高考数学专题7 圆锥曲线压轴小题（解析版）

专题7圆锥曲线压轴小题一、单选题1．（2021河北沧州高三月考）已知点P为抛物线上一动点，，，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】先讨论和两种情况，解出；进而讨论且时，利用直线的到角公式结合基本不等式即可求得.【详解】根据抛物线的对称性，不妨设，若，则，，，所以；若，则，，，所以；若且，此时且，，所以，因为,所以，则，当且仅当时取“=”，而，所以.综上：的最大值为.故选：B.【点睛】本题核心的地方在“”这一步，首先分式“”的处理，上下同除以y（一次）；其次在用基本不等式时，“”这一步的拆分，三个式子一定要相同（），否则不能取得“=”.2．（2021安徽马鞍山二模（文））在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由已知及抛物线的定义，可求，进而得抛物线的方程，可求，，的坐标，直线的方程，可得圆的半径，求得圆心，设的坐标，求得的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设，所以，解得，所以抛物线的方程为，，，，所以直线的方程为，设圆心坐标为，，所以，解得，即，圆的方程为，不妨设，设直线的方程为，则，根据，解得，由，解得，设，所以，因为，所以．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为，然后利用直线OM与圆E切于点M，求出M点的坐标，引入圆的参数方程表示N点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.3．（2021全国高三专题练习（理））已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】作出图形，可知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合，可求得，再利用求得结果.【详解】由抛物线的对称性，设为抛物线第一象限内点，如图所示：故点作垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知，易知轴，可得当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，设直线方程为：，联立，整理得，其中，解得：，由为抛物线第一象限内点，则则，解得：，此时，即或所以点的坐标且由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为设双曲线的实轴长为2a，则，，又，则故渐近线斜率的平方为故选：B【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的渐近线斜率，方法如下：直接求出，从而求出；构造的齐次式，求出；采用渐近线的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解．4．（2021安徽省怀宁中学高三月考（理））已知抛物线的焦点到准线的距离为，点在抛物线上，点在圆上，直线分别与圆仅有1个交点，且与抛物线的另一个交点分别为，若直线的倾斜角为，则（）A．B．或C．或D．【答案】C【分析】根据题意求得，得到，设过点与圆相切直线的斜率为，得到切线方程，利用，结合韦达定理，求得，联立方程组，取得，得到，结合，列出方程，即可求解.【详解】由抛物线的焦点到准线的距离为，可得，所以抛物线的方程为，又由，可得圆心坐标为，半径，设过点与圆相切的直线的斜率为，可得方程为，即，即，则圆心到直线的距离为，整理得，可得，联立方程组，可得，即，所以，所以，因为直线的倾斜角为，所以可得，解得或.故选：C.5．（2021浙江模拟预测）已知椭圆右顶点为，上顶点为，该椭圆上一点与的连线的斜率，的中点为，记的斜率为，且满足，若分别是轴轴负半轴上的动点，且四边形的面积为2，则三角形面积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】求出直线方程，与椭圆方程联立，表示出点E坐标，即可根据求出，根据四边形的面积结合基本不等式可求.【详解】由题意知：，直线的方程为，联立方程可得，因为是其中一个解，则另一个解满足，即，所以，则可得的中点，则，因为，所以，解得，则即，设，则由四边形的面积为2，有，即，由基本不等式得，，从而三角形的面积，等号当，时取到.所以三角形面积的最大值为.故选：A.6．（2021云南峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线与直线夹角与直线与直线的夹角相等，则点所在轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．抛物线或双曲线【答案】D【分析】根据题设分析可知：点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断所在轨迹的形状.【详解】由题设，点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，如下图示：当是边上移动过程中，只与下方锥体有相交，点轨迹为抛物线；当是边上移动过程中，与上方锥体也有相交，点轨迹为双曲线；故选：D7．（2021吉林白山高三期末（文））已知双曲线：与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则（）A．B．的离心率为C．若，则的面积为2D．若的面积为，则为钝角三角形【答案】D【分析】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a、b关系，通过点到直线的距离求解c，求出a，b，即可推出离心率，判断A，B的正误；设P在双曲线的右支上，记则，利用，转化求解三角形的面积，判断C；设P(x0，y0)，通过三角形的面积求解P的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三角形的形状，判断D.【详解】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)则，且，两式相减得，所以，因为，所以，故双曲线C的渐近线方程因为焦点(c，0)到渐近线的距离为1，所以，，所以，，离心率为，故A，B错误．对于C，不妨设P在右支上,记则因为,所以解得或(舍去）,所以的面积为，故C不正确；对于D，设P(x0，y0)，因为，所以，将带入C：，得，即由于对称性，不妨取P得坐标为(，2)，则，因为所以PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确故选：D8．（2021全国高三专题练习）已知ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将BCD折起，使平面BCD平面ACD．