高三上学期 12 月月考 数学试题
总分 150 分 考试时间 120 分钟
一、单项选择题（8 小题每题 5 分共 40 分）
A y y x2 2 B y y x2 2
1. 已知 ， ，则 A B （ ）
A. 2,0, 2,0 B. 2, 2
C 2,2 D. 2, 2
.
2 i
2. 已知 z ，则复数 z的 虚部为（ ）
1 2i
A. i B. i C. 1 D. 1
3. 已知向量 a 1,3,b 2,5 若向量 c 满足 c (a b) ，且 b / /(a c) ，则 c （）
11 33 11 33
A. , B. ,
8 16 8 16
11 33 11 33
C. , D. ,
8 16 8 16
loga x 3a, x 1
4. 已知函数 f x 在 R 上单调,则 a 的取值范围为( )
x a, x 1
1 1
A ,1 B. 1, C. ,1 D. 1,
. 4 4
x2 y2 6 x2 y2
5. 已知双曲线 1(a b 0) 的 离心率为 ，椭圆 1的离心率为
a2 b2 2 a2 b2
1 3 3 2
A. B. C. D.
2 3 2 2
4 3
6. 已知 cos ， cos ，且 ， 均为锐角，那么 cos （ ）
5 5
24 7 7
A. B. 或1 C. 1 D.
25 25 25
7. 已知函数 f x 3x 3x．a，b R ，则“ a b ”是“ f a f b ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 3b ccos A a cosC ，则 sin2 A 的值等于
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1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 6
二、多选题（共 4 小题每题五分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9. 甲、乙、丙、丁四人各掷骰子 5 次（骰子每次出现的点数可能为 1，2，3，4，5，6），并分别记录每次
出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现 6 点的描述
是（ ）
A. 中位数为 3，众数为 5 B. 中位数为 3，极差为 3
C. 中位数为 1，平均数为 2 D. 平均数为 3，方差为 2
10. 已知正数 x ， y ， z 满足 3x 2 y 12z ，下列结论正确的 有（ ）
1 2 1
A. 6z 2 y 3x B. C. x y 3 2 2 z D. xy 8z2
x y z
11. 下列说法正确的是（ ）
a m a
A. 若 b a 0 ， m 0 ，则 ；
b m b
1 x2
B. f (x) 是非奇非偶函数
| x 3 | 3
C. 若集合 A x ax2 ax 1 0 中只有一个元素，则 a 4
D. 若 a 0，b 0 ，且 ln a ln b ，则 2a b 的最小值为 2 2
12. 如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如
图所示的六面体，则下列说法正确的是（ ）
2
A. 六面体的体积为
6
8 6
B. 若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为
729
C. 折后棱 AB ， CD 所在直线异面且垂直
D. 折后棱 AB ， CD 所在直线相交
三、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
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13. 现把 5 个不同的小球全部分给 3 名同学，每名同学至少分到 1 个小球，则不同的分配方法共有
___________种，（用数字作答）
2 2
14. 已知三棱台 ABC - A1B1C1 的上底面的面积是8cm ，下底面的面积是18cm ，高是 6cm ，则三棱锥
3
A B1C1C 的体积是 ___ cm ．
sin 3x 3a, x a
15. 设 a R ，函数 f x 2 2 ，若 f x 在区间 0, 内恰有 9 个零点，
x 2a 1 x a 5, x a
则 a 的取值范围是________．
2
2 y
16. 已知双曲线 C ： x 1的左右焦点分别为 F1 ， F2 ， A 为 C 右支上一动点， AF1F2 的内切圆的
3
圆心为 D ，半径 r (0,1]，则 F1D 的取值范围为______．
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答
题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.）
cos A cos B sin C
17. 在 AABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，且 ．
a b c
（1）证明： sin Asin B sin C ；
3
（2）若 cos A ，求 sin B ．
5
18. 如图，在四棱锥 P ABCD 中， CD 平面 PAD，PAD 为等边三角形， AD // BC ，
AD CD 2BC 2 ，平面 PBC 交平面 PAD 直线 l，E、F 分别为棱 PD，PB 的中点．
（1）求证： BC l ；
（2）求平面 AEF 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值；
PG
（3）在棱 PC 上是否存在点 G，使得 DG 平面 AEF？若存在，求 的值，若不存在，说明理由．
PC
19. 已知函数 f x ex x lnx 1 ．
（1）求函数 f x 的单调区间；
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（2）设 g x f x ex mxm R ，若 g x 0 恒成立，求 m 的取值范围．
20. 已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a2 2, S11 66 .
