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数学试题
2023.12
注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在
本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
A x x 1 , B x x2 2x 0
1. 集合 ，则 A B （ ）
x 0 x 1 x 1 x 0
A. B.
C. x 1 x 2 D. x 0 x 2
2. 已知直线 m,n 和平面 ，满足 n ，则“ m//n ”是“ m / / ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 复数 z 满足 z i z 1 ，则 z 1 的最小值为（ ）
2 1
A. B. 1 C. 2 D.
2 2
4. 已知 A、P、Q 是半径为 2 的圆上的三个动点，弦 PQ 所对的圆心角为120 ，则 AP AQ 的最大值为
（ ）
A. 6 B. 3 C. 6 D. 3
5. 已知函数 f x Asin x A 0, 0 的部分图象，则 f （ ）
3
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
6. 已知 f x lgsinx cosx ，则下列结论错误的是（ ）
A. f x 是周期函数
B. f x 在区间 , 上单调递增
4 2
C. y f x 的图象关于 x 对称
4
D. 方程 f x 0 在0,2有 2 个相异实根
1.2
7 已知 a ln 1.2e,b e0.2 ,c ，则有（ ）
. e0.2
A. a b c B. a c b C. c a b D. c b a
8. 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，对任意 x R ，都有 f x 2 f 2 x 0 ，当 x 0,2
时， f x lnx ，则 f x 在10,10 上的零点个数为（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 21
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知 a b ，下列结论正确的是（ ）
A. 对任意实数 c,ac2 bc2
1 1
B. 若 ，则 ab 0
a b
1 1
C. 若b 0 ，则 2a 的最小值是 4 2
b a b
D. 若 a2 b2 ，则 ab 0
10. 已知函数 f ( x) = x3 - 3x2 - 9x +1，则下列结论正确的是（ ）
A. f x 在[ - 2,1] 上的最小值为 10
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B. y f x 的图象与 x 轴有 3 个公共点
C. y f x 的图象关于点 0,1 对称
D. y f x 的图象过点 2,0 的切线有 3 条
11. 如图，长方形 ABCD 中， AB 1, BC 2, E 为 BC 的中点，现将BAE 沿 AE 向上翻折到PAE 的
位置，连接 PC, PD ，在翻折的过程中，以下结论正确的是（ ）
A. 存在点 P ，使得 PA ED
2
B. 四棱锥 P AECD 体积的最大值为
4
3
C. PD 的中点 F 的轨迹长度为
4
D. EP,CD 与平面 PAD 所成的角相等
12. 设 P1, P2 ,, Pn 为平面 内的 n 个点，平面 内到点 P1, P2 ,, Pn 的距离之和最小的点，称为点
P1, P2 ,, Pn 的“优点”.例如，线段 AB 上的任意点都是端点 A, B 的优点.则有下列命题为真命题的有：
（ ）
A. 若三个点 A, B,C 共线， C 在线段 AB 上，则 C 是 A, B,C 的优点
B. 若四个点 A, B,C, D 共线，则它们的优点存在且唯一
C. 若四个点 A, B,C, D 能构成四边形，则它们的优点存在且唯一
D. 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的优点
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 某学校报告厅共有 20 排座位，从第 2 排起后一排都比前一排多 2 个座位.若第 10 排有 41 个座位，则
该报告厅座位的总数是______.
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3
14. 已知 sin , , ，则 cos2 ______.
4 3 2 2
15. 已知圆锥的母线长为l （定值），当圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角大小为______.
B A C 5 9
16. 已知 ABC 内角分别为 A, B,C ，且满足 cos 2sin 0 ，则 的最小值为
2 2 sin A sinC
______.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
b2 c2 a2
17. 记 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 4 .
cosA
（1）求 bc ：
acosB bcosA b
（2）若 1，求 ABC 面积.
acosB bcosA c
2m
18. 已知函数 f x x m 2lnx .
x
（1）若 f x 在 1, f 1 处的切线l 垂直于直线 x 2y 1 0 ，求l 的方程；
（2）讨论 f x 的单调性.
19. 已知数列a ,b 是公比不相等的两个等比数列，令 c a b .
n n n n n
（1）证明：数列cn 不是等比数列；
n n
（2）若 an 2 ,bn 3 ，是否存在常数 k ，使得数列cn1 kcn 为等比数列？若存在，求出 k 的值；若
不存在，说明理由.
20. 如图，在四棱台 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为平行四边形， BAD 120 ，侧棱 AA1 底
面 ABCD, M 为棱 CD 上的点. AD A1A 2, A1B1 DM 1.
（1）求证： AM A1B ；
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5
（2）若 M 为 CD 的中点， N 为棱 DD1 上的点，且 DN ，求平面 A1MN 与平面 A1BD 所成角的余弦
2
值.
21. 已知数列an 前 n 项和为 Sn ，且对任意的正整数 n,n 与 Sn 的等差中项为 an .
（1）求数列an 的通项公式；
n 1 a1 a2 an n *
（2）证明： n N .
2 3 a2 a3 an1 2
ex
22. 已知函数 f x a 1 x lnx ，其导函数为 f x .
x
（1）若 f x 在 1, 不是单调函数，求实数 a 的取值范围；
2
（2）若 f x 0 在 1, 恒成立，求实数 a 的最小整数值. e 7.39
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山东高中名校 2024 届高三上学期统一调研考试
数学试题
2023.12
注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在
本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
A x x 1 , B x x2 2x 0
1. 集合 ，则 A B （ ）
A. x 0 x 1 B. x 1 x 0
C. x 1 x 2 D. x 0 x 2
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出集合 A, B ，再运用并集运算求解.
