…………
………… 1
A． 2 B． 1 C． D． 0
2
1 3
8．若 cos ， 2 ，则sin （ ）
考试时间：90 分钟 满分：150 分 2 2
1 3
姓名： 班级： 考号： A． B．
__________ __________ __________ 2 2
…………
…………
3 3
线
线 题号 一 二 三 总分 C． D．
2 2
1 1
评分 ．设 a log 2 ， ， ，则（ ）
9 3 b 23 c 33
A． a b c B． a c b C．b c a D． c b a
…………
…………
一、单选题（共 12 题，每题 6 分，满分 72 分） ．下列各式中，正确的是（ ）
10
1 3
2 5
1．集合 A 1,2， B 2,3 ，C 3,4,5 ，则 AI BU C （ ） A． e2e 2 e B．e e
___________
lg5 5
C． log 2 log 3 1 D． lg
A．1,2,3 B．2,4,5 C．2,4 D．2,3,4,5 6 6 lg2 2
考号：
…………
…………
订
订 ．一元二次不等式 x x 2 0 的解集为（ ） 11．为了得到函数 y cos x ， x R 的图像，只需将余弦曲线上所有的点（ ）
2 3
． 2,0 ． 0,2 A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度
A B 3 3
___________
1 1
． ,2 0, ． ,0 2, C．向左平行移动 个单位长度 D．向右平行移动 个单位长度
………… C D
………… 3 3
班级：
3．命题“x 1， x2 x 0 ”的否定是（ ） 12．从 2 名女生和 3 名男生中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女生的概率为（ ）
3 1 3 1
A． x 1， x2 x 0 B．x 1， x2 x 0 A． B． C． D．
5 2 10 10
___________ C． x 1， x2 x 0 D．x 1， x2 x 0
…………
………… 4．下列函数为增函数的是（ ）
姓名：
装
装
． y x 1 ． y x2 1
A B 二、填空题（共 6 小题，每小题 6 分，满分 36 分）
x
1 2
___________ C． y D． ylnx 13．若复数 z a 3a 2 a 1i （i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a .
………… 4
…………
学校： 5．已知 a 0,b 0 ， a b 6，则 ab 的最大值为（ ） 14．已知平面向量 a (2y,1) ，b (2,3) ，若 a b ，则实数 y 的值为 .
． ． ． ． 2
A 6 B 9 C 12 D 36 15．已知函数 y f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x x 2x ，则 f 3 ．
6．对于实数 x ，“ x 0 ”是“ x 1”的（ ）．
16．某高中共有学生 2000 人，其中高一和高二各有 800 人，现采用分层抽样的方法抽取容量为 25
…………
………… A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
外
内 的样本，那么高二抽取的人数为 .
．充要条件 ．既不充分也不必要条件
C D 4
17．球的体积是 ，则球的表面积是
3
x3 1, x 0
f x f 0 a f a =
7．已知函数 x ，设 ，则
2 , x 0 18．函数 f x sin 2x 0 的最小正周期为 ，则 .
………… 6
…………
1 / 2
…………
…………
…………
………… 三、解答题（共 4 小题，第 19.20.21 小题各 10 分，第 22 小题 12 分，共 42 分） 21．为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲和乙各自进行了 8 组投篮，现得分
19．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表： 情况如下：
每户每月用水量 水价 甲 10 8 x 8 7 9 6 8
…………
………… 不超过12m3 的部分 3 元 /m3 乙 6 9 8 5 7 6 7 8
线
线
(1)求出乙的平均得分和方差；
超过12m3 但不超过18m3 的部分 6 元 /m3
(2)如果学生甲的平均得分为 8 分，那么这组数据的第 75 百分位数是多少.
超过18m3 的部分 8 元 /m3
…………
…………
(1)求用户每月缴纳水费 y （单位：元）与每月用水量 x （单位： m3 ）的函数关系式；
(2)若某户用户在某月的用水量为 20 /m3 ，则该户应该缴纳多少元？
___________
(3)若某户用户缴纳 42 元，则该用户用水量为多少 /m3 ？
考号：
…………
…………
订
订
___________
…………
…………
班级：
22．如图，在三棱锥 P ABC 中，侧面 PAB 底面 ABC ，且 PA AB, PA 5 3,ABC 的面积为 6．
___________ 20．记ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 (b c)(sin B sinC) (sin A sinC)a ．
…………
…………
姓名： (1)求 B 的值；
装
装
(2)若ABC 的面积为 3 ，b2，求ABC 周长．
___________
…………
…………
(1)求三棱锥 P ABC 的体积；
学校：
(2)若 AB 5, AC 4，且 BAC 为锐角，求证： BC 平面 PAC ．
…………
…………
外
内
…………
…………
2 / 2
…………
…………
x
广东省普通高中学业水平模拟卷（七） 1
C． y D． ylnx
4
【答案】A
一、单选题
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.
