E(X ) 1时， p 1；
（）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
41．（2021新高考）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A ， B 两类问题．每位参加比赛的同学先在
两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一
类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束． A 类问题中的每个问题回答正
确得 20 分，否则得 0 分； B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分．
已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率
与回答次序无关．
（1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
考点十一 正态分布
42．（2021新高考）某物理量的测量结果服从正态分布 N(10, 2 ) ，则下列结论中不正确的是 ( )
A． 越小，该物理量在一次测量中落在 (9.9,10.1) 内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5
C．该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等
D．该物理量在一次测量中结果落在 (9.9,10.2) 与落在 (10,10.3) 的概率相等
43．（2022新高考）已知随机变量 X 服从正态分布 N(2, 2 ) ，且 P(2 X 2.5) 0.36 ，则 P(X 2.5)
．
考点十二 散点图
44．（2023上海）根据所示的散点图，下列说法正确的是 ( )
A．身高越大，体重越大 B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关 D．身高和体重成负相关
考点十三 独立性检验
45．（2022新高考）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良
好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例（称为病例组），同时在未患该疾
病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有 99% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人， A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， B 表示事件“选到的人患
P(B | A) P(B | A)
有该疾病”， 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该
P(B | A) P(B | A)
指标为 R ．
P(A | B) P(A | B)
（）证明： R ；
P(A | B) P(A | B)
（）利用该调查数据，给出 P(A | B) ， P(A | B) 的估计值，并利用（）的结果给出 R 的估计值．
n(ad bc)2
附： K 2 ．
(a b)(c d)(a c)(b d)
P(K 2… k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
46．（2020山东）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了
3
100 天空气中的 PM 2.5 和 SO2 浓度（单位： g / m ) ，得下表：
[0 ， 50] (50 ，150] (150 ， 475]
[0 ， 35] 32 18 4
(35 ， 75] 6 8 12
(75 ，115] 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中 PM 2.5 浓度不超过 75，且 SO2 浓度不超过 150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表：
[0 ，150] (150 ， 475]
[0 ， 75]
(75 ，115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM 2.5 浓度与 SO2 浓度有关？
n(ad bc)2
附： K 2
(a b)(c d)(a c)(b d)
P(K 2… k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828