秘密启用前
数学（文科）
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名座位号和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 A x 3 x 2, B x x2 4x 5 0 ，则 A B （ ）
A. B. 3,1 C.1,2 D. 3,2
1 i
2.复数 z i ，则 z （ ）
1 i
A.1 B. 2 C.2 D.4
3.已知向量 a 1,3,b 2,1 ，则 a b2a b （ ）
A.10 B.18 C. 7,8 D. 4,14
4.已知命题 p : x R,2x 2x 1，则 p 为（ ）
A. x R,2x 2x 1 B. x R,2x 2x 1
C. x R,2x 2x 1 D. x R,2x 2x 1
5.甲乙两人进行了 10 轮的投篮练习，每轮各投 10 个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：
下列说法正确的是（ ）
A.甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小
B.甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小
C.甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小
D.甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大
6.执行如图所示的程序框图，若输入的 x 值为 2023，则输出的 y 值为（ ）
1 1 1 1
A. B. C. D.
16 8 4 2
a a
2 8
7.已知数列an 是等差数列，数列bn 是等比数列，若 a1 a5 a9 9 ， b2b5b8 3 3 ，则
1 b2b8
（ ）
3 3
A.2 B. 3 C. D.
2 3
x2 y2
8.已知 F1, F2 为双曲线 C : 1(a 0,b 0) 的左右焦点，点 A 在 C 上，若 F1 A 2 F2 A ，
a2 b2
AF1F2 30,A AF1F2 的面积为 6 3 ，则 C 的方程为（ ）
x2 y2 x2 y2
A. 1 B. 1
9 6 3 6
x2 y2 x2 y2
C. 1 D. 1
6 9 6 3
9.若直线 y kx 与曲线 y lnx 相切，则 k （ ）
1 2 1 2
A. B. C. D.
e2 e2 e e
1
10.函数 f x sin x 0, 的图象经过点 0, ，将该函数的图象向右平移 个单位长
2 2 3
度后，所得函数图象关于原点对称，则 的最小值是（ ）
5 8 7
A. B. C.3 D.
2 3 2
11.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，下列结论正确的是（ ）
A. AB1 与 A1C1 所成的角为 60 B. DB1 与 A1C1 所成的角为 60
C. AB1 与 A1D 所成的角为 45 D. DB1 与 C1D1 所成的角为 45
x2 y2
12.已知 O 为坐标原点， F1, F2 是椭圆 C : 1(a b 0) 的左右焦点， A, B 分别为 C 的左右顶点.
a2 b2
P 为 C 上一点，且 PF2 x 轴，直线 AP 与 y 轴交于点 M ，直线 BM 与 PF2 交于点 Q ，直线 F1Q 与 y 轴交
1
于点 N .若 ON OM ，则 C 的离心率为（ ）
4
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知函数 f x a 1 x2 asinx 为偶函数，则 a ___________.
y 4 x,
14.已知实数 x, y 满足 y 2 0, 则 2x 3y 的最大值为___________.
y x 2,
15.在正四棱台 ABCD A1B1C1D1 内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若 A1B1 2, AB 4 ，则该四棱台
的高是___________.
16.《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织 24 尺，且第七日所织尺数为前两日所
织尺数之积.则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量
的布，前 4 天织了 24 尺布，且第 7 天所织布尺数为第 1 天和第 2 天所织布尺数的积.问第 10 天织布尺数为
___________.
三解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题，考生依据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.（12 分）
某工注重生产工艺创新，设计并试运行了甲乙两条生产线.现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两
条生产线所生产的产品中，随机抽取了 300 件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联
表：
良 优 合计
甲生产线 40 80 120
乙生产线 80 100 180
合计 120 180 300
（1）通过计算判断，是否有 90% 的把握认为产品质量与生产线有关系？
（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了 6 件产品.若
在这 6 件产品中随机抽取 2 件，求这 2 件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率.
附表及公式：
2
PK k0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
2
2 n(ad bc)
其中 K ,n a b c d .
a bc d a cb d
18.（12 分）
记A ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，若A ABC 为锐角三角形， A ，__________，求A ABC 面
3
积的取值范围.
从 a 2 3 ； b 2 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（12 分）
已知 O 为坐标原点，过点 P2,0 的动直线 l 与抛物线 C : y2 4x 相交于 A, B 两点.
（1）求 OAOB ；
（2）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在不同于点 P 的定点 Q ，使得 AQP BQP 恒成立？若存在，
求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
20.（12 分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，直线 C1B 平面 ABC ，平面 AA1C1C 平面 BB1C1C .
（1）求证： AC BB1 ；
4
（2）若 AC BC BC 2 ，在棱 A B 上是否存在一点 P ，使得四棱锥 P BCC B 的体积为 ？若存
1 1 1 1 1 3
在，指出点 P 的位置；若不存在，请说明理由.
21.（12 分）
已知函数 f x ax3 2sinx xcosx .
（1）若 a 0 ，判断 f x 在 , 上的单调性，并说明理由；
2 2
（2）当 a 0 ，探究 f x 在 0, 上的极值点个数.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
记分.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
2 2 x tcos,
在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C : x y x y （其中 y 0 ），曲线 C1 : （ t 为参数，
y tsin
x tsin,
t 0 ），曲线 C2 : （ t 为参数， t 0,0 ）.以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴
y tcos 2
建立极坐标系.
