本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟．第
卷 1 至 3 页，第卷 4 至 6 页．
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置
粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结
束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．
参考公式：
PABPAPB= +
如果事件 AB， 互斥，那么 U ．
P AB= P A P B
如果事件 AB， 相互独立，那么 ．
4
VR= 3
球的体积公式 3 ，其中 R 表示球的半径．
1
V= Sh
圆锥的体积公式 3 ，其中 S 表示圆锥的底面面积， h 表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
A = 1,2,3,4 B = 2,3,4,5
1. 集合 ， ，则 ABI = （ ）
A. 1,2,3,4 B. 2,3,4 C. 2,4 D. 1
2. 设 a, b R ，则“ a3= b 3 ”是“ 3a= 3 b ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）
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A. B.
C. D.
4. 下列函数是偶函数的是（ ）
ex - x2 cos x+ x2 ex - x sinx+ 4 x
A. y = B. y = C. y = D. y =
x2 +1 x2 +1 x +1 e|x |
-0.3 0.3
5. 若 a=4.2， b = 4.2， c = log4.2 0.2 ，则 a， b， c 的大小关系为（ ）
A. a>b >c B. b>a >c C. c>a >b D. b>c >a
6. 若 m, n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
若 ， n a ，则 若 m//a , n // a ，则
A. m //a m// n B. m// n
C. 若 m//a , n ^ a ，则 m^ n D. 若 m//a , n ^ a ，则 m 与 n 相交
7. 已知函数 f x =sin3w x + w >0 的最小正周期为 ．则函数在 - , 的最小值是（ ）
3 12 6
3 3 3
A. - B. - C. 0 D.
2 2 2
x2 y 2
8. 双曲线 - =1()a >0，b >0 的左、右焦点分别为 FFP1、 2. 是双曲线右支上一点，且直线 PF2 的斜
a2 b 2
率为 2．PF1 F 2 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
x2 y2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2
A. - =1 B. - = 1 C. - =1 D. - = 1
8 2 8 4 2 8 4 8
9. 一 个 五 面 体 ABC- DEF ． 已 知 AD BE CF ， 且 两 两 之 间 距 离 为 1 ． 并 已 知
AD=1， BE = 2， CF = 3 ．则该五面体的体积为（ ）
3 3 3 1 3 3 3 1
A. B. + C. D. -
6 4 2 2 4 2
第卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共 11 小题，共 105 分．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给
3 分，全部答对的给 5 分．
10. 已知 i 是虚数单位，复数 5+ i 5 - 2i = ______．
6
3 x3
11. 在 的展开式中，常数项为______．
3 +
x 3
12. (x- 1)2 + y 2 = 25 的圆心与抛物线 y2 =2 px ( p >0) 的焦点 F 重合， A 为两曲线的交点，则原点到直线
AF 的距离为______．
13. ABCDE,,,, 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到 A 的概率为______；已知乙选了 A
活动，他再选择 B 活动的概率为______．
1 uur uur uuur
14. 在边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 为线段 CD 的三等分点， CE= DE, BE =l BA + m BC ，则
2
uuur uuur
l+ m = ______；若 F 为线段 BE 上的动点， G 为 AF 中点，则 AF DG 的最小值为______．
15. 若函数 f x =2 x2 - ax - ax - 2 + 1 有唯一零点，则 a 的取值范围为______．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
9a 2
16. 在 ABC 中， cosB=， b = 5， = ．
V 16c 3
（1）求 a ；
（2）求 sinA ；
（3）求 cosBA- 2 ．
17. 已知四棱柱 ABCD- A1 B 1 C 1 D 1 中，底面 ABCD 为梯形， AB// CD ， AA1 ^ 平面 ABCD ， AD^ AB ，
其中 AB= AA1 =2, AD = DC = 1． N 是 BC1 1 的中点， M 是 DD1 的中点．
（1）求证 DN1 // 平面 CB1 M ；
（2）求平面 CB1 M 与平面 BB1 CC 1 的夹角余弦值；
（3）求点 B 到平面 CB1 M 的距离．
x2 y 2 1
18. 已知椭圆 + =1(a >b >0) 椭圆的离心率 e = ．左顶点为 A ，下顶点为 BC， 是线段OB 的中点，
a2 b 2 2
3 3
其中 S = ．
ABC 2
（1）求椭圆方程．
3 uur uuur
（2）过点 0,- 的动直线与椭圆有两个交点 PQ， ．在 y 轴上是否存在点T 使得TP TQ 0 恒成
2
立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
19. 已知数列an 是公比大于 0 的等比数列．其前 n 项和为 Sn ．若 a1=1, S 2 = a 3 - 1．
（1）求数列an 前 n 项和 Sn ；
k, n= ak
（2）设 bn = ， b1 =1，其中 k 是大于 1 的正整数．
bn-1+2 k , a k< n< a k + 1
（）当 n= ak+1 时，求证： bn-1 a k b n ；
Sn
（ ）求 ．
bi
i=1
20. 设函数 f x = xln x ．
（1）求 f x 图象上点 1,f 1 处的切线方程；
（2）若 f x a x - x 在 x 0, + 时恒成立，求 a 的取值范围；
1
（3）若 x, x 0,1 ，证明 2 ．
1 2 f x1 - f x 2 x 1 - x 2