高考数学专题2 三角函数压轴小题（解析版）

专题2三角函数压轴小题一、单选题1．（2021·上海市吴淞中学高三期中）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线之间，，与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D，设弧FG的长为，，若从平行移动到，则函数的图像大致是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件求出函数的解析式，再借助函数性质即可判断作答.【详解】依题意，正的高为1，则其边长，如图，连接OF，OG，过O作ON⊥l1于N，交l于点M，过E作EH⊥l1于H，因OF=1，弧FG的长为，则，又，即有，于是得，，，因此，，即，，显然在上单调递增，且图象是曲线，排除选项A，B，而，C选项不满足，D选项符合要求，所以函数的图像大致是选项D.故选：D【点睛】方法点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．2．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知，若存在使得集合中恰有3个元素，则的取值不可能是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在符合题意即可.【详解】解：对A，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；令时，所以存在使得时的值等于时的值，时的值等于时的值，时的值等于时的值.但是当等于、、、时，不存在使得这个值中的任何两个相等所以当时，集合中至少有四个元素，不符合题意，故A错误；对B，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；令，所以当时，符合题意，故B正确；对C，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；当时，；令，则，，所以当时，符合题意，故C正确；对D，当，，函数的周期为在一个周期内，对赋值当时，；当时，；当时，；令，，，所以当时，符合题意，故D正确.故选：A.【点睛】方法点睛：本题一共有三个变量：，，.属于多变量题目，对于该题，要先确定一个变量，再对第二个变量赋值，然后再对第三个变量赋值，以此分类讨论即可.3．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知函数f(x)=(sin2x+4cosx)+2sinx，则f(x)的最大值为（）A．4 B．C．6 D．5+2【答案】B【分析】先将展开，提公因式并结合拼凑法可得，结合放缩，联立辅助角公式化简，即可求解.【详解】，由可知，要求最大值，只需即可，结合基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，因此当时的最大值为.故选：B4．（2021·江苏扬州·高三月考）已知△的内角所对的边分别为若，且△内切圆面积为，则△面积的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件及正弦定理可得，由内切圆的面积可得内切圆半径，最后根据及余弦定理，并结合基本不等式求的范围，进而求△面积的最小值.【详解】由题设，，而且，∴，，则，∴，由题设△内切圆半径，又，∴，而，即，∴，可得，当且仅当时等号成立.∴.故选：D5．（2021·四川绵阳·高三月考（理））函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合正弦函数的最值，对称性求的值，再结合单调性确定的最大值.【详解】∵，，∴，，又对于任意的都有，∴，，∴，又，∴或，当时，，且，当时，，若，则，∴在上不单调，C错误，当时，，且，当时，，若，则，∴在上不单调，A错误，当时，，若，则，∴在上单调，D正确，故选：D.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质求函数解析式的关键在于转化为正弦函数的问题.6．（2021·河北·邯郸市肥乡区第一中学高三开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知，即由正弦定理化简得即故选：.【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，；（2）角化边：①利用正弦定理：，，②利用余弦定理：7．（2021·四川·绵阳中学实验学校模拟预测）某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰的顶点P在半径为20m的大⊙O上，点M，N在半径为10m的小⊙O上，点O，点P在弦MN的同侧.设，当的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（）A． B． C． D．【答案】C【分析】用表示出的面积为，求导，令求得极值点，从而求得面积最大时对应的值.【详解】如图所示，等腰中，设的面积为，则求导令，即，解得：（舍去负根）记，当，，函数单调递增；当，，函数单调递减；故当时，即，取得极大值，即最大值.故选：C8．（2021·北京八中高三月考）已知（）既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合五点作图法及函数图象进行计算求解即可.【详解】可设满足,且（）,则,注意到五点作图法的最左边端点为,而,,故有,,当时，，，此时；当时，，，此时,故选：C．9．（2021·吉林·梅河口市第五中学高三月考（理））已知点在函数（且，，）的图像上，直线是函数图像的一条对称轴.若在区间上单调，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由在区间内单调求出的范围，先由函数零点与对称轴之间的关系求出周期，进而求得，利用对称轴即可求出.【详解】∵在区间内单调，，得，所以∵是函数的零点，直线是函数的图象的一条对称轴，∴，若，则，此时，得，满足条件，若，则，此时，得，不满足条件，综上可知，函数，∵是函数的图象的一条对称轴，∴，即，∵，∴，故选：C【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数性质的应用，结合的单调区间以及对称轴对称中心之间的关系求出周期和是解决本题的关键，属于一般题.10．