数学试题（理科）
命题人：王建龙 韩黎波 蔡雯伟
注意事项：
1．本试题满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上．
3．将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内．
第卷（选择题 共 60分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．若复数 z 满足 (1 2i)z 2 i ，则| z | （ ）
2 41
A． B．1 C． D． 41
5 5
2．已知集合 A {0,1,2,3}， B {x | x(x 4) 0}，则 A B （ ）
A．{1,2,3} B．{x | 0 x 4} C．{0,1,2,3,4} D．{x | 0 x 4}
3．在正三棱柱 ABC A1B1C1 中， BC C1 ， M 是 A1B1 的中点，则直线CM 与平面 ABC 所成角的正弦值为
（ ）
2 3 2 7 3 7
A． B． C． D．
3 7 5 14
2 2
4．数学探究课上，某同学用抛物线 C1 : y 2 px 和 C2 : y 2 px( p 0) 构造了一个类似“米”字型的图
案，如图所示．若抛物线 C1 ， C2 的焦点分别为 F1 ， F2 ，点 P 在抛物线 C1 上，过点 P 作 x 轴的平行线交抛
物线 C2 于点 Q ，若 PF1 2 | PQ | 4 ，则 P （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．执行右面的程序框图，如果输入的 a 1，则输出的 S （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11
6．设定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x ) f (x) ，当 x 0, 时， f (x) sin x ，则 f
2 6
（ ）
1 3 1 3
A． B． C． D．
2 2 2 2
7．甲乙两位同学从5 种课外读物中各自选读2 种，则这两人选读的课外读物中恰有1 种相同的选法共有
（ ）
A．30种 B．60种 C．90种 D．120种
8．已知圆 O 的方程为 x2 y2 9 ，直线 l 过点 P(1,2) 且与圆 O 交于M，N 两点，当 MN 最小时，
OM MN （ ）
A． 4 B．4 C． 8 D．8
9．如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面 A1 ADD1 为梯形， AD 3A1D1 ，侧棱长 AB 8 ．当侧面
ABCD 水平放置时，液面与棱 AA1 的交点恰为 AA1 的中点．当底面 A1 ADD1 水平放置时，液面高为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．我国人脸识别技术处于世界领先地位．所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距
离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点 A x1, y1 ， B x2 , y2 ， O 为坐标原点，余弦相似度
为向量 OA ， OB 夹角的余弦值，记作 cos(A, B) ，余弦距离为1 cos(A, B) ．已知 P(cos,sin) ，
1 1
Q(cos ,sin ) ， R(cos,sin) ，若P，Q 的余弦距离为 ， tan tan ，则Q，R 的余弦距离为
3 4
（ ）
3 2 1 3
A． B． C． D．
5 5 4 4
x2 y2
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C : 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F ， F ， A 为
a2 b2 1 2
双曲线右支上一点，连接 AF1 交 y 轴于点 B ．若ABF2 为等边三角形，则双
曲线C 的离心率为（ ）
3 3 3
A． 2 3 B． C． 3 D．
2 2
12．已知函数 f (x) sin x ( 0) 在区间[0, ]上有且仅有4 个极值点，给出下列四个结论：
4
f (x) 在区间 (0, ) 上有且仅有3 个不同的零点； f (x) 的最小正周期可能是 ；
2
13 17
的取值范围是 , ； f (x) 在区间 , 上单调递增．
4 4 23 19
其中正期结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第卷（非选择题 共 90分）
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分．
7
．已如一组数据 ，用最小二乘法得到其线性回归方程为 ，若 ，
13 xi , yi (i 1,2,,7) y 2x 4 xi 7
i1
7
则 ．
yi _______
i1
14．在ABC 中， BAC 120 ， AB 1， BC 3 ，则ABC 的面积为_______．
15．已知函数 f (x) 满足 x ， y 0 ， f (xy) yf (x) xf (y) ，则满足条件的函数可以是 f (x) _______．
x
, x 1 2
16．已知函数 f (x) eln x ，方程[ f (x)] 5 f (x) 6 0 有7 个不同的实数解，则实数 a 的取
3
x 3x a, x 1
值范围是________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）已知等差数列an 满足： a2 5 ， a3 a7 26 ，其前 n 项和为 Sn ．
（）求 an 及 Sn ；
（）若数列bn an 是首项为1，公比为3 的等比数列，求数列 bn 的前 n 项和Tn ．
18．（本小题满分 12 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB//CD ， AB 2CD 2AD 2 ，将ADC 沿着
AC 折到APC 的位置，使 AP BC ．
（）求证：平面 APC 平面 ABC；
（）求二面角 A PB C 的正弦值．
19．（本小题满分 12 分）乒乓球被称为中国的“国球”，我国乒乓健儿屡次在国际体育赛事中为国争光．某校
掀起了乒乓球运动热潮。组织乒乓球运动会．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取7局4 胜制．每局为
11 分制．每赢一球得1 分，先得 11 分者获胜，本局比赛结束．
（）已知某局比赛中双方比分为8:8 ，此时甲先连续发球2 次，然后乙连续发球2 次，甲发球时甲得分的
概率为 0.4，乙发球时乙得分的概率为 0.5，各球得分的结果相互独立，求该局比赛甲以11:9 获胜的概率；
2 1
（）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，
3 3
且每局比赛的结果相互独立，两人又进行了 X 局后比赛结束，求 X 的分布列与数学期望．
20．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) ae2x (a 2)ex x ． (a R)
（）讨论函数 f (x) 的单调性；
1 1
（）若 a 0 ，求证： f (x) ．
a2 a
y2 x2 1
21．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C : 1(a b 0) 的离心率为 ，长轴长为4．
a2 b2 2
（）求椭圆 C 的标准方程；
（）设椭圆 C 的上、下焦点分别为 F2 、 F1 ，过点 F1 作斜率为 k1 k1 0 的直线 l 交椭圆于A，B 两点，直
k2
线 AF2 ， BF2 分别交椭圆 C 于M，N 两点，设直线MN 的斜率为 k2 ．求证： 为定值．
k1
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
x cos sin
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以 O 为极点， x 轴的正半
y cos sin
轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos 3 ．
6
（）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
（）设 P 为 l 上一点，过 P 作曲线 C 的两条切线，切点分别为A，B，若 APB ，求点 P 横坐标的取
3
值范围．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f (x) | x a | | x 1| ， a R ．
（）当 a 2 时，求不等式 f (x) 4 的解集；
1
（）对任意 m(0,3) ，关于 x 的不等式 f (x) m 2 总有解，求实数 a 的取值范围．
m