高三数学
一.选择题（共8 小题，每题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
2 2
1. 若 a 0 ，b 0 ，则“ a b 1”是“ a b 2 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
2. 在 ABC 中， “ A B ”是“ sin A cos B 1”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 x
3. 已知 f x 2 log ，则不等式 f 2x 2 f 2x 4 的解集为（ ）
2 2 x
1 1 1 1 1 1
A. , B. , C. 0, D. 1,
2 4 4 2 4 2
1 1 1
4. 若 a ,b sin ,c ，则 a、b、c 满足的 大小关系式是（ ）
3 3
A. a b c B. a b c C. a c b D. b c a
5. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行
于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 y2 16x 的焦点为 F ，一条平
行于 x 轴的光线从点 P4,4 2 射出，经过抛物线上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则
PAB 的面积为（ ）
A. 4 B. 6 2 C. 12 2 D. 24 2
2 2 2 2
6. 曲线 C1 :3x 4y 12 和 C2 :3x 2y 6 ，则C1 和 C2 更接近圆的是（ ）
A. C1 B. C2 C. 相同 D. 无法判断
5
1
7. 2x 的展开式中 x 的系数为（ ）．
x
A. 80 B. 40 C. 40 D. 80
8. 设 P 为多面体 M 的一个顶点，定义多面体 M 在 P 处的离散曲率为
1
1 Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ 其中 Qi (i 1,2,3,,k,k 3) ，为多面体 M
2 1 2 2 3 k 1 k k 1
的所有与点 P 相邻的顶点，且平面 Q1PQ2 ， Q2 PQ3 ，…， Qk 1PQk ， Qk PQ1 遍历多面体 M 的所有以 P 为
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公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体（每个面都是全等的正多边形的多面
体是正多面体），若它们在各顶点处的离散曲率分别是 a，b，c，d，则 a，b，c，d 的大小关系是（ ）
A. a b c d B. a b d c
C. b a d c D. c d b a
二.多选题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
3x 2
9. 已知函数 f x ，则下列命题中正确的有（ ）
x 1
A. f (x) 在区间 (,0] 上单调递减
B. 若方程 f (x) m 有唯一实数根的充要条件是 m 0
x x f x f x
对任意 ， x [1, ) 都有 1 2 1 2 成立
C. x1 2 f
2 2
f (x)
D. 若函数 y g(x 1) 3为奇函数， 与 g(x) 的图象有 4 个交点，分别为 x1, y1 ， x2, y 2 ，
x3 , y3 ， x4 , y4 ，则 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 48
a99 1
10. 已知等比数列an 的公比为 q，其前 n 项的积为Tn ，且满足 a1 1， a99a100 1 0 ， 0 ，则
a100 1
（ ）
0 q 1 a a 1 0
A. B. 99 101
C. T100 的值是Tn 中最大的 D. 使Tn 1成立的最大正整数数 n 的值为 198
11. 光线自点 4,2 射入，经倾斜角为 45 的直线 l : y kx 1反射后经过点 3,0 ，则反射光线经过的点为
（ ）
9
A. 14, B. 9,15
8
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C. 3,15 D. 13,2
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知命题 p : x 0 ， x2 0 ，则 p : x 0 ， x2 0
f (x)
B. “函数 f (x) 是偶函数”的必要条件是“函数 f (x) 满足 1”
f (x)
C. 已知随机变量 服从正态分布 N 1, 2 ，若 P( 4) 0.79 ，则 P( 2) 0.21
D. 若 b2 3ac 0 ，则三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0) 有且仅有一个零点
三.填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
x2 2x 3
13. 已知关于 x 的不等式 0 的解集是 (,1) (3,) ，则实数 m 的取值范
mx2 2(m 1)x 9m 4
围是________．
x x 1 9
14. 已知函数 f x log log ，若对不相等的正数 x1, x2 ，有 f x1 f x2 成立，则 的最
3 3 x x
3 27 1 2
小值为______.
15. 如图，已知在矩形 ABCD 中， AD 4 ， AB 3 ，M 为边 BC 的中点，将ABM ，VCDM 分别沿着
直线 AM，MD 翻折，使得 B，C 两点重合于点 P，则点 P 到平面 MAD 的距离为______．
16. (x 2y 3z)6 的展开式中 xy2 z3 的系数为______（用数字作答）．
四.解答题（共 6 小题，共 70 分）
17. 已知正数 x ， y 满足 x 2y 1．
（1）当 x ， y 取何值时， xy 有最大值？
1 2 a
（2）若 3 恒成立，求实数 a 的取值范围．
x y
18. 已知集合 A x 1 2x1 8 ， B x x a x a 1 0 ， a R .
