数学
一、单选题
1.已知集合M{1,0,1,2,3,4},N{1,3,5},PMN，则P的真子集共有（）
A.2个B.3个C.4个D.8个
2.若函数fxx2mx10在2,1上是减函数，则实数m的取值范围是（）
A.2,B.2,C.,2D.,2
x1
3.若“0”是“xa2”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）
x3
A.1a3B.1a3
C.1a3D.1a3
x2y2
4.已知焦距为4的双曲线1a0,b0的一条渐近线与直线x3y0垂直，则该双曲线的
a2b2
方程为（）
x2x2y2
A.y21B.1
326
y2x2y2
C.x21D.1
362
5.已知函数yfx在[,]上的图象如图所示，则与之大致匹配的函数是（）
cosxcosx
A.yB.y
exexexex
sinxcxex
C.yD.y
exexsinx
6.已知sincos6sin2，则sincoscos2等于（）
2
3232
A.B.C.-D.
5555
7.设a0.01，bln1.01，clog30.01，则（）
A.acbB.c 8.已知定义在R上的函数f(x)满足，f(x2)f(x)，f(x2)为奇函数，当x0,1时， fx1fx21511 0x1x2恒成立.则f、f(4)、f的大小关系正确的是（） x1x222 15111511 A.ff4fB.fff4 2222 11151115 C.ff4fD.f4ff 2222 二、多选题 f(x1)f(x2) 9.下列函数中，满足“x1，x20，，都有0”的有（） x1x2 A.f(x)3x1B.fxexex 2 C.fxx24x3D.fx x 50i 10.已知复数z，则下列说法正确的是（） 34i A.复数z在复平面内对应的点在第四象限B.复数z的虚部为6 C.复数z的共轭复数z86iD.复数z的模|z|10 11.设函数f(x)cosx，则下列结论正确的是（） 3 8 A.f(x)的一个周期为2B.yf(x)的图象关于直线x对称 3 C.f(x)的一个零点为xD.f(x)在,上单调递减 62 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a20220，a2021a20220，则（） A.数列{an}是递增数列B.数列{Sn}是递增数列 C.Sn的最小值是S2021D.使得Sn取得最小正数的n4042 三、填空题 1 13.若(0,)，tan，则sincos________________． 23 14.若直线ykx1与曲线yex相切，则k的值为___________. 3 15.记函数fxcosx(0,0)的最小正周期为T，若f(T)，x为f(x)的零 29 点，则的最小值为____________． 16.已知函数fxlnxax2存在极值，则实数a的取值范围是___________. 四、解答题 222 17.在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且abc2ab． （1）求C； tanB2ac （2）若，求A． tanCc 2* 18.设各项非负的数列an的前n项和为Sn，已知2Snan1n(nN)，且a2,a3,a5成等比数列. （1）求an的通项公式； an1 （2）若bn，数列{bn}的前n项和Tn. 2an 19.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC,ADAB，侧面PAB底面 1 ABCD,PAPBADBC2，且E,F分别为PC,CD的中点． 2 （1）证明：DE//平面PAB； （2）若直线PF与平面PAB所成的角为60，求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值． x2y2 20.已知P为椭圆1(ab0)上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，PF1PF24，离心率为 a2b2 2 ． 2 （1）求椭圆的方程； 1 （2）若直线l：ykxmm0与椭圆的两交点为A，B，线段AB的中点C在直线yx上，O 2 为坐标原点，当OAB的面积等于2时，求直线l的方程． 21.学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行 决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得5分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分 高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立. 甲、乙获得冠军的概率分别记为p1，p2. 2p2p2 （1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果pp120.1，那么认为甲、乙 125 获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）； （2）用X表示教师乙的总得分，求X的分布列与期望. lnx 22.已知函数fxkx,gx. x （1）若不等式fxgx在区间0,内恒成立，求实数k的取值范围； ln2ln3lnn1 （2）求证：...（n2,nN,e为自然对数的底数） 2434n42e 2023—2024学年高三（上）期中考试数学试卷 数学 一、单选题 1.已知集合M{1,0,1,2,3,4},N{1,3,5},PMN，则P的真子集共有（） A.2个B.3个C.4个D.8个 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可. 【详解】解：M{1,0,1,2,3,4},N{1,3,5} P1，3，P的真子集是1,{3},共3个. 故选：B. 2.若函数fxx2mx10在2,1上是减函数，则实数m的取值范围是（） A.2,B.2,C.,2D.,2 【答案】B 【解析】 【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得m的取值范围. m 【详解】函数f(x)x2mx10的对称轴为x， 2 m 由于fx在2,1上是减函数，所以1m2. 2 故选：B x1 3.