2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学一、选择题1．已知集合M{x|40，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 QUOTE QUOTE ， QUOTE QUOTE 0，则C的离心率为________．三、解答题17．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若 QUOTE ab2c，求sin C.18．如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值．19．已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为 QUOTE 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF||BF|4，求l的方程；(2)若 QUOTE 3 QUOTE ，求|AB|.20．已知函数f(x)sin xln(1x)，f(x)为f(x)的导数，证明：(1)f(x)的区间 QUOTE 上存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点．21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，…，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)．假设0.5，0.8.()证明：{pi1pi}(i0,1,2，…，7)为等比数列；()求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．22．[选修44：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 QUOTE (t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos QUOTE sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．23．[选修45：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1) QUOTE QUOTE QUOTE a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.