在平面BCD内过点B作BP平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意，先确定点P轨迹的形状，进而求出轨迹的长度即可.【详解】由题意，在平面BCD内作BQCD，交CD于Q，因为平面BCD平面ACD，平面BCD与平面ACD交于CD，所以BQ平面ACD，又BP平面ACD，所以P,Q两点重合，于是随着点D的变化，BPCD始终成立，可得在平面ABC中，BPCP始终成立，即得点P的轨迹是以BC为直径的圆的一部分，由题意知随着点D的变化，BCD的范围为，可得点P的轨迹是以BC为直径（半径为1）的圆的，即得点P的轨迹长度为.故选：C.9．（2021全国高三专题练习）已知双曲线（，）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点，，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，PF1F2的面积分别为S1，S2，则（）A．B．4C．D．8【答案】B【分析】先利用双曲线的离心率得到，写出直线的方程，设出点P的坐标，再利用平面向量的数量积运算和二次函数的最值求出最值，进而求出面积比.【详解】由于双曲线的离心率为，故.所以直线的方程为，设，，焦点坐标为，则，则，由于，故当时取得最小值，此时；当时取得最大值，此时.则.故选：B.10．（2021陕西咸阳高三开学考试（文））已知椭圆为C的左右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（）A．B．C．D．3【答案】C【分析】利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，可得，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式，求的值.【详解】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，，即，解得或（舍），.又，解得.故选：C.11．（2021全国高三月考（文））已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，与轴正半轴交于点，与抛物线的准线交于点.若，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】作，，垂足分别为，，且与轴交于点，作，，垂足分别为，，由三角形相似的性质与抛物线的性质求解即可【详解】如图，作，，垂足分别为，，且与轴交于点，作，，垂足分别为，.设，则，，故.因为，所以，所以.因为，所以，所以，则.因为为的中点，且轴，所以为的中点，即.因为，所以，所以，所以，故.故选：C12．（2021河南高三月考（理））已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】设直线，的倾斜角分别为，，，且，利用差角正切公式、基本不等式求关于椭圆参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率.【详解】由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，，则，.，，当且仅当，即时取等号，又得最大值为，，即，整理得，故椭圆的的离心率是.故选：C.【点睛】关键点点睛：设点M坐标及，的倾斜角，由与直线，的倾斜角的数量关系，结合差角正切公式及基本不等式求关于椭圆参数的表达式，进而确定椭圆参数的数量关系.13．（2021重庆西南大学附中高三开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，满足，点N是F1F2线段上一点，满足．现将MF1F2沿MN折成直二面角，若使折叠后点F1，F2距离最小，则为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由已知条件及双曲线的定义可得，，将MF1F2沿MN折成直二面角后，过作，应用直角三角形边角关系、余弦定理及勾股定理求最小时的大小，进而求值.【详解】，，，，将MF1F2沿MN折成直二面角，过作，易知面，设，在中有，，在中，，有，，，当且仅当，时等号成立.F1，F2距离最小时，为角平分线，故，可得.故选：B【点睛】关键点点睛：由双曲线的定义求、，结合直角三角形边角关系、余弦定理、勾股定理求与的函数关系，再求最小值，最后即可求参数值.14．（2021浙江金华高三月考）已知椭圆和直线，点A，B在直线l上，射线分别交椭圆C于M，N两点．则当面积取到最大值时，是（）A．锐角B．直角C．钝角D．都有可能【答案】A【分析】设出直线及的方程，求出点，的坐标，进而表示出，分析可知当，异号时，最大，通过换元，利用基本不等式可得当时，最大，进而得到，由此即可得出答案．【详解】解：设直线的方程为，直线的方程为，易知点，，易知，当，异号时，最大，不妨设，，令，，则，当且仅当，即时取等号，，为锐角．故选：．15．（2021安徽合肥市第六中学高三开学考试（理））已知双曲线的左右焦点为，，过的直线交双曲线于M，N两点在第一象限），若与的内切圆半径之比为3：2，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】数形结合，设，，，依据双曲线定义可知，利用直线的倾斜角与大小相等，简单计算即可【详解】设圆与的三边的切点分别为，如图，令，，，根据双曲线的定义可得，化简得，由此可知，在中，轴于，同理轴于，轴过圆心作的垂线，垂足为，易知直线的倾斜角与大小相等，不妨设圆的半径，设圆的半径，则，，所以根据勾股定理，，所以，；故选：B【点睛】关键点睛：得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等便于计算16．（2021山西大附中高三月考（文））已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由抛物线定义将A到焦点的距离转化为A到准线的距离，求出A的横坐标，进而得到纵坐标，设出直线AB，代入抛物线方程利用根与系数的关系求出|y1-y2|，进而求出面积.【详解】抛物线的准线方程为，设，，由抛物线的定义可知，，由抛物线的对称性，不妨令，设直线的方程为，由得，，，四边形的面积，故选：A．17．（2021陕西西北工业大学附属中学高三月考（理））如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QFFR，且，则E的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接，由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QFFR，于是有是矩形，设，则，，，在中，，解得或m0（舍去），从而有，中，，整理得，，所以双曲线E的离心率为．故选：B18．