1．集合 A 1,2， B 2,3 ，C 3,4,5 ，则 AI BU C （ ）
【详解】对于 A 选项，函数 y x 1为 R 上的增函数；
A．1,2,3 B．2,4,5 C．2,4 D．2,3,4,5
对于 B 选项，函数 y x2 1在 R 上不单调；
【答案】D
x
1
【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 对于 C 选项，函数 y 为 R 上的减函数；
4
【详解】 AI B 2, AI BU C 2,3,4,5 ,
对于 D 选项，函数 ylnx为0, 上的减函数.
故选：D
故选：A.
2．一元二次不等式 x x 2 0 的解集为（ ） 5．已知 a 0,b 0 ， a b 6，则 ab 的最大值为（ ）
A．2,0 B．0,2 A．6 B．9 C．12 D．36
【答案】B
C．,2 0, D．,0 2,
【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.
【答案】D
【详解】因为 a 0 ， b 0 且 a b 6，
【分析】直接解一元二次不等式即可
. a b
由基本不等式可得 ab ( )2 9 ，当且仅当 a b 3时，等号成立，
2
【详解】由 x x 2 0 ，解得 x0 或 x2，
所以 ab 的最大值为9 .
即原不等式解集为,0 2, . 故选：B.
故选：D 6．对于实数 x ，“ x 0 ”是“ x 1”的（ ）．
3．命题“x 1， x2 x 0 ”的否定是（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
A． x 1， x2 x 0 B．x 1， x2 x 0 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
C． x 1， x2 x 0 D．x 1， x2 x 0 【答案】A
【答案】C 【分析】根据 x 0 x 1， x 1 x 0得到答案.
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】 x 0 x 1，但 x 1 x 0，故“ x 0 ”是“ x 1”的充分不必要条件.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
故选：A
所以命题“x 1， x2 x 0 ”的否定是 x 1， x2 x 0 .
x3 1, x 0
故选：C. f x f 0 a f a =
7．已知函数 x ，设 ，则
2 , x 0
4．下列函数为增函数的是（ ）
1
A． 2 B． 1 C． D． 0
A． y x 1 B． y x2 1 2
【答案】C
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【分析】根据分段函数的定义即可求解. 1 5
【详解】对 A， e2e 2 e 2 ，故 A 错误；
3
x 1, x 0 3
【详解】解： 函数 f x ，又 f 0 03 1 1 a ， 对 ， 2 6 ，故 错误；
x B e e B
2 , x 0
1 对 C， log 2 log 3 log 6 1，故 C 正确；
f a f 1 21 ， 6 6 6
2
lg5
对 D， log 5 ，故 D 错误．
故选：C. lg2 2
1 3
8．若 cos ， 2 ，则sin （ ） 故选：C.
2 2
1 3 11．为了得到函数 y cos x ， x R 的图像，只需将余弦曲线上所有的点（ ）
A． B． 3
2 2
3 3 A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度
C． D． 3 3
2 2
1 1
C．向左平行移动 个单位长度 D．向右平行移动 个单位长度
【答案】D 3 3
1
【解析】先由诱导公式得 cos cos ，然后再由平方关系求出sin 【答案】B
2
1 【分析】根据余弦函数平移规律直接判断.
【详解】因为 cos cos
2
【详解】将 y cos x 图像所有的点向右平移 个单位长度，得到 y cos x 图像，
1 3 3 3
所以 cos ，因为 2
2 2
即为了得到函数 y cos x ， x R 的图像，只需将余弦曲线上所有的点向右平行移动 个单位长度.
3 3 3
所以sin 1 cos2
2 故选：B
故选：D
12．从 2 名女生和 3 名男生中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女生的概率为（ ）
【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式和平方关系，较简单.
3 1 3 1
A． B． C． D．
1 1 5 2 10 10
．设 a log 2 ， ， ，则（ ）
9 3 b 23 c 33
【答案】D
A． a b c B． a c b C．b c a D． c b a
【分析】根据题意直接计算概率即可.
