数学试卷
命题人：大连市第一中学 林卓 校对人：大连市第一学 贾天雷
第卷（共 60 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
2
1.已知 R 是实数集，M = {|< 1}，N = {yy = 1 }则M =（ ）
A.R B.[0， +) C.(2， +) D.(，1] (2，+)
2. 在复平面内，复数 z 的对应点为(1, 1- ) ，则2 =（ ）
A. 2 B.-2 C. 2i D. 2i
3. 已知 m ， n 为两条不同的直线， ， ， 为三个不同的平面，则下列命题正确的
是（ ）
A. 若 m // ， n// ，则 mn//
B. 若 m ， n ， m // ， n// ，则//
C. 若 m ， n// ， ，则 mn
D. 若 ， ，且= m ，则 m
4．设{}是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q 0”是“对任意的正整数 n，
aa2nn 1+ 2 0 ”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
5. 8 月 29 日，华为在官方网站发布了 Mate60 手机，其中大部分件已实现国产化，5G
S
技术更是遥遥领先，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：CW=+log2 1 ，
N
它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 C 取决于信道带宽W ，信道内信
S
号的平均功率 S 以及信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 叫做信噪比．当信噪
N
比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而
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将信噪比从 1000 提升至 5000，则 C大约增加了（ ）（参考数值： l g2 0 . 3 0 1 ）
A. 43% B. 33% C. 23% D. 13%
6.在四面体 ABCD 中， AD 底面 ABC ， AB== AC 10 ， BC = 2 ，点G 为三角形
244
ABC 的重心，若四面体 A B C D 的外接球的表面积为 ，则 t a n=A G D （ ）
9
1 2
A. B. 2 C. D. 2
2 2
xy22
7.设 FF, 是双曲线 C: = 1( a 0, b 0) 的左，右焦点，点 P 在 C 上，若
12 ab22
=F P F ，且| |O 2 P a= (O为坐标原点)，则 C 的渐近线方程为（ ）
12 3
A. yx= B. yx= 2
C. yx= 3 D. yx=2
1 4 8
8.已知实数 x1 、 x 2 满足1 = ；2( 2 4) = ，则 xx12= （ ）
A.4 B. 6 C. 7 D. 8
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9.已知实数ab0 ，则下列不等式成立的是（ ）
bb+ 2 11
A. B. ab+ +
aa+ 2 ba
a++ blg a lg b
C. abba D. lg
22
10.抛物线C: 2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A、B两点（点A在x 轴的下
方），则下列结论正确的是（ ）
A.若||=8，则AB中点到y轴的距离为 4 B.弦AB中点的轨迹为抛物线
C.若 = 3 ，则直线AB斜率 k = 3 D.4|| + || 9
11
11.已知函数 fx( ) =+，在下列结论中正确的是（ ）
sinxx cos
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A． 2 是 fx( ) 的一个周期 B. fx( ) 的图象关于直线 x = 对称
4
C. fx( ) 在区间 ,0 上无最大值 D. fx( ) 在区间 ,0 上有最小值
2 2
12. 已知四棱锥 P A B C D ，底面 A B C D 是正方形， PA 平面 A B C D ，
PA AD==2 ，点 M 在平面 A B C D 上，且 AM= AD(0 1) ，则（ ）
A. 存在 ，使得直线 PB 与 AM 所成角为
6
B. 不存在 ，使得平面 PAB 平面 PBM
C. 当 一定时，点 P 与点 M 轨迹上所有的点连线和平面 A B C D 围成的几何体的
2
外接球的表面积为 41(2 + )
2
D. 若 = ，以 P 为球心， PM 为半径的球面与四棱琟 P ABCD 各面的交线
2
26+
长为
2
第卷（共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 已知正四棱台ABCD 1111中，AB = 311 = 3，1 = 6，则其体积为______．
1
14. 若函数 f( x) = x32 + x 2 在区间(aa 4, ) 上存在最小值，则实数 a 的取值范围
3
______．
*
15. 已知数列an 满足 a1 = 2， a2 = 5 ， an++21+=45 a n a n ， nN ，设
2023
ban = log41n+ ，其中 x 表示不超过 x 的最大整数， Sn 为数列 的前 n项和，
bbnn+1
若Sn = 2021，则正整数 n的取值范围为__________.
16．古希腊数学家阿波罗尼奥斯详尽、系统的研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了
圆锥曲线的光学性质。如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，
反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直
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线。如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，1、2分别是其左、右焦点，直线与椭圆C相
切于点 （ 在第一象限）， 过点 与切线 垂直的法线 与 轴交于点 ，若直线
P 点 P P 且 x Q 2
的斜率为 2，|| = |2|，则椭圆C的离心率为__________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分 10 分）
已知圆 M 的圆心与点 N(1,4)关于直线x y + 1 = 0对称，且圆 M 与 y 轴相切于原点O.
(1) 求圆 M 的方程;
(2) 若在圆 M 中存在弦AB，|| = 4，且弦AB中点 P 在直线2x + y + k = 0上，求实数k的
取值范围。
18.（本小题满分 12 分）
已知 abc,, 是ABC的内角 A,, B C 的对边， AD 是 BC 边上的中线，设=BAD ，
且 +=C 900 .
（1）试判断ABC的形状；
（2）若 bc==8, 6，试求 ADC 的余弦值。
19.（本小题满分 12 分）
已知为数列{} 的前 n 项和，1 = 2，+1 = +4 3，记 = 2( 1)+3
（1） 求数列{}的通项公式；
+1 1+ 2
（2） 已知 = (1) ，记数列{}的前 n 项和为，求证： 。
+1 21
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20．（本小题满分 12 分）
如图，在多面体 ABCDE 中，平面 A C D 平面 ABC，BE 平面 ABC， ABC 和ACD均为正
三角形， A C B== E23， ，点 M 为线段 CD 上一点．
(1)求证： DE AM ；
(2)若直线 EM 与平面 ACD 所成角为 ，求平面 AMB 与平面 ACD
3
所成锐二面角的余弦值。
21. （本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F (1,0) 的距离比到 y 轴的距离大 1，记点 P 的轨迹
为曲线 C．
（1）求曲线 C 的方程；
xy22
（2）过点 F 且斜率不为零的直线交椭圆 E： +=1 于 A，B 两点，交曲线 C 于 M，
43
1
N 两点，若 为定值，求实数 的值。
AB MN
22. （本小题满分 12 分）
已知函数 f( x) = asin x ln( 1 + x) ．
（1）若对x ( 1,0 时， fx( ) 0 ，求正实数 a 的最大值；
n 1
（2）证明： sin ln2 。
2
k=2 k
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