（2021陕西高新一中高三月考（文））已知双曲线：(，)的一条渐近线被圆截得的线段长不小于8，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得，的关系，即可得到所求的离心率．【详解】双曲线的一条渐近线方程设为，由题得圆的圆心为，半径，可得圆心到渐近线的距离为，则由题意可知，解得：所以双曲线的离心率，即故选：D．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出；构造的齐次式，求出；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解．19．（2021全国模拟预测（文））已知椭圆：的两个顶点在直线上，，分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点作椭圆的切线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，，则的值为（）A．-B．C．-D．-【答案】A【分析】根据题意求出，，进而写出椭圆的方程，设点的切线方程为，与椭圆联立，由得到，然后依次表示出相关点的坐标，利用斜率公式表示出，进而化简整理即可求出结果.【详解】椭圆的两顶点在直线上，，，椭圆的方程为，，，设点的切线方程为，，联立，消去得，直线与椭圆相切，，即，，，，点，又，，，设点，又在切线上，，，，故选：A.【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20．（2021全国高三专题练习（文））已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点MQ，则的最大值为（）A．48B．49C．50D．42【答案】A【分析】由已知可确定点坐标，从而确定以为直径的圆，连接，可将转化为，进一步利用向量的线性运算得到，由双曲线性质可确定结果；【详解】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上，直线方程为，令，解得：，；以为直径的圆的圆心为，且．连接，在以为直径的圆上，，，；为双曲线上一点，且，，；故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中的最值问题的求解，解题关键是能够将所求式子进行转化，可采用几何法转化为关于的最值的求解，或利用坐标运算将问题转化为关于点横坐标的函数的最值的求解.21．（2021全国高三专题练习（理））已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（）A．B．1C．2D．【答案】A【分析】设,，并求出切线PA、PB的方程，进而求出直线方程，并确定其过定点，且定点为椭圆的右焦点，再联立方程求得，，再表示出，利用基本不等式求出范围即可.【详解】由椭圆方程，知，，设右焦点为，即设,，由椭圆的切线方程可知切线PA的方程为，切线PB的方程为由于点P在切线PA、PB上，则，故直线方程为，所以直线过定点，且定点为椭圆的右焦点，联立方程，消去x得：由韦达定理得，，令，则，，则，当且仅当，即时，等号成立，故三角形ABF面积最大值为故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，考查利用基本不等式求三角形的面积得最值，解题的关键是清楚椭圆方程在椭圆上一点的切线方程为，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于较难题.22．（2021全国高三专题练习（理））已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得.【详解】解：设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，因为点为线段的中点，所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故.所以的最大值为.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得，，再求最值.23．（2021全国高三专题练习（理））已知抛物线C，过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线y=x-2于E，F两点，则|EF|的最小值（）A．B．C．D．【答案】D【分析】设AB的方程为y=kx+1代入，得x2-4kx-4=0，设，得出根与系数的关系，再得出直线OA的方程为，与联立求得点E、F的坐标，表示出线段EF，运用函数的性质可求得最小值得选项.【详解】由抛物线C，得焦点为，设AB的方程为y=kx+1代入，得x2-4kx-4=0，设，所以，，，，直线OA的方程为，联立；同理可得，，所以，令，则，所以，当时，，当时，，当，即时，取等号，所以|EF|的最小值为，故选：D.【点睛】方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.二、多选题24．（2021全国高三专题练习（文））在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率大于0的直线交抛物线于，两点(其中在的上方)，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线，，于点，，.则（）A．B．若，是线段的三等分点，则直线的斜率为C．若，不是线段的三等分点，则一定有D．若，不是线段的三等分点，则一定有【答案】AB【分析】设直线方程为，，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，从而可表示出点坐标，然后求出点坐标，判断各选项．【详解】抛物线的焦点为，准线设直线方程为，，，联立，消去y得，由韦达定理得：，，，，直线方程为，对于A，共线，，，同理，，，，即，故A正确；对于B，若P，Q是线段的三等分点，则，，即，又，，，，又，解得：，故B正确；对于C，由得，，，，，又，，当时，，故C错；对于D，由图可知，而，只要，就有，故D错．故选：AB．【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的焦点弦的性质，及直线与抛物线的位置关系，解题的关键是通过直线与抛物线联立结合韦达定理求出点坐标，然后求出点坐标，再依次判断选项，考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题.25．（2021江苏海安模拟预测）已知双曲线，为双曲线上一点，过点的切线为，双曲线的左右焦点，到直线的距离分别为，，则（）A．B．直线与双曲线渐近线的交点为，，则，，，四点共圆C．该双曲线的共轭双曲线的方程为D．过的弦长为5的直线有且只有1条【答案】AB【分析】对于A中，求得切线的方程，结合点到直线的距离公式，可判定A正确对于B中，联立方程组，分别求得坐标，结合斜率公式，可判定B正确，根据共轭双曲线的定义，可判定C错误；结合实轴长和通经，可判定D错误.