【答案】D
【详解】从 2 名女生和 3 名男生中任选 2 人参加社区服务，
【分析】由幂函数与对数函数的性质判断，
记女生分别为 a,b ，男生分别为1,2,3，
1 1
【详解】由幂函数的性质得 ，由对数函数性质得 a log 2 log 3 1，
33 23 1 3 3 则所有可能情况为 ab,a1,a2,a3,b1,b2,b3,12,13,23，
即 c b a ， 总共有 10 种方案，
故选：D 选中的 2 人都是女生，有 1 种方案，
1
10．下列各式中，正确的是（ ） 则所求概率为 .
10
1 3
2 5
A． e2e 2 e B．e e 故选：D
lg5 5 二、填空题
C． log 2 log 3 1 D． lg
6 6 lg2 2
13．若复数 z a2 3a 2 a 1i （i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a .
【答案】C
【答案】 2
【分析】根据指数的运算律可判断 AB，由对数式的运算规则及换底公式可判断 CD.
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4 4
【分析】根据实部为 0 且虚部不为 0 得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】设球的半径为 r ，依题意 r3 ,r 1，故球的表面积为 4 12 4 .
3 3
2
【详解】因为复数 z a 3a 2 a 1i 为纯虚数， 故答案为 4 .
a2 3a 2 0 【点睛】本小题主要考查球的体积和表面积有关计算，属于基础题.
所以 ，解得 a 2 .
a 1 0
18．函数 f x sin 2x 0 的最小正周期为 ，则 .
6
故答案为： 2
【答案】1
14．已知平面向量 a (2y,1) ，b (2,3) ，若 a b ，则实数 y 的值为 . 【分析】利用正弦型函数的周期公式求解.
3 2
【答案】 / 0.75 【详解】函数 f x sin 2x 0 的最小正周期为 ，则 1，解得 1.
4 6 2
【分析】直接由 a b 得到 a b 0 ，代入坐标计算即可. 故答案为：1
【详解】由已知平面向量 a (2y,1) ，b (2,3) ， a b ，
三、解答题
a b 2y 2 13 0 ，
19．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
3
解得 y .
4 每户每月用水量 水价
3
故答案为： .
4 不超过12m3 的部分 3 元 /m3
15．已知函数 y f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x x2 2x ，则 f 3 ．
超过12m3 但不超过18m3 的部分 6 元 /m3
【答案】 15
超过18m3 的部分 8 元 /m3
【分析】根据函数是奇函数，得到 f 3 f (3) ，代入解析式求解即可.
(1)求用户每月缴纳水费 y （单位：元）与每月用水量 x （单位： m3 ）的函数关系式；
【详解】依题中条件知， f 3 f (3) (32 23) 15，
(2)随着生活水平的提高，人们对生活的品质有了更高的要求，经验表明，当居民用水量在一定范围内时，若
故答案为： 15 . 随性用水，用水量增加，生活越方便；若时刻想着节约用水，生活也会麻烦．数据表明，人们的“幸福感指数”
16．某高中共有学生 2000 人，其中高一和高二各有 800 人，现采用分层抽样的方法抽取容量为 25 的样本， 1
K 与缴纳水费 y 及“生活麻烦系数” M 存在以下关系： K My （其中 M x 2 ），当某居民用水量超过
那么高二抽取的人数为 . x 1
【答案】10 12m3 时，求该居民“幸福感指数” K 的最大值及此时的用水量
【分析】根据分层抽样的定义和计算方法，求得抽样比，即可求解.
3x,0 x 12
800 2 2 【答案】(1) y 6x 36,12 x 18
【详解】由题意，高二人数占总人数的比例为 ，所以高二抽取的人数为 25 10.
2000 5 5 8x 72, x 18
故答案为：10.
3
(2) K 的最大值为 ，此时的用水量为13m3 .
4 14
17．球的体积是 ，则球的表面积是
3
【答案】 4
【分析】（1）根据已知条件，分段求解函数关系式即可；
【分析】根据球的体积求得球的半径，由此求得球的表面积.
（2）根据题意写出 K 与 x 的关系式，再求其最大值即可.
