本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．
第卷（共 45分）
一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每题5分共 45分）
U x Z 3 x 4 A 2,0,1,2 B 1,0,1 A B
设全集 ，集合 ， ，则 U （ ）
1.
A 2,2 B. 1,3 C. 2,2,3 D. 1
.
2. “ 0 x 1”是“ log2 (x 1) 1”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
x
3. 命题 p :x 0, 0 的否定是（ ）
x2 1
x x
A. x 0, 0 B. x 0, 0
x2 1 x2 1
x x
C. x 0, 0 D. x 0, 0
x2 1 x2 1
3
1 1 1
4. 设 ， ， c log ，则 a ， ， c 的大小关系为（ ）.
a 35 b 3 b
5 5
A. b a c B. a c b C. c 5. 函数 f x ln x 1 cos x 在 , 上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数 据按照0,0.5 ，0.5,1 ，…4,4.5 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该区有 40 万居 第1页/共4页 民，估计居民中月均用水量在2.5,3 的人数为（ ） A. 4.8 万 B. 6 万 C. 6.8 万 D. 12 万 y2 x2 7. 已知双曲线 1(a 0,b 0) 的一条渐近线过点 3,2 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 a2 b2 x2 4 7y 的准线上，则双曲线的方程为（ ） y2 x2 x2 y2 A. 1 B. 1 21 28 28 21 x2 y2 y2 x2 C 1 D. 1 . 4 3 4 3 8. 已知矩形 ABCD 的顶点都在球心为 O 的球面上， AB 6 ， BC 2 3 ，且四棱锥 O ABCD 的体积 为8 3 ，则球 O 的表面积为（ ） 448 A. 64 B. 52 C. 48 D. 81 9. 已知函数 f (x) 2sin x cos x 3 sin2 x cos2 x ，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有 （ ） 个. f (x) 的最小正周期为 2 ； 将函数 y f (x) 的图象向左平移 个单位，将得到一个偶函数； 12 7 函数 y f (x) 在区间 , 上是减函数； 12 12 “函数 y f (x) 取得最大值”的一个充分条件是“ x ” 12 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第2页/共4页 第卷（共 105 分） 二、填空题 3 i 10. i 是虚数单位，则复数 ___________. 1 2i n 1 11. 若 2x 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式中的常数项是___________. x 12. 一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球若从中任取 3 球，则恰有一个白球的概率是__________，若 从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，记“第一次取到红球”为事件 A ， “第二次取到红球”为事件 B ，则 PB | A __________. 1 a 13. 已知正数 a，b 满足 a b 1，则 的最小值是___________. a b 14. 已知圆 C 的圆心坐标是 (0,m) ，若直线 2x y 3 0 与圆 C 相切于点 A(2,1) ，则圆 C 的标准方程 为___________. 15. 已知平行四边形 ABCD 中， AB 4 ， AD 2 ， AC AD 8 ，则 AC ________；若 CE ED ， DF DB ，则 AF FE 的最大值为________． 三、解答题 16. 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ， B ， c 3 2 ， ABC 的面积为 6 ． 4 （1）求 a 及 sin A 的值； （2）求 sin 2A 的值． 6 17. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， ABC BAD 90 ，AP平面 ABCD， AB BC 2AP 2AD 2 ，点 M、N 分别为线段 BC 和 PD 的中点． （1）求证：AN平面 PDM； （2）求平面 PDM 与平面 PDC 夹角的正弦值； 2 （3）在线段 PC(不包括端点)上是否存在一点 E，使得直线 BE 与平面 PDC 所成角的正弦值为 ，若存 3 第3页/共4页 在，求出线身 PE 的长：若不存在，请说明理由. x2 y2 2 18. 