【详解】由题意，双曲线的焦点坐标为，，对于A中，由双曲线的性质，可得切线的方程为，即，则，所以A正确对于B中，联立方程组，可得，又由，可得，，，，，则，，，，，，四点共圆，B正确.对于C中，双曲线的共轭双曲线为，所以C错误对于D中，由双曲线，可得，则，可得，且通经长，所以过的弦长为5的直线有3条，所以D错误.故选：AB.【点睛】方法点拨：联立方程组，求得点，，结合斜率公式和倾斜角的定义，判定得到四点共面是解答的关键.26．（2021福建漳州二模）已知F为抛物线C：的焦点，K为C的准线与x轴的交点，点P在抛物线C上，设，则下列结论正确的是（）A．抛物线C在点处的切线过点KB．的最大值为C．D．存在点P，使得【答案】ACD【分析】研究第一象限内的情况，令且抛物线对x求导有，A：由导数的几何意义求切线方程，即可判断切线是否过过点K；B：当直线与抛物线相切时最大，则即可求的最大值；C：由，结合抛物线定义可判断函数值是否相等；D：由B、C知、，故存在点P使得，则与在上有交点即可，应用数形结合法判断是否有交点.【详解】由抛物线的对称性，以下只讨论在第一象限内的情况，令在第一象限且有，A：抛物线C在点处的切线为，而，即切线过点K，正确.B：当直线与抛物线相切时最大，此时有，解得，则，即的最大值为，错误；C：如上图，由抛物线定义知：，，所以，，即，正确；D：若存在P使得，在中，即，结合B有，，由C知：，问题转化为与在上是否有交点：1、在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减；2、当时，；当时，；3、、在上连续；如下图示，在上、存在一个交点，即在上可以成立，正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：应用导数的几何意义求切点处的斜率，并写出切线方程进而判断是否过定点判断A；由直线与抛物线相切时，直线与x轴正方向的夹角最大，求最大值；利用抛物线定义，结合在相关直角三角形中对应边的比例关系判断C；将问题转化为与在上是否有交点判断D.27．（2021河北高三月考）已知椭圆上有一点P，分别为左右焦点，的面积为S，则下列选项正确的是（）A．若，则B．若，则C．若为钝角三角形，则D．椭圆C内接矩形的周长范围是【答案】ACD【分析】用椭圆的焦点三角形和内接矩形等知识分别对四个选项判断即可.【详解】对于椭圆，设，，，则，由此可得…，所以的面积.对于选项A：若，则，故A正确；对于选项B：由知（当且仅当即点是短轴端点时取等号），所以，因此不可能是，故B错误；对于选项C：由以上分析可知，不可能是钝角，由对称性不妨设是钝角.先考虑临界情况，当时，易得，此时，结合图形可知，当是钝角时，故C正确；对于选项D：令，，则椭圆内接矩形的周长为，其中锐角满足，.由得，所以，周长的范围是，即，故D正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：对于椭圆，，则的面积.28．（2021江苏苏州高三开学考试）已知曲线，以下判断正确的是（）A．曲线C与y轴交点为B．曲线C关于y轴对称C．曲线C上的点的横坐标的取值范围是D．曲线C上点到原点的距离最小值为【答案】BCD【分析】A、令，代入求即可确定与y轴交点；B、以替换x，代入方程验证方程是否不变即可；C、由放缩原方程有，即可求横坐标的取值范围；D、利用基本不等式可得，即可知曲线C上点到原点的距离最小值.【详解】A：令，得，即，解得，即曲线C与y轴交点为，错误；B：在中，以替换x，可得，即为，则曲线C关于y轴对称，正确；C：由，则，即，所以，解得，即曲线C上的点的横坐标的取值范围是，正确；D：由，根据基本不等式得，则，则曲线C上点到原点的距离，正确；故选：BCD.29．（2021江苏海安高级中学高三期中）已知中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线过点，顶点分别为，，焦点分别为，，一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（）A．该双曲线的方程为或B．若点为双曲线上任意一点（顶点除外），则C．若直线过点且与双曲线只有一个公共点，则这样的直线只有2条D．若点为双曲线右支上的任意一点（顶点除外），则双曲线在点处的切线平分【答案】BD【分析】根据给定条件求出双曲线C的方程，再逐项探讨各选项并判断作答.【详解】依题意，设双曲线，因双曲线过点，则，于是有双曲线的方程为，其渐近线方程为，A不正确；由双曲线对称性知，不妨设，，令，，B正确；显然直线与双曲线相切，过点平行于直线的直线及过点平行于直线的直线与双曲线都各有一个公共点，即这样的直线至少有3条，C不正确；令双曲线上点，显然切线PT的斜率存在，设其方程为，由消去y得：，，整理得，而，即，，则有，解得，切线PT与x轴交于点，则，于是得，即，不妨设点，，，则，，，又，，则是的内角平分线，即切线平分，D正确.故选：BD30．（2021全国模拟预测）已知抛物线与双曲线共焦点，，双曲线离心率为，直线过点，且与抛物线交于，两点，交双曲线于，两点，（，均在第一象限），则下列命题正确的是（）A．若直线垂直于抛物线对称轴，则B．若直线垂直于抛物线对称轴，，则双曲线离心率C．当直线斜率为1时，D．当直线斜率为1时，【答案】AC【分析】由抛物线的通径长判断A，由双曲线的通径长判断B，把转移为到准线的距离，可计算判断C，同样把转移到双曲线上的点到相应准线的距离，利用几何方法计算后可判断D．【详解】由，，得抛物线的方程为，当过焦点的直线垂直于抛物线对称轴时，弦为通径，抛物线的通径为，故A选项正确；由选项A得抛物线的通径为，双曲线的通径为．当时，，解得，即有，化简得，可得，故B选项错误；易知抛物线准线为：，作于点，作于点，作于点．由抛物线的几何性质可得，．的斜率为1，．设，则，则，，，解得，，则，故C选项正确；由选项C可得．的斜率为1，，．在双曲线中，设右准线为，作于点，作于点，作于点．由双曲线的几何性质可得，，同理．的斜率为1，在中，，，，可得，整理得，则，故D选项错误，故选AC．【点睛】本题考查抛物线与双曲线的几何性质．考查它们的定义．在涉及到圆锥曲线上的点到焦点的距离时常常利用定义转化为曲线上的点到焦点的距离，从而可以利用几何方法进行求解．31．（2021湖南双峰县第一中学高三开学考试）抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点Q（2，0），过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（）A．p2B．C．直线AQ与BQ的斜率之和为0D．准线l上存在点M，若MAB为等边三角形，可得直线AB的斜率为【答案】BCD【分析】根据抛物线的性质，以及直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理，利用斜率关系以及弦长和距离公式，逐项分析判断即可得解.