（1）求 C 的极坐标方程；
（2）若曲线 C 与 C1,C2 分别交于 A, B 两点，求AOAB 面积的最大值.
23.[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
设函数 f x 2x 2 x 2 .
（1）解不等式 f x 5 2x ；
（2）令 f x 的最小值为T ，正数 a,b 满足 a2 b2 2b T ，证明： a b 2 2 1.
文科数学参考解答及评分参考
一选择题
1.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查一元二次不等式的解法，集合
的交集运算等基础知识；考查运算求解能力，数学运算素养.
【答案】B
【解析】由 B xx2 4x 5 0 x 5 x 1，所以
A B {x 3 x 2}x 5 x 1 {x 3 x 1}.
2.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的除法加法运算，复数模
的概念等基础知识；考查运算求解能力.
【答案】C
1 i (1 i)2
【解析】由 z i i 2i ，
1 i 2
所以 z 2i 2 .
3.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计平面向量运算问题，主要考查向量的加减法运算，数量
积运算等基础知识；考查运算求解能力，数学运算素养.
【答案】A
【解析】 a b 2a b 1,24,7 10 .
4.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，主要考查全称量词与存在量词的意义含有一个量词的命题的
否定等基础知识；考查数学抽象等数学核心素养.
【答案】D
【解析】依题意，对有存在量词的命题 p 的否定为 p :x R,2x 2x 1.
5.【考查意图】本小题设置生活实践情境，主要考查直方图统计量的含义等基础知识；考查统计与概率等数
学思想；考查直观想象数学建模等数学核心素养.
【答案】C
【解析】依直方图可知，甲投中个数的平均数中位数分别比乙投中个数的平均数中位数大， A,B 错误；甲
投中个数的标准差比乙投中个数的平标准差小，C 正确；甲投中个数的极差比乙投中个数的极差小， D 错误.
6.【考查意图】本小题设置数学应用情境，设计程序框图问题，主要考查对程序框图以及循环结构的理解和
应用等基础知识；考查读图能力和逻辑思维能力；考查逻辑推理素养.
【答案】D
【解析】运行程序，输入 x 2023 ，则 x 2023 4 2019 ，满足 x… 0; x 2019 4 2015 ，满足
1
x… 0;; x 3，满足 x… 0; x 1，不满足 x… 0 ，故输出的 y 21 .
2
7.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计等差数列和等比数列问题，主要考查等差数列和等比数
列的性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力.
【答案】C
【解析】由an 是等差数列， a1 a5 a9 3a5 9 得 a5 3，所以 a2 a8 2a5 6 ，由
3
b2b5b8 b5 3 3 得 b5 3 ，所以 b2b8 3 ，
a2 a8 6 6 3
所以 .
1 b2b8 1 3 4 2
8.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计求双曲线标准方程的问题，考查双曲线的定义，解三角形及
三角形面积等基础知识，考查化归与转化的数学思想，考查逻辑推理与数学运算等数学素养.
【答案】B
【解析】设 F1F2 2c ，由 F1 A 2 F2 A , F1 A F2 A 2a 得 F1 A 4a, F2 A 2a ，又因为
AF1F2 30 ，所以 F1F2 A 90 , F1F2 2c 2 3a ，故A AF1F2 的面积为
1 x2 y2
F F F A 2 3a2 6 3 ，即 a2 3,c2 9,b2 6 ，故 C 的方程为 1.
2 1 2 2 3 6
9.【考查意图】本小题设置有关切线的数学课程学习，考查导数的几何意义导数的应用等基础知识，考查运
算求解推理论证等能力；考查化归与转化等思想方法.
【答案】C
1
【解析】设 y kx 与曲线 y lnx 相切于点 A x0 ,lnx0 x0 0 ，则切线方程为 y lnx0 x x0 ，即
x0
1 1 1
y x lnx0 1，则 k ,lnx0 1 0 ，解得 k .
x0 x0 e
10.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设置三角函数图象问题，主要考查三角函数图象及其性质等
基础知识；考查化归与转化能力运算求解能力；考查数形结合思想，数学运算核心素养.
【答案】A
1 1
【解析】由 f 0 ，得 sin ，因为 ，所以 ，所以 f x sin x ，将该函
2 2 2 6 6
数图象向右平移 个单位长度后所得函数图象对应的解析式为
3
y f x sin x sin x .由已知得，函数 y sin x 为
3 3 6 3 6 3 6
1 5
奇函数，所以 kk Z ，解得 3k k Z ，又 0 ，所以 的最小值为 .
3 6 2 2
11.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计空间几何问题，主要考查正方体中直线与直线的位置关系
线线角的计算等基础知识与基本技能；考查空间想象能力，考查化归与转化等思想，考查逻辑推理直观想象
等数学素养.