【详解】 A x 1 x 1, B x 0 x 2 ，
则 A B x 1 x 2 .
故选：C
2. 已知直线 m,n 和平面 ，满足 n ，则“ m//n ”是“ m / / ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面关系，结合必要条件以及充分条件的定义，可得答案.
【详解】充分性：当且仅当 m 时，由 m//n ，则 m / / ，故“ m//n ”是“ m / / ”的不充分条件；
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必要性：由题意可知： m 与 n 无公共点，则 m//n 或者 m 与 n 异面，故“ m//n ”是“ m / / ”的不必要条
件.
故选：D.
3. 复数 z 满足 z i z 1 ，则 z 1 的最小值为（ ）
2 1
A. B. 1 C. 2 D.
2 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的几何意义，作图，利用点到直线距离公式，可得答案.
【详解】设复数 z 在复平面上的对应点为 Pa,b ，
则 z i 可表示为复平面上点 Pa,b 到 A0,1 的距离，
z 1 可表示为复平面上点 Pa,b 到 B1,0 的距离，
由题意可知：点 P 在线段 AB 的中垂线上，如下图：
1 1
线段 AB 的中点为 , ，直线 AB 的斜率 kAB 1，
2 2
1 1
则 P 的轨迹方程为 y x ，整理可得 x y 0 ，
2 2
由 z 1 可表示为点 Pa,b 到 C 1,0 的距离d ，
1 0 2
d .
min 11 2
故选：A.
4. 已知 A、P、Q 是半径为 2 的圆上的三个动点，弦 PQ 所对的圆心角为120 ，则 AP AQ 的最大值为
（ ）
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A. 6 B. 3 C. 6 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】将 AP AQ 中向量进行分解，即： APAQ =( AB +BP)( AB +BQ) ，
2
由 B 是 PQ 的中点，可将上式进行化简整理为 APAQ = AB - 3 ，所以只需求 AB 最大，即 BO 的长加圆
的半径即可，然后代入即可求得 AP AQ 的最大值.
【详解】因为弦 PQ 所对的圆心角为120 ，且圆的半径为 2，所以 PQ 2 3 ，
取 PQ 的中点 B ，所以 BP = BQ = 3 ， BO 1，如图所示：
2
因为 APAQ =( AB +BP)( AB +BQ) = AB + AB( BP +BQ) +BPBQ ,
因为 B 是 PQ 的中点，所以 BP +BQ = 0 ， BPBQ = - BP BQ
2 2
APAQ = AB - BP BQ = AB - 3 ，
所以若 AP AQ 最大，所以只需 AB 最大，
所以 AB = BO +r =1+2 = 3 ，
max
2
所以 APAQ = 3 - 3 = 6 .
( ) max
故选：A
5. 已知函数 f x Asin x A 0, 0 的部分图象，则 f （ ）
3
第3页/共 25页
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由图象求得函数解析式，可求 f .
3
【详解】函数 f x Asin x ，
由图象可知， A 2 ，
T 2 2
函数最小正周期为T ，有 ，则T ， 3，
4 12 12 6 3
得 f x 2sin 3x ，
3
由 f 2sin 3 2sin 2 ，取 ，
12 12 4 4
3
则 f x 2sin 3x ，
4
3 3 7
f 2sin 3x 2sin 3 2sin 2 .
3 4 3 4 4
故选：B
6. 已知 f x lgsinx cosx ，则下列结论错误的是（ ）
A. f x 是周期函数
B. f x 在区间 , 上单调递增
4 2
C. y f x 的图象关于 x 对称
4
D. 方程 f x 0 在0,2有 2 个相异实根
【答案】B
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【解析】
【分析】根据函数周期性定义可判断 A；根据特殊值，即 x 时，函数无意义判断 B；结合正弦函数的对
4
称性判断 C；求出方程 f x 0 在0,2上的根，判断 D.
5
【详解】函数 f x lgsinx cosx lg 2 sin(x ) ，定义域为 2k ,2k ,k Z ，
4 4 4
对于 A， f x 2 lg 2 sin(x 2 ) f (x) ，故 f x 是周期函数，A 正确；
4
对于 B，当 x 时， sin x cos x ，则 sin x cos x 0 ，
4
此时 f x lgsinx cosx 无意义，故 B 错误；
对于 C，当 x 时， 2 sin(x ) 2 ，
4 4
即 y 2 sin(x ) 的图象关于 x 对称，
4 4
5
由于 f x 的定义域为 2k ,2k ,k Z 也关于 x 对称，
4 4 4
故 y f x 的图象关于 x 对称，C 正确；
4
2
对于 D，令 f x lg 2 sin(x ) 0 ，即 sin(x ) ，
4 4 2
3
则 x 2k,k Z ，或 x 2k,k Z ，
4 4 4 4
即 x 2k,k Z ，或 x 2k,k Z ，
2
则当 k 0 时， x , 0,2 ，
2
即方程 f x 0 在0,2有 2 个相异实根，D 正确，
故选：B
1.2
7. 已知 a ln 1.2e,b e0.2 ,c ，则有（ ）
e0.2
A. a b c B. a c b C. c a b D. c b a
【答案】C
【解析】
【分析】构造 f x ex ln x 1 1, x 1，根据导函数得出函数 f (x) 在 0, 上单调递增，即可得出
f (0.2) 0 ，所以 c a ；构造 g x ex x 1, x 0 ，根据导函数得出函数 g x 在 0, 上单调递
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