已知椭圆 C ： 1（a b 0）的离心率 e ，点 Aa,0 、 B0,b 之间的距离为 a2 b2 2 3 . （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若经过点 0, 2 且斜率为 k 的直线l 与椭圆 C 有两个不同的交点 P 和 Q ，则是否存在常数 k ，使得 OP OQ 与 AB 共线？如果存在，求 k 的值；如果不存在，请说明理由. 19. 已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ， an 0 且 a1a3 36 ， a3 a4 9a1 a2 ． （1）求数列an 的通项公式； bn （2）若 Sn 1 3 ，求数列bn 及数列anbn 的前 n 项和Tn ． an （3）设 cn ，求c 的前 2n 项和 P ． a 1a 1 n 2n n n1 2 1 2 20. 已知函数 f (x) 2a ln x x ax(a R) . 2 （1）当 a 1时，求曲线 y f x 在 1, f 1 处的切线方程； （2）求函数 f x 的单调区间； （3）当 a<0 时，求函数 f x 在区间1,e 的最小值. 第4页/共4页 高三年级阶段性检测 数学学科试卷 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分． 第卷（共 45分） 一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每题5分共 45分） U x Z 3 x 4 A 2,0,1,2 B 1,0,1 A B 1. 设全集 ，集合 ， ，则 U （ ） A. 2,2 B. 1,3 C. 2,2,3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定全集U ，根据交集和补集定义直接求解即可. 【详解】U x Z 3 x 4 2,1,0,1,2,3，U B 2,2,3 ， A U B 2,2 . 故选：A. “ ”是“ log (x 1) 1”的 2. 0 x 1 2 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据 log2 (x 1) 1 1 x 1 以及充分不必要条件的定义可得. 【详解】因为 log2 (x 1) 1 1 x 1 ， 所以( 0, 1) (1,1) , 所以 0 x 1”是“ log2 (x 1) 1”的充分不必要条件. 故选 A． 【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题. x 3. 命题 p :x 0, 0 的否定是（ ） x2 1 x x A. x 0, 0 B. x 0, 0 x2 1 x2 1 x x C. x 0, 0 D. x 0, 0 x2 1 x2 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定方法:先改变量词，然后再否定结论，求解即可. 第1页/共 17页 x x 【详解】由全称命题的否定可得：命题 p :x 0, 0 的否定是 x 0, 0 . x2 1 x2 1 故选：D 3 1 1 1 4. 设 ， ， c log ，则 a ， ， c 的大小关系为（ ）. a 35 b 3 b 5 5 A. b a c B. a c b C. c 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数、对数函数性质并借助“媒介”数即可得解. 1 1 1 1 【详解】指数函数 y 3x , y ( )x 分别是 R 上的增函数和减函数， 0,3 0 ，则 35 30 ( )3 0 ， 5 5 5 1 1 对数函数 y log x 在 (0,) 上单调递增， 0 1，则 log log 1 0 ， 3 5 3 5 3 1 1 1 所以有 35 ( )3 log ，即 c b a . 5 3 5 故选：D 5. 函数 f x ln x 1 cos x 在 , 上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求函数的定义域，根据函数的奇偶性，排除部分选项，再利用特殊点处的函数值排除不合适的 选项，即可得解. 【详解】由题知 f (x) 的定义域为 R， f x ln x 1 cosx ln x 1 cos x f x ，所以 第2页/共 17页 f (x) 是偶函数，排除 A； f ( ) ln 1 1 ln e 1 0 ，排除 B，D. 故选：C. 6. 某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数 据按照0,0.5 ，0.5,1 ，…4,4.5 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该区有 40 万居 民，估计居民中月均用水量在2.5,3 的人数为（ ） A. 4.8 万 B. 6 万 C. 6.8 万 D. 12 万 【答案】B 【解析】 【分析】由频率分布直方图求出 a 可得答案. 【详解】由 2a 1 0.04 0.08 0.08 0.12 0.16 0.4 0.520.5 0.6 得 a 0.3 ， 估计居民中月均用水量在2.5,3 的人数为 0.30.5 40 6 万， 故选：B. y2 x2 7. 