2014年海南省高考数学试题及答案（理科）

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二）第卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=0,1,2，N=，则=( )A. 1B. 2C. 0，1D. 1，22.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk，则（ ）A. - 5B. 5 C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( )A. 5B. C. 2D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. B. C. D. 7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9.设x,y满足约束条件，则的最大值为（ ）A. 10 B. 8 C. 3 D. 210.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ ）A. B. C. D. 11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 12.设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D.第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.本试题由 HYPERLINK http://gaokao.ccutu.com http://gaokao.ccutu.com整理二.填空题13.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)14.函数的最大值为_________.15.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.16.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得zxxkOMN=45，则的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列满足=1，.（）证明是等比数列，并求的通项公式；（）证明：.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.（）证明：PB平面AEC；（）设二面角D-AE-C为60，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.19. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（）求y关于t的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，20. （本小题满分12分）设,分别是椭圆C:的左,右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.21. （本小题满分12分）已知函数=zxxk（）讨论的单调性；（）设，当时，,求的最大值；（）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做， HYPERLINK http://gaokao.ccutu.com/ 有途高考网同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：（）BE=EC；（）ADDE=223. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.zxxk（）求C的参数方程；（）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定D的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数=（）证明：2；（）若，求的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C填空题（13） （14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1]三、解答题（17）解：（1）由得又，所以，{ } 是首项为，公比为3的等比数列。=，因此{}的通项公式为=（2）由（1）知=因为当n1时，所以，于是，=所以，（18）解：（1）连结BD交AC于点O,连结EO因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为的PD的中点，所以EOPBEO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC（2）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则A—xyz,则D(0, ,0),则E(0, ,),=(0, ,)设B(m,0,0)(m0)，则C（m, ，0）设n(x,y,z)为平面ACE的法向量，则{ 即{ 可取=（,-1, ）又=（1,0,0）为平面DAE的法向量，由题设=，即=，解得m=因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为，三棱锥E-ACD的体积为V==19解：由所得数据计算得=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3=9+4+1+0+1+4+9=28=(-3) （-1.4）+（-2）（-1）+（-1）（-0.7）+00.1+10.5+20.9+31.6=14，b===0.5a=-b=4.3-0.54=2.3所求回归方程为=0.5t+2.3()由（）知，b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元. 将2015年的年份代号t=9代入（1）中的回归方程，得y=0.59+2.3=6.8故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元（20）解：（）根据c=以及题设知M（c，），2=3ac将=-代入2=3ac，解得=，=-2（舍去）故C的离心率为（）由题意，原点O的的中点，My轴，所以直线M与y轴的交点D是线段M的中点，故=4，即  = 1 \* GB3 由=得=设N（x，y），由题意可知y<0,则 即代入方程C，得+=1  = 2 \* GB3 将 = 1 \* GB3 以及c=代入 = 2 \* GB3 得到+=1解得a=7， a=7，（21）解（）+-20，等号仅当x=0时成立，所以f（x）在（—，+）单调递增（）g（x）=f(2x)-4bf(x)=--4b(-)+(8b-4)x (x)=2[++]=2(+)(+)当b2时，g’(x) 0,等号仅当x=0时成立，所以g(x)在(-,+)单调递增，而g(0)=0，所以对任意x>0,g(x)>0;当b>2时，若x满足，2<<2b-2即 00,ln2>>0.6928当b=+1时，ln(b-1+)=lng(ln)=-2+(3+2)ln2<0in2<<0.693(22)解：（1）连结AB,AC由题设知PA=PD,故PAD=PDA因为PDA=DAC+DCAPAD=BAD+PABDCA=PAB所以DAC=BAD,从而。。。。。。。因此=（2）由切割线定理得=PB*PC因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB由相交弦定理得AD*DE=BD*DC所以，AD*DE=2 (23)解：（1）C的普通方程为 +=1(0)可得C的参数方程（t为参数，0（）设D（1+cost,sint).由（）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。因为C在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同。 tant=，t=/3.故D的直角坐标为（1+cos/3，sin/3）,即（3/2, /2）.(24)解：（）由a>0,有f（x）=x+1/a+x-ax+1/a-(x-a)=1/a+a2.所以f（x）2.（）f（x）=3+1/a+3-a.当a3时，f（3）=a+1/a，由f（3）5得3a当0答案：D（2）设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则(A) (B) (C) (D) 解析：，，答案：A（3）设向量，满足，，则(A) 1(B) 2(C) 3(D) 5解析：，，……，……．由得：答案：A（4）钝角三角形的面积是，，，则(A) 5(B) (C) 2(D) 1解析：，即：，，即或．又或5，又为钝角三角形，，即：答案：B（5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(A) 0.8(B) 0.75(C) 0.6(D) 0.45解析：此题为条件概率，所以答案：A（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件有一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(A) (B) (C) (D) 解析：原来毛坯体积为：，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm，高为4cm的圆柱和右侧底面半径为3cm，高为2cm的圆柱构成，所以该零件的体积为：，则切削掉部分的体积为，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为结束输出，开始输入，是否答案：C（7）执行右面的程序框图，如果输入的，均为2，则输出的(A) (B) (C) (D) 解析：输入的，均为2．是，，，；是，，，，否，输出答案：D（8）设曲线在点处的切线方程为，则(A) (B) (C) (D) 解析：，且在点处的切线的斜率为2，，即答案：D（9）设，满足约束条件，则的最大值为(A) (B) (C) (D) 解析：作出，满足约束条件表示的平面区域如图阴影部分：做出目标函数：，，当的截距最小时，有最大值。当经过点时，有最大值。由得：此时：有最大值答案：B（10）设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为(A) (B) (C)(D)解析：，设、，直线的方程为，代入抛物线方程得：，， 由弦长公式得 由点到直线的距离公式得：到直线的距离 答案：D（11）直三棱柱中，，，分别是，的中点， ，则与所成角的余弦值为(A) (B) (C) (D) 解析：如图所示，取的中点，连结、 ，分别是，的中点， 四边形为平行四边形， 所求角的余弦值等于的余弦值 不妨令，则 ，答案：C（12）设函数．若存在的极值点满足，则的取值范围是(A) (B) (C) (D)解析：，令得：，又，即：，，故：，即：，故：或答案：C第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）的展开式中，的系数为，则 ．（用数字填写答案）解析：，，即，，解之：答案：（14）函数的最大值为 ．解析：的最大值为1答案：1 （15）已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是 ．解析：是偶函数，，又在单调递减，，解之：答案： （16）设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是 ．解析：由图可知点所在直线与圆相切，又，由正弦定理得：，即：又，，即，解之：答案：