【答案】A
【解析】如图，由正方体的性质，可得 A1C1 AC,A AB1C 为正三角形，
所以 B1 AC 为 AB1 与 A1C1 所成的角，等于 60 ,A 选项正确；
同理 A1D B1C, AB1C 为 AB1 与 A1D 所成的角，等于 60 ,C 选项错误；
由 B1D 平面 A1BC1 ，则 B1D A1C1 ，B 选项错误；由 C1D1 CD ，
B1DC 为 DB1 与 C1D1 所成的角，在 RtAB1DC 中， tan B1DC 2 ，
显然 D 选项错误.
12.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计与椭圆有关的综合问题，考查利用简单图形的几何性质求解
点的坐标，线段长度等基础知识，考查化归转化数形结合等思想方法，考查直观想象数学运算等数学素养.
【答案】B
【解析】设 F1F2 2c ，由题知，不妨设
b2 a b2 a c a cb2 1 a cb2
Pc, , OM F2 P , F2Q OM , ON F2Q ，又因为
a a c a c a aa c 2 2aa c
1 a cb2 b2 1
ON OM ，所以 ON 即 a 2c ，则 e .
4 2aa c 4a c 2
二填空题
13.【考查意图】本小题设置数学学科学习情境，考查函数的奇偶性等基础知识；考查化归与转化等数学思
想；考查逻辑推理等数学核心素养.
【答案】0
【解析】因为 f x 为偶函数，所以 f x f x ，即 a 1 x2 asinx a 1 x2 asinx ，所以
2asinx 0 恒成立，所以 a 0 .
14.【考查意图】本小题设置数学课程学习情景，主要考查线性规划问题；查数形结合思想；考查直观想象
数学运算素养.
【答案】11
【解析】不等式组所表示的平面区域是由连接 A4,2, B6,2,C 1,3 所构成的三角形及内部区域，当
z 2x 3y 所表示的直线过点 C 1,3 时， z 的值最大，其最大值为 11.
15.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计多面体的内切球问题；主要考查正四棱台的底面与高
斜高等基础知识；考查数形结合化归与转化等思想方法；考查直观想象逻辑推理数学运算等数学素养.
【答案】 2 2
【解析】如图，取球心 O 球与上下底面的切点 O1,O2 ，球与左右侧面的切点 O3 ,O4 确定的截面 EFF1E1 .易
得 O1F1 O4 F1 1,O2 F O4 F 2 ，故 F1F 1 2 3 ，
从而四棱台的高 h 32 12 2 2 .
16.【考查意图】本小题设置数学文化情境，设计数列应用问题，主要考查等差数列公差数列通项公式等基
础知识；考查运算求解能力，阅读理解能力，推理论证能力；考查数学文化，逻辑推理素养，数学运算素养.
【答案】21
a1 a2 a3 a4 24,
【解析】设每日所织尺数为正项等差数列an ，公差为 d ，由已知得 即
a7 a1 a2 ,
4a1 6d 24, a1 3, a1 24,
解得 或 （不符合题意，舍去），所以 a10 3 9 2 21.
a1 6d a1 a1 d , d 2 d 20
三解答题
17.【考查意图】本小题设置生活实践情境，主要考查独立性检验的基本思想及其初步应用概率等基础知
识；考查统计与概率等数学思想；考查数学运算数据处理数学建模等数学核心素养.
300(40100 8080)2 100
【解析】（1）由题， K 2 3.704 2.706 ，
120180120180 27
因此，有 90% 的把握认为产品质量与生产线有关系.
（2）记这 6 件产品中产自于甲生产线的有 2 件，记为 A1, A2 ，产自于乙生产线的有 4 件，记为 B1, B2 , B3 , B4
.
从这 6 件产品中随机抽取 2 件的所有基本事件有： A1, A2 , A1, B1 , A1, B2 , A1, B3 ，
A1, B4 , A2 , B1 , A2 , B2 , A2 , B3 , A2 , B4 ,B1, B2 ,B1, B3 ,B1, B4 ,B2 , B3 ， B2 , B4 ,B3 , B4 ，共
15 个.
其中，至少有一件产自于甲生产线的基本事件有 9 个.
9 3
所以，抽取的 2 件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率为 即 .
15 5
18.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计结构不良问题，主要考查正弦定理，三角形面积公式，
锐角三角形等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，数学运
算素养，逻辑推理素养.
a b c 2 3
4
【解析】若选，由正弦定理得 ，
sinA sinB sinC sin
3
所以 b 4sinB,c 4sinC ，
2 2 2
c 4sinC 4sin B 4sin cosB cos sinB 2 3cosB 2sinB ，
3 3 3
1 1 3
所以 S bcsinA 4sinB 2 3cosB 2sinB
A ABC 2 2 2
6sinBcosB 2 3sin2 B
3sin2B 3 1 cos2B
3sin2B 3cos2B 3
2 3sin 2B 3 ，
6
2
因为A ABC 为锐角三角形，所以 0 C B 且 0 B ，
3 2 2
所以 B ，
6 2
5 1
所以 2B , sin 2B 1，
6 6 6 2 6
所以 2 3 2 3sin 2B 3 3 3 ，
6
故锐角A ABC 面积的取值范围为 2 3,3 3 .
c b 2
若选，由正弦定理得 ，
sinC sinB sinB