【详解】对A，由准线l交x轴于点Q（2，0），所以，，故A错误，对B，抛物线过焦点的弦通径最短，即垂直于轴时，令，可得，，所以，故B正确；对C，设直线m的方程为，代入抛物线方程可得：，设，则有：，所以，故C正确；对D，若MAB为等边三角形，设A，B中点为，则，，设，所以，所以，则，则点到直线m的距离，而，由可得，解得，所以,此时AB的斜率为，故D正确.故选：BCD32．（2021全国高三专题练习）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线是双纽线，则下列结论正确的是（）A．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2C．曲线关于直线对称的曲线方程为D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为【答案】BCD【分析】A，曲线C经过整点（2，0），（2，0），（0，0）；B，根据曲线C：（x2+y2）24（x2y2），可知22x2+y2，即可判定；C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线yx对称的曲线方程；D，利用x2y2，比较直线ykx的斜率即可判定；【详解】解：对于A，令，解得：或或，当时，无解.所以曲线C经过整点（2，0），（2，0），（0，0），故A错；对于B，根据曲线C：（x2+y2）24（x2y2），可知22x2+y2，所以双曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2，故B正确；对于C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线yx对称的曲线方程为（x2+y2）24（y2x2），故C正确；对于D，据据曲线C：（x2+y2）24（x2y2），可知x2y2，可得若直线ykx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（，1][1，+），故D正确；故选：BCD．33．（2021江苏南京市第二十九中学高三开学考试）已知F为抛物线C：（）的焦点，下列结论正确的是（）A．抛物线的的焦点到其准线的距离为．B．已知抛物线C与直线l：在第一、四象限分别交于A，B两点，若，则．C．过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则四边形面积的最小值为．D．若过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线C的切线，，切线与相交于点P，则点P在定直线上．【答案】BCD【分析】A：根据焦点到准线的距离等于即可判断A选项；B：联立，得，进而结合焦半径公式得到与进而可以求出的值，从而判断B选项；C：由题意可知直线，的斜率均存在，且不为0，设直线，联立，结合韦达定理表示出弦长，同理，进而得到的面积，结合均值不等式即可求出结果，进而判断C选项；D：设，不妨设，利用导数的几何意义求出在处的切线方程和在处的切线方程进而求出交点的坐标，即可判断D选项.【详解】A：抛物线的的焦点到其准线的距离为，故A错误；B：联立，则，解得，由题意可知，，故，所以，故B正确；C：由题意可知直线，的斜率均存在，且不为0，设直线，联立，则，设两交点为，结合韦达定理，所以；同理,所以，当且仅当时，等号成立；所以四边形面积的最小值为，故C正确；D：设，不妨设因为（），若，则，所以，所以在点处的切线的斜率为，因此在处的切线方程为，即，同理在处的切线方程为，则，解得，因为直线过点，所以，即，所以，故点P在定直线上，故D正确；故选：BCD.【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用过焦点的公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．34．（2021重庆高三月考）已知椭圆C：的左右顶点分别为A和B，P是椭圆上不同于A，B的一点．设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率不可能是（）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】设，，，则，令，则，利用导数求出最值，可得，进而可得离心率．【详解】解：设，，，则，，，，令，则，，时，单调递减，时，单调递增，可知：当时，函数取得最小值，故选:BCD【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的性质及几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值，解题的关键是由题意可得，则，然后利用导数求解即可，属于较难题．35．（2021全国模拟预测）已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（）A．B．C．D．【答案】AC【分析】设出右焦点，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理可求得的关系，则离心率可求；设出的坐标，根据对称性写出的坐标，利用点差法可求得的表示，结合的关系可求解出的值.【详解】设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，所以，则，．由余弦定理可得，所以，所以椭圆的离心率．设，，则，，，所以，又，，相减可得．因为，所以，所以．故选：AC．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于合理运用焦点三角形的知识以及点差法设而不求的思想去计算；椭圆是一个对称图形，任何过原点的直线（不与焦点所在轴重合）与椭圆相交于两点，这两点与椭圆的焦点构成的四边形为平行四边形.36．（2021全国高三专题练习（理））已知双曲线且成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，，则直线l的斜率的可能取值为（）A．B．C．D．【答案】AB【分析】利用成等差数列，求得，设左焦点为，则．令，利用余弦定理求得的值，从而求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，从而求得直线的斜率.【详解】因为成等差数列，所以，所以．设左焦点为，则．令，则，即，将代入解得，从而解得，故，而是直线l的倾斜角或倾斜角的补角，所以直线l的斜率的值为或．故选：AB.37．（2021广东珠海市第二中学高三月考）设抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上（）A．若直线经过焦点且满足，则若直线的倾斜角为或；B．若直线不经过焦点且交轴于点，且抛物线过点，则与的面积之比是；C．若为准线上任意一点，且直线均为抛物线的切线，则直线必过焦点；D．若直线不经过焦点且交轴于点，连并延长交抛物线于另一点，连并延长交抛物线于另一点，则．