（2021·浙江·高三专题练习）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（）.（仰角为直线与平面所成的角）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可得，，过作，交于，连接，则，设，分类讨论，若在线段上，则，可求出和，从而可得出，利用函数的单调性，可得出时，取得最大值；若在的延长线上，同理求出和，可得出，可得当时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论．【详解】解：，，由勾股定理知，，过点作交于，连结，则，设，若在线段上，则，由，得，在直角中，，，令，则函数在，单调递减，时，取得最大值为；若在的延长线上，，在直角中，，，令，则可得时，函数取得最大值.故答案为：．11．（2021·全国·高三专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】若三角形各边长为a、b、c且内切圆半径为r，法一：由内切圆的性质有、，根据边角关系可得或，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状.【详解】设，△的内切圆半径为r，如图所示，法一：∴①；②.①÷②，得：，即．于是，，，从而得或，∴或．故△为等腰三角形或直角三角形，（1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上，，从而得．又，代入①式，得，即，上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形，∴△为等腰直角三角形．（2）当时，易得．代入②式，得，此式恒成立，综上，△为直角三角形．法二：利用，及正弦定理和题设条件，得①，②.∴③；④.由③和④得：，即，，因为为三角形内角，∴或，即或．（1）若，代入③得：⑤又，将其代入⑤，得：．变形得，即⑥，由知A为锐角，从而知．∴由⑥，得：，即，从而，．因此，△为等腰直角三角形．（2）若，即，此时③④恒成立，综上，△为直角三角形．故选：B12．（2021·河北·石家庄一中高三月考）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得、关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围．【详解】∵，∴所以因此设，∵是锐角三角形，∴，∴∴，在上单调递增，∴，故选：C13．（2021·贵州遵义·高三月考（文））已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题首先可根据函数是偶函数得出，通过计算得出，然后通过转化得出，通过图像变换得出，最后根据正弦函数对称性得出且，通过求出此时的值域即可得出结果.【详解】因为函数是偶函数，所以，即，，解得，，则，则，向左平移个单位长度后，得到，向上平移个单位长度，得到，当时，，结合正弦函数对称性易知，在有两个不相等实根，则且，此时，实数的取值范围是，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.14．（2021·全国·高三专题练习（文））在中，，点在边上，且，设，则当k取最大值时，（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，利用两角和与差的正弦公式化简得到，进而求得A，根据点在边上，且，得到，再由余弦定理结合两边平方，得到，令，得到，用基本不等式法或者导数法求得最大值时a，b，c的关系，再利用正弦定理求解.【详解】因为，所以，即，因为，所以，，因为，所以，因为点在边上，且，所以，设，则，在中，由余弦定理得，，所以，即，即，所以，令，得，下面采用基本不等式和导数两种方法求解：方法一：利用基本不等式求解：，要使最大，需最大，当取最大值时，必有，当且仅当，即时等号成立，所以时，有最大值，的最大值为，此时，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.下面采用导数的方法求解：求导得，令，解得，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，此时，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到，然后利用余弦定理表示BC，利用平面向量表示AD而得解.15．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数图象的平移可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质、平面几何的知识即可得出，即可得解.【详解】由条件可得，，作出两个函数图象，如图：，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，.由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，，由，整理得，得，则，所以，要使为钝角三角形，只需即可，由，所以.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式，运算即可.16．（2021·全国·高三专题练习（理））已知，给出下列结论：①若f(x1)=1，f(x2)=﹣1，且|x1﹣x2|min=π，则ω=1；②存在ω∈(0，2)，使得f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；③若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为；④若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为.其中，所有正确结论的编号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【答案】D【分析】对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解