（1）求数列an 的通项公式；
1
（2）若数列bn 满足 bn ，求证： b1 b2 bn 1.
anan1
21. 2022 年 3 月“两会”在北京召开，会议吸引了全球的目光，对我国以后的社会经济发展有巨大的历史意
义，遂宁市某媒体为调查市民对“两会”了解情况，进行了一次“两会”知识问卷调查（每位市民只能参加一
次），随机抽取年龄在 15~75 岁之间的 100 人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，其
分组区间为：15,25 ，25,35 ，35,45 ，45,55 ，55,65 ，65,75 ，把年龄落在区间15,35 和
35,75 内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．
（1）若“青少年人”中有 15 人在关注两会，根据已知条件完成下面的 2 2 列联表，根据列联表，判定是否
有 99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会？
（2）由（1）结果，从“青少年人”关注两会和不关注两会的人数按比例抽取 6 人，从这 6 人中选 3 人进行
专访，这 3 人关注两会人数为 X ，求 X 的分布列和期望.
关 不关 合
注 注 计
青少年
15
人
中老年
人
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合计 50 50 100
nad bc2
附： K 2 ．
a bc d a cb d
2
PK k0 0.05 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
22. 已知函数 f x 2lnx x2 .
1
(I) 求函数 y f x 在 ,2 上的最大值.
2
(II)如果函数 g x f x ax 的图像与 x 轴交于两点 A x1,0 、 B x2 ,0 ，且 0 x1 x2 .
y g' x 是 y g x 的导函数，若正常数 p,q 满足 p q 1,q p .
求证： g ' px1 qx2 0 .
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乌鲁木齐市第十二中学 2023-2024 学年
高三上学期 12 月月考 数学试题
总分 150 分 考试时间 120 分钟
一、单项选择题（8 小题每题 5 分共 40 分）
A y y x2 2 B y y x2 2
1. 已知 ， ，则 A B （ ）
A. 2,0, 2,0 B. 2, 2
C. 2,2 D. 2, 2
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合 A 、 B ，利用交集的定义可求得结合 A B .
【详解】因为 A y y x2 2 y y 2 ， B y y x2 2 y y 2 ，
因此， A B 2,2 .
故选：C.
2 i
2. 已知 z ，则复数 z 的虚部为（ ）
1 2i
A. i B. i C. 1 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出复数 z 的代数形式，进而可得虚部.
2 i 2 i1 2i 5i
【详解】 z i ，
1 2i 1 2i1 2i 5
则复数 z 的虚部为 1.
故选：D.
3. 已知向量 a 1,3,b 2,5 若向量 c 满足 c (a b) ，且 b / /(a c) ，则 c （）
11 33 11 33
A. , B. ,
8 16 8 16
11 33 11 33
C. , D. ,
8 16 8 16
【答案】A
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【解析】
【分析】设 c (x, y) ，求出 a b 3,2 ， a c 1 x,3 y ，利用向量垂直与向量平行列方程求解
即可.
【详解】因为 a 1,3,b 2,5 ，
所以 a b 3,2
设 c (x, y) ，则 a c 1 x,3 y ，
因为 c (a b) ，且 b / /(a c) ，
6 2y 5 x 1 0
所以 ,
3x 2y 0
11
x
8
解得 ,
33
y
16
11 33
c ( , ) .
8 16
故选：A.
loga x 3a, x 1
4. 已知函数 f x 在 R 上单调,则 a 的取值范围为( )
x a, x 1
1 1
A. ,1 B. 1, C. ,1 D. 1,
4 4
【答案】A
【解析】
loga x 3a, x 1
【分析】因为 f x 在 R 上单调,当 x 1时, f x x a 是单调递减函数,可得
x a, x 1
f x 在 R 上是单调递减函数,即可求得答案.
loga x 3a, x 1
【详解】 f x
x a, x 1
又 当 x 1时, f x x a 是单调递减函数
f x 在 R 上是单调递减函数
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根据分段函数的在定义域单调递减,即要保证每段函数上单调递减,
也要保证在分界点上单调递减可得:
0 a 1 1
解得: ,1 .
loga 1 3a 1 a 4
故选:A.