【答案】ABC【分析】设，对于A，根据向量的关系，分别求得点的坐标，从而求得斜率和倾斜角；对于B，由条件写出抛物线方程，与若分别选择BC和AC作底，因为E点到AC的距离与到BC的距离相等，则高相等，则与的面积之比即，然后由抛物线定义证得结论；对于C，设，设出过M点的抛物线的切线方程，与抛物线联立，判别式等于0，并求得，从而求得坐标，写出直线的方程，验证是否过定点即可；对于D，取，，直线AB的方程为，从而与抛物线联立，结合焦点弦的性质，求得四个点的坐标，从而求得直线的斜率，与直线AB的斜率比较即可.【详解】设，对于A，若，则，从而，由抛物线定义知，，解得，，，或，，，或，则直线的倾斜角为或，故A正确；对于B，由抛物线过点知，抛物线方程为，由平行线的性质及抛物线定义知，与若分别选择BC和AC作底，因为E点到AC的距离与到BC的距离相等，则高相等，则与的面积之比即，故B正确；对于C，设，过M点的抛物线的切线方程为，设，，联立，化简得，由相切关系知，，则，，且，，，此时解得方程的解为，，则直线AB的斜率，结合知，，则直线AB的方程为，代入及，化简得：，由知，则AB的方程为，易知其过定点，即抛物线焦点，故C正确；对于D，由于题干未要求N点在x轴上的位置，也未对直线斜率作要求，故设，，直线AB的方程为，如图所示，联立，化简得，解得，，故，，则由抛物线的焦点弦性质知，，，此时直线的斜率为，此时相交，故D错误；故选：ABC【点睛】关键点点睛：过定点问题，需要求得动直线的方程，求解过程中需要设方程，与圆锥曲线联立，从而求得直线方程中的参数间关系，从而证明是否过定点.38．（2021江苏南通模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，，O为坐标原点，圆，P是双曲线C与圆O的一个交点，且，则下列结论中正确的有（）A．双曲线C的离心率为B．点到一条渐近线的距离为C．的面积为D．双曲线C上任意一点到两条渐近线的距离之积为2【答案】ABD【分析】由双曲线及圆的方程知圆O的半径为c，所以，又，根据双曲线的定义、勾股定理、双曲线中的关系得双曲线C的方程为：，从而可判断选项A正确；求出双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式可判断选项B、D正确；由面积公式可判断选项C错误.【详解】解：双曲线，，又圆，圆O的半径为c，为圆O的直径，，故作图如下：对于A，，，，令，则，，，又，双曲线C的离心率，故A正确；对于B，由于到渐近线的距离，故B正确；对于C，由离心率得，，，，，的面积为，故C错误；对于D，由得双曲线C的方程为：，故其两条渐近线方程为，即，设为双曲线C上任意一点，则，即，到两条渐近线的距离，，，故D正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，根据双曲线及圆的方程知圆O的半径为c，所以得，又，由双曲线的定义、勾股定理、双曲线中的关系求出双曲线C的方程.39．（2021全国高三专题练习（理））已知平面上的线段及点，任取上一点，称线段长度的最小值为点到线段的距离，记作.已知线段，，点为平面上一点，且满足，若点的轨迹为曲线，，是第一象限内曲线上两点，点且，，则（）A．曲线关于轴对称B．点的坐标为C．点的坐标为D．的面积为【答案】BCD【分析】先确定和对应的图象，然后对进行分类讨论，分别研究点的轨迹，然后对各个选项进行逐一分析判断即可.【详解】为线段，：为线段，又，当时，由题意可得，点在轴上；当时，，，此时点在轴上；当时，为点到的距离，，此时点的轨迹是一条抛物线，准线方程为，所以，故抛物线的标准方程为；当时，，，此时点在的中垂线上，而，，中点坐标为，所以，所以点在直线上，故选项A错误；又，所以，解得，故点A的坐标为，故选项B正确；因为，又点在上，联立方程组，可得，所以点B的坐标为，故选项C正确；，故直线AB的方程为，则直线与的交点坐标为，所以，故选项D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了动点轨迹的综合应用，考查了抛物线定义的应用以及抛物线标准方程的求解，直线与直线的位置关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.三、双空题40．（2021河北唐山市第十一中学高三月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上运动，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，且当时，，则______________，若，，则的值为___________．【答案】【分析】由、知椭圆过，代入求参数即可；讨论、，设，且，，，可求，并联立椭圆求，再结合即可求.【详解】时，，则在椭圆上，，即，得.当时，若，则，故，当时，，，若，，，，，则，联立与椭圆C并整理得，有，同理可得，，，，综上，.故答案为：，.【点睛】关键点点睛：讨论、，设直线及交点坐标，联立椭圆应用韦达定理及，得到关于参数a的表达式，进而求值.41．（2021贵州模拟预测（理））Cassini卵形线是由法国天文家Jean-DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点，的距离的乘积等于常数.是正常数，设，的距离为，如果，就得到一个没有自交点的卵形线；如果，就得到一个双纽线；如果，就得到两个卵形线.若，.动点满足.则动点的轨迹的方程为___________；若和是轨迹与轴交点中距离最远的两点，则面积的最大值为___________.【答案】；【分析】设，代入，化简即可得到动点的轨迹的方程；进而求出，的坐标，然后将问题转化为求点的纵坐标的最大值，再利用面积公式求解即可．【详解】解：设，，，即，动点的轨迹的方程为：；令，可得，解得或，所以，由对称性，只考虑第一象限的部分，为定值，面积最大时，即点的纵坐标最大，又，，令，则，因为，所以，，令，当时，取得最大值，即，，，面积的最大值为．故答案为：；．【点睛】关键点点睛：第二空解题的关键是利用第一空求出的动点的轨迹方程，求出点的纵坐标的平方的表达式，然后构造函数，利用二次函数的性质求出点的纵坐标的最大值，从而面积的最大值可求．42．（2021全国高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的动点，点，点.在点的运动过程中，的面积的最大值为且满足成立的点有且只有个.当点在轴的下方运动时，记的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最大值为________，的外接圆面积的取值范围为______________.【答案】【分析】若成立，分别讨论和时矛盾，可得，则得出，由三角形面积最大值得，求出，设，由余弦定理可得，由三角形面积得，即可求出最大值；设的外接圆的圆心，设,其中，由，可得，令，则，利用导数求出，，即可求出.