（1）若1 B ，求实数 a 取值范围；
（2）若“ x B ”是“ x A ”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.
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3
19. 已知函数 f (x) 2sinx cosx ( 0) 的最小正周期为
3 2
（1）求函数 f (x) 的解析式；
1 5
（2）若 ABC 的角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 f (A) ， B ， c 2 3 ，求 a ．
2 12
20. 如图在边长是 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为 AB， A1C 的中点．
（1）求异面直线 EF 与 CD1 所成角的大小．
（ ）证明： 平面 ACD ．
2 EF 1
21. 2025 年四川省将实行 312 的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语 3 门参加全国统一考试，
选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物 6 门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合
自身实际，首先在物理，历史中 2 选 1，再从政治、地理、化学、生物中 4 选 2，形成自己的高考选考组
合.
（1）若某小组共 6 名同学根据方案进行随机选科，求恰好选到“物化生”组合的人数的期望；
（2）由于物理和历史两科必须选择 1 科，某校想了解高一新生选科的需求.随机选取 100 名高一新生进行
调查，得到如下统计数据，写出下列联表中 a，d 的值，并判断是否有 95的把握认为“选科与性别有
关”？
选择物理 选择历史 合计
男生 a 10
女生 30 d
合计 30
nad bc2
附： K 2 .
a bc d a cb d
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2 0 025
PK k0 0.10 0.05 . 0.01 0.005
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
a b
22. 均值不等式 ab a 0,b 0 可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应
2
a2 b2 a b 2
ab a 0,b 0
用，具体为： 1 1 ．
2 2
a b
a2 b2 a b
（1）证明不等式： .上面给出的均值不等式链是二元形式，其中
2 2
a2 b2 a b
a 0,b 0 指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出
2 2
对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明）
（2）若一个直角三角形的直角边分别为 a,b ，斜边 c 4 ，求直角三角形周长l 的取值范围．
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高三数学
一.选择题（共8 小题，每题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
2 2
1. 若 a 0 ，b 0 ，则“ a b 1”是“ a b 2 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【详解】当 a 0 ，b 0 ，且 a2 b2 1时，
2 2 2 2 2 2
a b a b 2ab 2a b 2 ，当且仅当 a b 时等号成立，
2
所以 a b 2 ，充分性成立；
1
a 1， b ，满足 a 0 ，b 0 且 a b 2 ，此时 a2 b2 1 ，必要性不成立.
4
则“ a2 b2 1”是“ a b 2 ”的充分不必要条件.
故选：A
2 2
2. 在 ABC 中， “ A B ”是“ sin A cos B 1”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形大边对大角可知 a b ，再由正弦定理可知充分性成立，同理可得必要性也成立.
【详解】由题可知 A, B 0, ，又 A B ，可知 a b ，可得 sin A sin B ；
又 sin A,sin B 0,1 ，所以 sin2 A cos2 B sin2 B cos2 B 1，所以充分性成立；
若 sin2 A cos2 B 1，可得 sin2 A cos2 B sin2 B cos2 B ，即 sin2 A sin2 B ，
又 A, B 0, ， sin A,sin B 0,1 ，所以 sin A sin B ，可得 a b ，即 A B ；所以必要性成立；
因此“ A B ”是“ sin2 A cos2 B 1”的充要条件.
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故选：C
2 x
3. 已知 f x 2 log ，则不等式 f 2x 2 f 2x 4 的解集为（ ）
2 2 x
1 1 1 1 1 1
A. , B. , C. 0, D. 1,
2 4 4 2 4 2
【答案】D
【解析】
2 x
【分析】根据对数函数的定义域可得 1 x 0 ， 将 f x 2 log 代 入
2 2 x
f 2x 2 f 2x 4 ，结合对数函数单调性运算求解.
2 x
【详解】令 0 ，解得 2 x 2 ，可知 f x 的定义域为 2,2 ，
2 x
2 2x 2 2
可得 ，解得 1 x 0 ，
2 2x 2
2 2x 2 2x 2
关于不等式 f 2x 2 f 2x 4 ，即 2 log2 2 log2 4 ，
2 2x 2 2 2x
x 2 x 1
整理得 log 0 ，且 y log x 在定义域内单调递增，
2 x x 1 2
x 2 x 1 1
则 0 1，结合 1 x 0 ，解得 1 x ，
x x 1 2
1
所以不等式 f 2x 2 f 2x 4 的解集为 1, .
2
故选：D.
1 1 1
4. 若 a ,b sin ,c ，则 a、b、c 满足的大小关系式是（ ）
3 3
A. a b c B. a b c C. a c b D. b c a
【答案】A
【解析】
【分析】利用构造函数法，结合导数来求得正确答案.