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y 3x 1 3
【详解】（1）当 0 x 12 时， ； （2）因为 S acsin B ac 3 ，所以 ac 4 ，
ABC 2 4
当12 x 18 时， y 123 (x 12)6 6x 36 ；
由余弦定理可得：
当 x 18时， y 36 66 (x 18)8 8x 72 ；
b2 a2 c2 2accos B a2 c2 ac (a c)2 3ac (a c)2 12 4
3x,0 x 12
所以 ，
可知 y 与 x 的函数关系式为 y 6x 36,12 x 18 ． a c 4
8x 72, x 18 所以ABC 的周长为 a b c 6 ．
（2）由题意可知： 21．为了弘扬体育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲和乙各自进行了 8 组投篮，现得分情
6x 36 6 x 6 6 x 6 况如下：
当 x 12,18时， K 2 2 2
x 1 x 2x 1 x 6 14 x 6 49
甲 10 8 x 8 7 9 6 8
6 6 3 15
49 49 14 70 ，
x 6 14 2 x 6 14 乙 6 9 8 5 7 6 7 8
x 6 x 6
49 (1)求出乙的平均得分和方差；
当且仅当 x 6 ，即 x 13（负舍）时等号成立，
x 6
(2)如果学生甲的平均得分为 8 分，那么这组数据的第 75 百分位数是多少.
8x 72 8 x 9 8 x 9
【答案】 ；
当 x 18, 时， K 2 2 2 (1)7 1.5
x 1 x 2x 1 x 9 20 x 9 100
(2)8.5
8 8 1 14
100 100 5 70 ，
x 9 20 2 x 9 20
x 9 x 9
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求得正确答案.
100 3 1
当且仅当 x 9 ，即 x 19 时等号成立，因为 ，
x 9 14 5 （2）先求得 x 的值，然后根据百分位数的知识求得正确答案.
3 6 9 8 5 7 6 7 8
故居民“幸福感指数” K 的最大值为 ，此时用水量为13m3 ． 【详解】（1）由题可得，乙的平均得分为 7 ，
14 8
20．记ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 (b c)(sin B sinC) (sin A sinC)a ． 方差为：
(1)求 B 的值； 1 2 2 2 2 2 2 2 2
6 7 9 7 8 7 5 7 7 7 6 7 7 7 8 7 1.5 .
8
(2)若ABC 的面积为 3 ，b2，求ABC 周长．
（2）数据 10，8，x，8，7，9，6，8 的平均数为 8，
【答案】(1) B
3 则有 x 88 10 8 8 7 9 6 8 8 ，
(2) 6
将得分按照从小到大的顺序排列为：6，7，8，8，8，8，9，10，
875 6 ，
【分析】（1）利用正弦定理，根据角化边的思想，整理等式，结合余弦定理，可得答案；
8 9
第 75 百分位数为 8.5，
（2）利用三角形面积公式，结合余弦定理，根据三角形周长公式，可得答案. 2
即这组数据的第 75 百分位数是 8.5.
【详解】（1）由 (b c)(sin B sinC) (sin A sinC)a 及正弦定理得 (b c)(b c) (a c)a ，
a2 c2 b2 1 22．如图，在三棱锥 P ABC 中，侧面 PAB 底面 ABC ，且 PA AB, PA 5 3, ABC 的面积为 6．
所以 a2 c2 b2 ac ，由余弦定理可得 cos B ，
2ac 2
又 B 0, ，所以 B ．
3
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(1)求三棱锥 P ABC 的体积；
(2)若 AB 5, AC 4，且 BAC 为锐角，求证： BC 平面 PAC ．
【答案】(1)10 3
(2)证明见解析
【分析】（1）由面面垂直的性质可得 PA 面 ABC ，即 PA 为体高，利用棱锥体积公式求体积即可；
3
（2）由三角形面积公式可得 sin BAC ，根据已知及平方关系求余弦值，应用余弦定理求 BC 2 9 ，易知
5
AC BC ，再由线面垂直的性质得 PA BC ，最后应用线面垂直的判定证结论.
【详解】（1）面 PAB 面 ABC ， PA AB ，面 PAB 面 ABC AB ， PA 面 PAB ，
所以 PA 面 ABC ，又 ABC 的面积为 6，
1 1
所以三棱锥 P ABC 的体积 PA S 5 3 6 10 3 .
3 ABC 3
1 3
（2）由题设 S AB AC sin BAC 6 ，即 sin BAC ，又 BAC 为锐角，
ABC 2 5
4
所以 cosBAC 1 sin2 BAC ，
5
由 BC 2 AB2 AC 2 2AB AC cosBAC 9 ，故 AC 2 BC 2 AB2 ，
所以 AC BC ，
由（1）知 PA 面 ABC ， BC 面 ABC ，故 PA BC ，
PA AC A， PA, AC 面 PAC ，故 BC 平面 PAC .
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