【详解】若成立，显然当在左右顶点时，等式不成立，则和为锐角，若，则，即，则，即，则，同理，，则，则，与已知矛盾；若，则，即，则，即，则，同理，，则，则，与已矛盾，综上，若成立，，点在以AB为直径的圆上，该圆与椭圆恰有3个交点，由对称性，可得其中一个交点为椭圆的下顶点，，的面积的最大值为，，，可解得，设，在中，由余弦定理可得，，则可得，，又，，则，由正弦定理可得，则，，当在下顶点时，最小，此时，取得最大值为；可得的外接圆的圆心在轴上，设圆心为，设,其中，则，即，可得，令，则，则令，则，当时，，单调递减，时，，单调递增，，，，，，，则，则的外接圆面积.故答案为：；.【点睛】本题考查椭圆综合问题，解题的关键是判断出若成立，，从而求出.43．（2021浙江模拟预测）已知直线与离心率为的椭圆交于两点，且直线与轴，轴分别交于点.若点三等分线段，则___________；___________.【答案】15【分析】联立直线和椭圆方程，可得CD的中点也为AB中点，即可求出，再根据，由弦长公式可化简得出.【详解】由题可得，中点，联立方程组可得，设，则，因为点三等分线段，所以M也为AB中点，所以，整理可得，即；由题，所以整理可得，又，所以，解得，即.故答案为：1；5.44．（2021广东中山模拟预测）为抛物线的焦点，为抛物线内一点，为上的任意一点，的最小值为5，则_______，直线过点，与抛物线交于两点，且为线段的中点，过分别作抛物线的切线，两切线相交于点，则的面积为___________.【答案】2【分析】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知，结合图象，得到当三点共线时，取得最小值，列出方程，求得的值，设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和为线段的中点，求得及、的坐标及，进而求得过点的切线方程，求得交点坐标，结合点到直线的距离公式和面积公式，即可求解.【详解】由题意，抛物线的准线方程为，设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知，要使得取得最小值，即取得最小值，结合图象，可得当三点共线时，取得最小值，又由点，可得最小值为，解得.因为为线段的中点，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，可得直线的方程为，即，联立方程组，可得，设，则，因为为线段的中点，所以，解得，即方程，解得或，所以，可得,设过点的切线方程为，联立方程组，可得，由，可得，即切线方程为，设过的切线方程为，联立方程组，可得，由，可得，即切线方程为，联立方程组，解得，即，又由直线的斜率为，可得其方程为，则点到直线的距离为，所以的面积为.故答案为：；.45．（2021广东高三月考）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线l与椭圆交于A，B两点（A点在第一象限），则的周长为_______；当，直线l的斜率为________．【答案】【分析】由椭圆的定义知的周长为，即可求解；由题可设直线方程为，与椭圆联立得，利用韦达定理结合已知条件可求得A，B两点的横坐标，进而求得，又A点在第一象限，知，即可得解.【详解】由椭圆，得，由椭圆的定义知，又，的周长由题知直线的斜率存在，设直线方程为，设联立，整理得其中，，由，得，即由解得：，，代入解得，此时，，又A点在第一象限，，故答案为：，46．（2021广东模拟预测）已知A、B是抛物线上异于坐标原点O的两点，满足，且面积的最小值为36，则正实数P________；若ODAB交AB于点D，若为定值，则点Q的坐标为________．【答案】3（3，0）【分析】设，根据数量积的运算可得，，由此得，设直线AB：，与抛物线联立得，得出根与系数的关系，表示三角形的面积，由二次函数的性质求得最值，可得点D在以点，为直径的圆上，由此可得答案．【详解】设，因为，即，两边平方化简得，所以，所以，即，解得（舍去），设直线AB：，联立得，所以，所以，所以，又，解得，又因为，所以：直线AB为恒过定点，因为，所以，所以点D在以点，为直径的圆上，设圆心Q，则，半径，所以为定值，，故答案为：3；．【点睛】方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.四、填空题47．（2021全国高三专题练习）已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为___________．【答案】【分析】设出直线OM,ON的方程，代入到椭圆方程解出M,N的坐标结合进行化简，进而求出直线MN的方程，最后得到答案.【详解】由题意，椭圆的左顶点为（-4,0），设，由，则，由,因为，所以，则，所以，于是，化简得：，令，所以直线MN经过轴上的定点.故答案为：.【点睛】本题思路比较直接，但运算量比较大，平常多注意运算方面的训练.48．（2021全国高三专题练习（文））已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线与轴交于点，抛物线的焦点为，若，则的坐标为___________.【答案】【分析】设出点坐标，求得切线方程，由此求得点坐标，根据列方程，解方程求得点的坐标.【详解】，设，，依题意可知过点的切线斜率存在且不为，设为，则切线方程为，即，由，化简得，，，，，故切线方程为，令得，故，，，依题意，，即，，，由于，故，此时，所以点坐标为.故答案为：【点睛】本题的难点有两个，一个是求过的切线方程，另一个是利用来列方程，解方程的过程中要注意运算的准确性.49．（2021山东青岛西海岸新区第一高级中学高三期末）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则___________.【答案】【分析】先将点M代入抛物线方程得到一个关系式，而后利用抛物线的定义将A到焦点的距离转化为到准线的距离，然后根据圆的弦长公式用勾股定理得到第二个关系式，进一步解出即可.【详解】如图所示，在抛物线上，则……易知，，由，因为被直线截得的弦长为，则，由，于是在中，……由解得：，所以.故答案为：.【点睛】本题应当结合抛物线的简单几何性质和定义以及勾股定理在抛物线中的应用，一定要结合图形找到各个量之间的联系，抛物线题目切记抛物线上点到焦点的距离等于其到准线的距离.50．（2021云南师大附中高三月考（文））双曲线的左右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，是等边三角形，若x轴上存在点Q且满足，则C的离心率为___________.【答案】【分析】画出图形，利用和是等边三角形的条件，得到各边之间的关系，再用余弦定理，找到a和c的关系，进而求出离心率.【详解】如图所示，由题意可得，因为，所以，所以，在等边三角形中，设，则，，由双曲线的定义可得，所以，即，因为是等边三角形，所以，在中，，化简可得，由可得，所以.故答案为：.51．（2021湖北武汉高三期中）已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为，若，则的值为___________.