1 1
【详解】由于 ，所以 a c .
3
设 f x x sin x0 x 1 ，
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f x 1 cos x 0, f x 在0,1上单调递增，
所以 f x f 0 0 ，所以当 0 x 1时， f x 0 ，
1 1 1 1 1
则 f sin 0, sin ，即 a b .
3 3 3 3 3
x3
设 g x sin x x 0 x 1 ，
6
x2 x2
g x cos x 1 ,cos x 1 sin x x 0 ，
2 2
所以 g x 在0,1上单调递增， g x g0 0 ，
所以 g x 在0,1上单调递增， g x g 0 0 ，
x3 x3
所以当 0 x 1时， g x 0 ，即 sin x x 0,sin x x ，
6 6
3
1
所以 1 1 3 1 1 53 ，
sin 0.327
3 3 6 3 162 162
1 1 1
而 0.318 ，所以 sin ,b c ，所以 a b c .
3
故选：A
【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：
（1）确定 f x 的定义域；
（2）计算导数 f x ；
（3）求出 f x 0 的根；
（4）用 f x 0 的根将 f x 的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内 f x 的符号，进而确定
f x 的单调区间： f ( x) >0 ，则 f x 在对应区间上是增函数，对应区间为增区间； f x 0 ，则
f x 在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.
5. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行
于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 y2 16x 的焦点为 F ，一条平
行于 x 轴的光线从点 P4,4 2 射出，经过抛物线上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则
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PAB 的面积为（ ）
A. 4 B. 6 2 C. 12 2 D. 24 2
【答案】C
【解析】
【分析】由题意求出 A 点坐标，根据直线 AB 过焦点的直线，联立抛物线方程求出 B 点的横坐标，根据抛
物线的焦点弦的弦长公式求解即可.
y2
【详解】因为 P 4,4 2 ，所以 ，所以 A ，
yA yP 4 2 xA 2
16
4 2 0
所以 A 2,4 2 ，又 F 4,0 ，所以 4），
lAB : y 0 (x
2 4
y 2 2 x 4,
即 ，又 ，
lAB : y 2 2 x 4 2
y 16x,
所以 2 ，解得 x 2 或 x 8 ，所以 x 8 ，
x 10x 16 0 B
又因为 AB AF BF xA xB p 2 8 8 18，
8 2 4 2 8 2 4 2
点 到直线 的距离 ，
P4,4 2 lAB : y 2 2 x 4 d
(2 2)2 1 3
1 1 4 2
所以 PAB 的面积 S AB d 18 12 2 .
2 2 3
故选： C .
2 2 2 2
6. 曲线 C1 :3x 4y 12 和 C2 :3x 2y 6 ，则C1 和 C2 更接近圆的是（ ）
A. C1 B. C2 C. 相同 D. 无法判断
【答案】A
【解析】
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【分析】根据题意，分别求出两个曲线的离心率进行比较，进而得出结论.
2 2 2 2
【详解】分别将曲线 C1 :3x 4y 12 和 C2 :3x 2y 6 化为标准方程可得，
2 2 2 2
x y x y 1
1 ， 1，由椭圆的性质可得，曲线C1 的离心率为 ，
4 3 2 3 2
1 1 1
曲线 C 的离心率为 ，显然 ，因此曲线C 更接近圆.
2 3 2 3 1
故选：A.
5
1
7. 2x 的展开式中 x 的系数为（ ）．
x
A. 80 B. 40 C. 40 D. 80
【答案】A
【解析】
【分析】写出二项展开式的通项，令 x 的指数为 4 ，求出参数的值，代入通项即可求得结果.
5 5k
1 1 k k
【详解】因为 2x 的展开式通项为T Ck 2x Ck 2 x2k 5 ，
k 1 5 5
x x
0 k 5,k N ，
令 2k 5 1，解得 k 3，
5
2 3
因此 2 的展开式中 x 的系数为 3
x C5 2 80 .
x
故选：A.
8. 设 P 为多面体 M 的一个顶点，定义多面体 M 在 P 处的离散曲率为
1
1 Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ 其中 Qi (i 1,2,3,,k,k 3) ，为多面体 M
2 1 2 2 3 k 1 k k 1
的所有与点 P 相邻的顶点，且平面 Q1PQ2 ， Q2 PQ3 ，…， Qk 1PQk ， Qk PQ1 遍历多面体 M 的所有以 P 为
公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体（每个面都是全等的正多边形的多面
体是正多面体），若它们在各顶点处的离散曲率分别是 a，b，c，d，则 a，b，c，d 的大小关系是（ ）
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