若“0”是“xa2”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（） x3 A.1a3B.1a3 C.1a3D.1a3 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质、解一元二次不等式的方法、解绝对值不等式的公式法，结合充分不必要条件的 性质进行求解即可. x1 【详解】因为0，则x1x301x3， x3 因为xa2，则2xa2a2xa2， 即1x3是a2xa2的充分而不必要条件， a21 所以1a3， a23 故选：B x2y2 4.已知焦距为4的双曲线1a0,b0的一条渐近线与直线x3y0垂直，则该双曲线的 a2b2 方程为（） x2x2y2 A.y21B.1 326 y2x2y2 C.x21D.1 362 【答案】C 【解析】 【分析】由已知焦距为4，得出a2b2c24，又由双曲线方程求出渐近线方程，而直线与渐近线垂 直，得出它们斜率之积为1，从而得出a、b之间的关系，代入a2b2c24，解出a、b，写出方 程即可. b 【详解】由已知焦距为4，所以c2，a2b2c24，又双曲线方程的渐近线方程为：yx，而 a 22 1b1ab4 直线的斜率k，且直线与一条渐近线垂直，所以1，即b3a，由解 3a3b3a a1y2 得，所以双曲线方程为：x21 b33 故选：C. 5.已知函数yfx在[,]上的图象如图所示，则与之大致匹配的函数是（） cosxcosx A.yB.y exexexex sinxcxex C.yD.y exexsinx 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊值可排除AB，由定义域排除D，即可求解. 【详解】由图可得，f0，而A、B选项x时，函数值均为0，A、B错误； 22 由图可得f0，而选项中函数定义域取不到，故错误 DD. 故选:C 6.已知sincos6sin2，则sincoscos2等于（） 2 3232 A.B.C.-D. 5555 【答案】A 【解析】 【分析】 sincoscos2 利用诱导公式化简整理，可求得tan的值，将所求改写成sincoscos2，上 sin2cos2 下同除cos2，即可得结果. sin1 【详解】由题意得coscos6sin，所以cos3sin，解得tan， cos3 2 sincoscos2tan13 所以sincoscos23. sin2cos2tan21105 9 故选：A 7.设a0.01，bln1.01，clog30.01，则（） A.acbB.c 【答案】D 【解析】 【分析】构造fxlnx1xx0，并利用导数、对数的性质研究大小关系即可. x 【详解】设函数fxlnx1xx0，则fx0， x1 所以fx为减函数，则f0.01f00，即ln1.010.01，又c0b， 所以cba． 故选：D 8.已知定义在R上的函数f(x)满足，f(x2)f(x)，f(x2)为奇函数，当x0,1时， fx1fx21511 0x1x2恒成立.则f、f(4)、f的大小关系正确的是（） x1x222 15111511 A.ff4fB.fff4 2222 11151115 C.ff4fD.f4ff 2222 【答案】A 【解析】 1511 【分析】根据函数的奇偶性、周期性和单调性即可比较f,f4,f的大小. 22 【详解】由f(x2)f(x)可得f(x)的周期为2， 因为f(x2)为奇函数，则f(x2)f(x2)， 又因为f(x)的周期为2，所以f(x)f(x)，即f(x)为奇函数， fxfx 因为x0,1时，120，所以f(x)在x0,1上单调递增， x1x2 因为f(x)为奇函数，所以f(x)在1,0上单调递增，所以f(x)在1,1上单调递增， 15151 因为f(x)的周期为2，ff24f，f(4)f(0)， 222 1111111 ff23f，所以ff0f， 22222 1511 即ff4f. 22 故选：A. 二、多选题 f(x1)f(x2) 9.下列函数中，满足“x1，x20，，都有0”的有（） x1x2 A.f(x)3x1B.fxexex 2 C.fxx24x3D.fx x 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意可知满足题意的函数为在0，上减函数，由此一一判断选项中函数的单调性，可得答 案. f(x)f(x) 12f(x) 【详解】由x1，x20，，都有0，可知函数在x0，时减函数. x1x2 函数f(x)3x1在x0，时为减函数，符合题意，故A正确； 1 函数yex()x在x0，时为增函数，所以fxexex在x0，时为增函数，故B e 错误； 函数fxx24x3图象的对称轴为x2，故在x0，时fxx24x3为增函数，故C 错误； 2 函数fx在x0，时单调递减，符合题意，故D正确. x 故选：AD. 50i 10.已知复数z，则下列说法正确的是（） 34i A.复数z在复平面内对应的点在第四象限B.复数z的虚部为6 C.复数z的共轭复数z86iD.复数z的模|z|10 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简得z86i，再得到其在复平面内对应的点的象限，虚部，共轭复数，模即可得到答案. 50i50i(34i)50i(34i) 【详解】z86i， 34i(34i)(34i)25 a,b0，所以复数z在复平面内对应的点在第三象限，故A错误； 虚部为6，故B正确； 复数z的共轭复数z86i，故C正确； 复数z的模|z|826210，故D正确； 故选：BCD. 11.设函数f(x)cosx，则下列结论正确的是（） 3 8 A.f(x)的一个周期为2B.yf(x)的图象关于直线x对称 3 C.f(x)的一个零点为xD.f(x)在,上单调递减 62 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据周期、对称轴、零点、单调性，结合整体思想即可求解. 【详解】对于A项，函数的周期为2k，kZ,k0，当k1时，周期T2，故A项正确； 889 对于B项，当x时，cosxcoscoscos3cos1为最小值，此时yf(x)的 33333 8 图象关于直线x对称，故B项正确； 3 443 对于C项，f(x)cosx，coscos0，所以f(x)的一个零点为x， 36326 故C项正确； 54 对于D项，当x时，x，此时函数f(x)有增有减，不是单调函数，故D项错误. 2633 故选：ABC. 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a20220，a2021a20220，则（）