已知双曲线 1(a 0,b 0) 的一条渐近线过点 3,2 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 a2 b2 x2 4 7y 的准线上，则双曲线的方程为（ ） y2 x2 x2 y2 A. 1 B. 1 21 28 28 21 x2 y2 y2 x2 C. 1 D. 1 4 3 4 3 【答案】D 【解析】 第3页/共 17页 【分析】根据题意列出 a,b,c 满足的 等量关系式，求解即可. y2 x2 a 【详解】因为 3,2 在双曲线 1(a 0,b 0) 的一条渐近线 y x 上， a2 b2 b 故可得 3a 2b ； 因为抛物线 x2 4 7y 的准线为 y 7 ，故 c 7 ， 又 a2 b2 c2 ；解得 a2 4,b2 3 ， y2 x2 故双曲线方程为 ： 1. 4 3 故选：D. 8. 已知矩形 ABCD 的顶点都在球心为 O 的球面上， AB 6 ， BC 2 3 ，且四棱锥 O ABCD 的体积 为8 3 ，则球 O 的表面积为（ ） 448 A. 64 B. 52 C. 48 D. 81 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出矩形的对角线的长，即截面圆的直径，根据棱锥的体积计算出球心距，进而求出球的 半径，代入球的表面积公式，可得答案． 【详解】解：由题可知矩形 ABCD 所在截面圆的半径即为 ABCD 的对角线长度的一半， AB=6 ， BC 2 3 ， 62 (2 3)2 r 2 3 ， 2 由矩形 的面积 ， ABCD S ABBC 12 3 1 则 O 到平面 ABCD 的距离为 h 满足： 12 3h 8 3 ， 3 解得 h 2 ， 故球的半径 R r 2 h2 4 ， 故球的表面积为： 4 R2 64 ， 故选：A． 第4页/共 17页 9. 已知函数 f (x) 2sin x cos x 3 sin2 x cos2 x ，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有 （ ） 个. f (x) 的最小正周期为 2 ； 将函数 y f (x) 的图象向左平移 个单位，将得到一个偶函数； 12 7 函数 y f (x) 在区间 , 上是减函数； 12 12 “函数 y f (x) 取得最大值”的一个充分条件是“ x ” 12 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式进行化简得 f (x) 2sin(2x ) ，求出最小正周期；利用左加右减得出 3 3 g(x) 2cos2x 为偶函数； 2x ( , ) ，函数单调递减；令 2x 2k ，求出函数取最大 3 2 2 3 2 值时 x 的集合. 【详解】 f (x) 2sin x cos x 3 sin2 x cos2 x sin 2x 3 cos 2x 2sin(2x ) 3 2 （1）最小正周期为 = ； 2 （2） y f (x) 的图象向左平移 个单位得到 12 g(x) 2sin[2(x ) ] 2sin(2x ) 2cos 2x ， 12 3 2 g(x) 2cos(2x) 2cos 2x g(x) ， 所以 g(x) 为偶函数； 7 3 （3）当 x ( , ) 时， 2x ( , ) ， 12 12 3 2 2 7 所以函数 f (x) 2sin(2x ) 在 ( , ) 上单调递减； 3 12 12 （4）令 2x 2k ，得到{x | x k ,k z}， 3 2 12 并且{x | x }{x | x k ,k z}， 12 12 第5页/共 17页 函数 y f (x) 取得最大值”的一个充分条件是“ x ”. 12 所以正确的有 3 个. 故选：D 【点睛】二倍角公式的熟练运用，将函数化简为最简形式，求最小正周期，平移，单调区间，以及最值等 都要熟练掌握. 第卷（共 105 分） 二、填空题 3 i 10. i 是虚数单位，则复数 ___________. 1 2i 1 7 【答案】 i 5 5 【解析】 【分析】对复数进行分母实数化即可化简. 3 i 3 i1 2i 1 7i 1 7 【详解】 i 1 2i 1 2i1 2i 5 5 5 n 1 11. 若 2x 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式中的常数项是___________. x 【答案】 60 【解析】 【分析】先根据二项式系数之和求出 n ，然楼根据展开式的通式，令 x 的次数为零即可得常数项. n 1 n 【详解】由 2x 展开式的二项式系数之和为 64 得 2 64 ，解得 n 6 ， x 6 r 3r 1 6r 1 r 6 即 ，其展开式的通式为 r 6r r 2 2x Tr1 C6 2x 1 2 C6 x x x 3r 令 6 0 得 r 4 ， 2 4 2 4 T41 1 2 C6 60 故答案为： 60 . 12. 一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球若从中任取 3 球，则恰有一个白球的概率是__________，若 从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，记“第一次取到红球”为事件 A ， “第二次取到红球”为事件 B ，则 PB | A __________. 第6页/共 17页