【答案】【分析】连接，是的内心，得到为的角平分线，即到直线的距离相等，利用三角形的面积比，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.【详解】解：如图所示，连接，是的内心，所以分别是和的角平分线，由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，则为的角平分线，则到直线的距离相等，所以，同理可得，，由比例关系性质可知.又椭圆的离心率.所以，所以，故，故答案为：4.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.52．（2021河南平顶山高三月考（理））抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与交于，两点，的准线与轴的交点为，若的面积为，则___________.【答案】2或【分析】先求出抛物线的标准方程，再设出直线方程，与抛物线联立，求出弦长，求出点M到直线的距离为d，表达出的面积，求出m的值（注意分两种情况），再分别求出与的长，求出结果【详解】抛物线化为标准形式为：抛物线的焦点到准线的距离为2，即抛物线方程为，焦点过点的直线与交于A，两点设直线方程为：与抛物线方程联立得：设，，不妨假设A点在x轴上方，B点在x轴下方.则，则设点M到直线的距离为d则解得：当时，，解得：此时：，2当时，，解得：此时：，故答案为：2或53．（2021重庆高三月考）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆、的面积为、，则的取值范围是__________．【答案】【分析】首先根据双曲线以及切线性质证明轴，然后根据三角形相似关系求出与之间的关系，再根据已知条件求出的取值范围，进而求出的取值范围，最后利用函数思想求出的取值范围即可求解.【详解】由双曲线的方程可知，实半轴长，虚半轴长，且，设圆与分别切于，，，连接，如下图所示：由圆的切线性质可知，，，，有双曲线定义可知，，即，设，故，解得，，由切线性质可知，与点坐标都为，同理可知，圆也与轴也切于点，故轴，且、、三点共线，又由三角形内切圆的性质可知，、分别为和的角平分线，易得，，从而可得，，故，因为，所以，，因为双曲线的渐近线：，所以其倾斜角分别为和，又因为直线与双曲线的右支交于，两点，所以直线的倾斜角范围为，易得所以，由，不妨令，，易知，在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为，又因为，从而在上的值域为，所以的取值范围为，又因为，所以的取值范围为.故答案为：.54．（2021江西景德镇一中高三月考（理））已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.【答案】【分析】由抛物线定义可知的轨迹方程，直线过定点，结合圆的性质，可知点的轨迹为圆，再结合抛物线与圆的性质即可得到最小值．【详解】由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点到定点的距离等于动点到直线的距离，故动点的轨迹为，由可得，解得D，即直线过定点D，又过作直线的垂线，垂足为，所以点在以为直径的圆上，直径式方程为，化为标准方程为：，圆心,半径过做垂直准线，垂足为，过做垂直准线，垂足为则故答案为：55．（2021河北沧州高三月考）已知为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为___________.【答案】【分析】由题设探求出与都是以B为直角顶点的直角三角形，令，并表示相关量，再借助勾股定理建立方程组，求出a，b的关系即可.【详解】因点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点，则，设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，则，有，如图，令，则，，，又，在中，，即，在中，，即于是得，解得，即，所以双曲线的渐近线的斜率为.故答案为：56．（2021上海华师大二附中高三月考）设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为_____________．【答案】2【分析】令，则目标式可改写为，应用放缩、绝对值的性质、辅助角公式及正弦函数的性质求最小值，注意等号成立的条件.【详解】设且，，当且仅当且时等号成立.故答案为：257．（2021四川树德中学高三开学考试（理））已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为___________.【答案】【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据求得的最小值.【详解】如图，由为椭圆上任意一点，则又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），，当且仅当M、N、E、共线时等号成立.，，则，的最小值为．故答案为：．【点睛】思路点睛；本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.58．（2021全国高三专题练习）已知，则的最值为_________.【答案】最大值为，最小值为.【分析】由，可知点的轨迹表示以定点，的距离之和为定长20的椭圆，进而结合点到直线的距离得到答案.【详解】满足题设的点的轨迹是定点，的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的中心在、长半轴a满足，即.线段长为，即，所以椭圆的短半轴长.又椭圆长轴所在直线方程为.如图可知，使得椭圆与直线有公共点的m的取值范围是原点到直线的距离不超过.即，解得.椭圆上任意一点均满足.由，得的最大值为，最小值为.故答案为：最大值为，最小值为.59．（2021安徽高三月考（文））已知点P为抛物线C：上的动点，过点P作圆M：的一条切线，切点为A，则的最小值为____________．【答案】【分析】由题设易知为直角三角形且，可得，由P在抛物线C上，设再由向量模的坐标表示得，即可求最小值.【详解】由已知得：，设点，则，当时，取得最小值．故答案为：60．（2021全国高三月考（文））已知双曲线：，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取“的周长中点”，满足，同理可在线段上也取“的周长中点”.若的面积最大值为1，则________．【答案】【分析】根据题目中对周长中点的定义，可以列出图像中各线段之间的关系，将两式相加，相减，得到与双曲线定义，焦距相关的式子，结合三角形的面积公式，即可求解【详解】解：由题意作出图形，设双曲线的焦距为,根据题意可得：,,得：，即所以，所以：得：所以,所以,,所以当时,的面积取最大值,所以,所以,故答案为:.