【点睛】本题考查了根据分段函数单调性来求参数范围,解题关键是掌握在求解分段函数的单调性时,即要
保证每段函数上单调,也要保证在分界点上单调,通过联立不等式组来求解参数范围,考查了分析能力和计算
能力,属于中等题.
x2 y2 6 x2 y2
5. 已知双曲线 1(a b 0) 的离心率为 ，椭圆 1的离心率为
a2 b2 2 a2 b2
1 3 3 2
A. B. C. D.
2 3 2 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线离心率得 a,b 关系，再根据离心率定义计算椭圆离心率.
c a2 b2 6 b2 1 a2 b2 2
【详解】由题意得 e ，椭圆离心率为 e
a a 2 a2 2 a 2
故选：D
4 3
6. 已知 cos ， cos ，且 ， 均为锐角，那么 cos （ ）
5 5
24 7 7
A. B. 或1 C. 1 D.
25 25 25
【答案】A
【解析】
3 4
【分析】首先确定角 (0, ) ，接着求 sin ， sin ，最后根据
5 5
cos cos[( ) ] 展开求值即可.
【详解】因为 ， 均为锐角，所以 (0, ) ，
3 4
所以 sin ， sin ，
5 5
所以 cos cos[( ) ]
3 4 4 3 24
cos( )cos sin( )sin .
5 5 5 5 25
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故选：A.
【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根
据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：已知正切函数值，选
正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 0, ，选正、余弦皆可；若角的
2
范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为 , ，选正弦较好．
2 2
7. 已知函数 f x 3x 3x．a，b R ，则“ a b ”是“ f a f b ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】：先求函数 f x 的一阶导函数，判断函数在 ， 上单调递增函数，由此判断出命题“
a b ”是“ f a f b ”的分必要条件．
【详解】：
因为 f x 3x 3x ，所以 f x 3x ln3 3x ln31 3x ln3 3x ln3 0 ，
因此函数 f x 3x 3x 为 ， 上单调递增函数，从而由“ a b ”可得“ f a f b ”，由“
f a f b ”可得“ a b ”，即“ a b ”是“ f a f b ”的充分必要条件，选 C．
【点睛】：本题考查了函数的单调性的应用，利用导数判断函数单调性，转化为命题之间的关系．
8. 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 3b ccos A a cosC ，则 sin2 A 的值等于
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 6
【答案】C
【解析】
3
【分析】由正弦定理及条件得到 3 sin BcosA sin B ，于是可得 cos A ，再根据平方关系可得
3
2
sin2 A ．
3
【详解】由 3b ccos A a cosC 0 及正弦定理，得
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3 sin B sin Ccos A sin AcosC 0 ，
整理得 3 sin BcosA sinAcosC cos AsinC sin A C ．
又 sin A C sin B sin B ，
所以 3 sin BcosA sin B ，
由于 sin B 0 ，
3
所以 cos A ，
3
2
所以 sin2 A 1 cos2 A ．
3
故选 C．
【点睛】正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，考查综合运用知识解决问题的能力，解题时要注意公
式的灵活选择和应用．另外，在三角形中特别要注意三个内角间的关系，再结合诱导公式灵活应用．
二、多选题（共 4 小题每题五分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9. 甲、乙、丙、丁四人各掷骰子 5 次（骰子每次出现的点数可能为 1，2，3，4，5，6），并分别记录每次
出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现 6 点的描述
是（ ）
A. 中位数为 3，众数为 5 B. 中位数为 3，极差为 3
C. 中位数为 1，平均数为 2 D. 平均数为 3，方差为 2
【答案】AD
【解析】
【分析】根据数字特征的定义，依次对选项分析判断即可
【详解】对于 A，由于中位数为 3，众数为 5，所以这 5 个数从小到大排列后，第 3 个数是 3，则第 4 和 5
个为 5，所以这 5 个数中一定没有出现 6，所以 A 正确，
对于 B，由于中位数为 3，极差为 3，所以这 5 个数可以是 3，3，3，4，6，所以 B 错误，
对于 C，由于中位数为 1，平均数为 2，所以这 5 个数可以是 1，1，1，1，6，所以 C 错误，
对于 D，由平均数为 3，方差为 2，可得 x1 x2 x3 x4 x5 15 ，
1
[(x 3)2 (x 3)2 (x 3)2 (x 3)2 (x 3)2 ] 2 ，若有一个数为 6，取 x 6 ，则
5 1 2 3 4 5 1
2 2 2 2
x2 x3 x4 x5 9 ， (x2 3) (x3 3) (x4 3) (x5 3) 1 ，所以
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